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Cosa succede se Bart e Lisa osservano un fotone che non si muove parallelamente all'asse x?
Analizziamo in dettaglio il caso di un fotone che per Lisa si muove lungo l'asse y.
Esattamente come avviene per le gocce di pioggia viste dal finestrino di un treno in corsa, che appaiono inclinate, lo stesso avverrà per il fotone visto da Bart.
Per Lisa,
- vx = 0
- vy = c
Usando le trasformazioni per le velocità longitudinali e per le velocità trasverse, vediamo cosa osserva Bart:
- v’x = (vx-u)/(1-uvx/c²) = - u
- v’y = vy/(γ(1-uvx/c²)) = c/γ
Il modulo quadro del vettore velocità è dunque
- (v')² = (v’x)² + (v’y)² = u² + c²/γ² = u² + c²(1-u²/c²) = c²
Vediamo dunque che anche per Bart, indipendentemente dalla velocità u con cui si muove rispetto a Lisa, la velocità della luce non cambia neanche se questa non è più parallela ad u.
Questa osservazione giustifica l'affermazione (che noi, per ragioni di leggerezza, abbiamo fatto piovere dall'alto) che la trasformazione di Lorentz per le coordinate trasverse è
- y' = y
Avremmo dovuto procedere all'inverso: prima ricavare la trasformazione per v’y imponendo che se Maggie è un fotone che si muove lungo l'asse y di Lisa, deve valere (v’x)² + (v’y)² = u² + (v’x)² = c²,ricavando (v’y)² = c² - u² da cui v’y = vy/(γ(1-uvx/c²))e solo dopo mostrare che da questa derivay' = y.
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