Possiamo facilmente estendere le nozioni di tempo proprio e lunghezza a riposo al caso in cui il corpo (o l'orologio) siano in moto accelerato.
Dato un corpo che, visto dal sistema di Lisa, al tempo tₒ è nella posizione sₒ e ha velocità uₒ, chiamiamo sistema di moto incipiente al tempo tₒ rispetto al corpo stesso il sistema di riferimento che si muove a velocità costante uₒ e che al tempo tₒ è nella posizione sₒ.
Questo sistema, a differenza del sistema solidale al corpo, è un sistema inerziale, nel quale abbiamo definito tempo proprio e lunghezza a riposo.
Non ci resta che chiamare tempo proprio e lunghezza a riposo di un corpo accelerato il tempo e la lunghezza misurate nel sistema di moto incipiente.
Questo sistema di riferimento sarà fondamentale anche quando studieremo la dinamica. Nel sistema di moto incipiente, un corpo parte a velocità nulla, in condizioni nelle quali l'approssimazione Newtoniana deve essere valida.
[GG: modifica TrasfMoti]
Per cercare altre quantità che non dipendono da β, utilizziamo il foglio di lavoro GeoGebra.
Attiva la traccia del punto Px o Px' e anima β.
Noterai che il punto in questione descrive una ben determinata curva. Non è difficile dimostrare che si tratta di una curva di secondo grado, perchè γ dipende da β². Le curve di secondo grado sono ellisse (di cui la circonferenza è un caso particolare), parabola e iperbole. Scartiamo facilmente le prime due possibilità e concludiamo che al variare di β il punto trasformato descrive un'iperbole di equazione
(ct)² – s² = costante
Sul valore di questa costante, si trovano d'accordo tutti i possibili