Discussione geometrica
con GeoGebra
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I parametri α, β, γ e δ nel sistema (1) dipendono dalla velocità relativa u tra i due sistemi di riferimento.
Per determinare questi 4 parametri, ci servono 4 condizioni. Esaminiamo 4 situazioni, con l'aiuto del foglio di lavoro GeoGebra:
Nel foglio GeoGebra allegato, possiamo ripercorrere, in linguaggio geometrico, le tappe che ci hanno portato alla scoperta della forma analitica delle trasformazioni di Lorentz.
Nota: Useremo il secondo-luce (ls) come unità di misura per le distanze. Siccome la luce percorre esattamente 1 ls in 1 s, la velocità della luce è 1 secondo-luce al secondo. Il parametro β = u/c che appare nel foglio di lavoro è il rapporto tra velocità di trascinamento (la velocità di Bart vista da Lisa) e la velocità della luce, da non confondere con l'omonimo parametro nell'equazione (1). Nelle nostre unità di misura u e β hanno lo stesso valore numerico, ma u è una velocità misurata in secondi-luce al secondo, mentre β è un numero puro. Il fattore relativistico γ vale 1/√(1-β²). Ad es, se u = 3/5 c, allora β = 3/5 e γ = 5/4.
Una trasformazione lineare trasforma parallelogrammi in parallelogrammi. Nel nostro foglio, scegliendo i punti A' e C', immagini rispettivamente di A e di C, determiniamo la trasformata del rettangolo OABC. Ogni scelta di A' e C', purché non allineati con O', produce una trasformazione lineare.
(1) Maggie è un fotone. Se chiediamo che la velocità della luce sia invariante, la pendenza 1 nel piano di Lisa deve corrispondere alla pendenza 1 nel piano di Bart. Questo limita le scelte possibili per A' e C'. Nel nostro foglio, A' può ancora essere scelto arbitrariamente, ma C' deve essere su una particolare parallela (che dipende dalla scelta di A') della bisettrice del primo quadrante.
(2) Maggie è in braccio a Bart. Come abbiamo detto, le rette con coefficiente angolare β devono essere trasformate in rette orizzontali. Questa richiesta limita ulteriormente le scelte di A' e C'. Nel nostro foglio, A' è ancora arbitrario, ma C' è univocamente determinato dalla scelta di A'.
(3) Maggie è in braccio a Lisa. Le rette orizzontali devono essere trasformate in rette con coefficiente angolare -β, quindi A' deve per forza essere sulla retta di equazione s = - β t.
(4) Lisa e Bart possono scambiarsi i posti. Per stabilire a che distanza da O' deve trovarsi A', osserviamo che la trasformazione a velocità -β deve essere, per ragioni di simmetria dello spazio, l'inversa della trasformazione a velocità β. In questo modo determiniamo in maniera univoca le trasformazioni di Lorentz.
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