Fin qui, ci siamo occupati di una sola dimensione spaziale, ma Bart e Lisa, essendo cartoni animati, vivono in uno spazio bidimensionale e noi addirittura in uno spazio tridimensionale.
Se vogliamo tenere conto di queste dimensioni spaziali aggiuntive, dobbiamo estendere le trasformazioni (5) del capitolo precedente e dire cosa succede nelle direzioni trasversali al moto.
Le coordinate trasversali
Fissiamo dunque un riferimento cartesiano spaziale xy per Lisa e uno x'y' per Bart. Lo spazio-tempo di Lisa sarà dunque formato da una dimensione temporale e due spaziali e lo stesso per Bart.
Per non complicarci la vita, scegliamo l’asse x lungo la direzione del moto di Bart (nel riferimento di Lisa) e l’asse x' lungo la direzione del moto di Lisa (nel riferimento di Bart). In questo modo la coordinata x prende semplicemente il posto dello spostamento s nelle (5) del capitolo precedente.
Ma cosa avviene nelle direzioni trasversali al moto? È facile mostrare, sulla falsariga di quanto fatto per arrivare alle (5) del cap 3, che non accade assolutamente niente! Le trasformazioni nello spazio-tempo tridimensionale sono
x' = γ(x – u t)
y' = y
t' = γ(t – u/c² x)
e quelle nello spazio-tempo quadridimensionale sono
x' = γ(x – u t)
y' = y
z' = z
t' = γ(t – u/c² x)
Le velocità trasversali
Nelle direzioni trasversali al moto non ci sono contrazioni o dilatazioni, e quindi Lisa e Bart concordano sulle coordinate trasversali.
Siccome però non concordano sui tempi, misurano velocità trasverse differenti.
Procedendo come nel paragrafo precedente, consideriamo un punto A di coordinate t=1, x=vx, y=vy .
Questo viene trasformato con le (17) del capitolo precedente in un punto A' di coordinate
x' = γ( vx – u)
y' = vy
t' = γ(1 – u/c² vx)
e dunque la componente trasversale della velocità nel sistema di Bart sarà
vy' = y' / t' = vy / (γ(1 – u vx/c²))
La (7) ci mostra che la dilatazione dei tempi ha un effetto sulla misura della velocità trasversa. Da notare che la componente trasversale della velocità nel sistema di Bart dipende non solo dalla componente trasversale ma anche dalla componente parallela al moto di trascinamento.
E le accelerazioni?
Confrontando le trasformazioni di Galileo con quelle di Lorentz ci accorgiamo che mentre nel primo caso le formule si semplificano nel passare dalle posizioni alle velocità alle accelerazioni, nel secondo caso viceversa le cose si fanno via-via più complicate.
Come abbiamo visto nel primo paragrafo del cap 5, i moti uniformemente accelerati per Lisa non lo sono affatto per Bart.
Questo ci fa intuire che il concetto di accelerazione non possa avere lo stesso ruolo centrale che aveva nella meccanica Newtoniana. Infatti il principio cardine di tutta la teoria di Einstein, il principio di relatività, afferma che le leggi della fisica devono essere le stesse per Lisa e per Bart.
Ma se per Lisa vale la legge di Newton a = F/m, il moto di un corpo di massa m sottoposto a forza F costante a è un moto uniformemente accelerato. Come abbiamo già visto, lo stesso moto osservato da Bart invece non solo non è uniformemente accelerato, ma addirittura non è un moto, perché ad uno stesso istante di tempo il corpo va ad occupare due distinte posizioni.
Vedremo nel cap 8 che la soluzione sarà quella di modificare la legge di Newton. Dunque non sarà vero che il moto osservato da Lisa è uniformemente accelerato. Per quello che riguarda questo capitolo, registriamo solo che l'accelerazione cessa di essere una nozione fondamentale; possiamo quindi disinteressarci delle sue leggi di trasformazione.