Bernhard Riemann

George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

Biografía

George Friedrich Bernhard Riemann es considerado uno de los grandes matemáticos del siglo XIX, no únicamente por sus resultados científicos sino también por sus grandes implicaciones en muchas ramas de las matemáticas. No es fácil encontrar muchos matemáticos cuya producción científica haya tenido una repercusión tan profunda en la ciencia.

Nació en Breselenz, cerca de Hannover, Alemania, el 17 de septiembre de 1826 en una familia humilde demostrando desde pequeño una gran habilidad para las matemáticas así como una gran timidez en las relaciones personales y sociales. Fue hijo de un pastor protestante, del que recibió su primera educación hasta los 13 años. Después vivió con su abuela, y a su muerte estudió en el instituto de Lüneburg, finalizando el bachillerato en 1846. El director del instituto, al notar su talento, le prestaba siempre libros de matemáticas avanzadas de Euler y Legendre. Un libro de este último matemático de 900 páginas lo leyó en 6 días.

Debido a las limitaciones económicas de su familia, fue el segundo de seis hijos, se matriculó en Filosofía y Teología en la famosa y prestigiosa Universidad de Gotinga, aunque desde luego su vocación y habilidad le llevarían por otro camino. Más tarde su padre le permitió estudiar Matemáticas, después de reunir el dinero suficiente, asistiendo, entre otros, a clases del gran matemático Carl Friedrich Gauss. Posteriormente, en 1847, decidió trasladarse a Berlín para poder asistir a cursos impartidos por Jacobi (Álgebra superior y Mecánica Analítica), Dirichlet (Teoría de Números) o Eisenstein (Funciones elípticas).

Carl Friedrich Gauss

Lago Maggiore, cerca de Milán, Italia.

En esos años, hubo manifestaciones estudiantiles y obreras, y Riemann fue reclutado ayudando a proteger al rey en su palacio de Berlín. Estuvo dos años y regresó a Gotinga en 1849. Se casó con Elise Koch en 1862 y al año nació su hija Ida, pero su felicidad duró poco. Su salud era muy débil y se enfrentaba habitualmente a periodos de recuperación después de sufrir numerosos problemas respiratorios.

Estos periodos los aprovechaba para realizar numerosos viajes a Italia, con mejor clima para sus problemas de salud, y donde estableció amistades profesionales (Enrico Betti) y personales. Realizó el último viaje en 1866, falleciendo en Lago Maggiore el 20 de julio de tuberculosis, estando plenamente consciente y activo profesionalmente.

Su mujer, Elise Koch, fue la responsable de la publicación de numerosos trabajos de Riemann después de su fallecimiento. En la bibliografía pueden verse algunos de estos trabajos post-mortem. Sin embargo, lamentablemente, cuando falleció la encargada de la limpieza tiró por error numerosos manuscritos de Riemann entre los que se cree que se encontraba la demostración de su famosa, y aún no resuelta, conjetura. Esta hipótesis se comentará en la sección dedicada a su trayectoria científica.

Elise Koch, mujer de Riemann

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Trayectoria científica

Después de sus estudios primarios en el Instituto Lüneburg donde terminó bachillerato, realizó sus estudios universitarios en la Universidad de Gotinga, Alemania, estudios de Filosofía y Teología, y luego Matemáticas. La trayectoria científica de RIemann recorre numerosos aspectos que hoy en día se consideran fundamentales en numerosas disciplinas matemáticas: el cálculo, la geometría, la variable compleja, etc.

Los cursos que recibió de Eisenstein le iniciaron en la variable compleja. No en vano, consiguió formalizar la teoría de funciones de variable compleja basándose en las ecuaciones en derivadas parciales. Actualmente son muy conocidas y utilizadas las ecuaciones de Cauchy-Riemann (imagen derecha), debidas a ambos matemáticos, básicas en la teoría de las funciones complejas y que debe verificar cualquier función para ser derivable.

Tesis doctoral

Su tesis doctoral, leída en diciembre de 1851, se tituló “Fundamentos para una teoría general de las funciones de una variable compleja” y en ella presentaba las propiedades de las funciones analíticas sobre los complejos. Dicha tesis fue muy elogiada por Gauss.

Se convirtió en ayudante de Weber en el seminario de Física Matemática y posteriormente catedrático en el año 1854 en la facultad de Gotinga. En ese año Riemann comenzó a impartir clases a un número de alumnos muy limitado, 8, debido a las escasas salidas profesionales de esta formación en esa época.

Oposición a catedrático

En su oposición presentó el trabajo: “Sobre la representatividad de una función mediante funciones arbitrarias” donde analizó las Series de Fourier o trigonométricas. En ellas se necesita determinar coeficientes mediante integración definida, a la que también le dedicó parte de su investigación. Estos conceptos aparecen en la formación de cualquier matemático, físico o ingeniero en los primeros cursos de su formación matemática, entre los que destacan el uso de las series numéricas y funcionales, tan novedosas para los estudiantes universitarios. En cursos más básicos de cualquier estudiante hoy en día se aprenden conceptos como las sumas de Riemann que sirven, en la teoría de funciones de variable real, para presentar conceptos como la integral definida y su aplicación al cálculo de áreas en bachillerato.

Albert Einstein

Otro aspecto muy destacable son sus resultados y creaciones sobre las variedades topológicas, donde define métricas mediante formas cuadráticas: la geometría de Riemann en su disertación (elegida por Gauss) “Sobre las hipótesis que sirven de base a la Geometría”. Obtuvo principios para clasificar geometrías y supuso un punto de partida para que Albert Einstein desarrollara posteriormente (un siglo después) su famosa Teoría de la Relatividad General.

Riemann, en Gotinga, fue asesor de la Sección de Matemáticas de la Sociedad de las Ciencias, catedrático extraordinario y posteriormente ocupó la cátedra que ocupó Gauss, Dirichlet y ahora él. También fue nombrado miembro de la Academia de Ciencias de Berlín en la sección de Física y Matemáticas.

Posteriormente se enfrentó a los números primos, definiendo la función zeta de Riemann, en su trabajo “Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada” llegando a plantear uno de los que se conoce hoy en día como problema del milenio: demostrar que los infinitos ceros no triviales de esta función tienen parte real igual a ½. De demostrarse, tendría implicaciones sobre la distribución de los números primos. Actualmente, el Clay Mathematics Institute tiene una lista de problemas aún sin resolver (problemas del milenio) cuya resolución está premiada con un millón de dólares. Esta conjetura ha sido verificada numéricamente de forma muy amplia pero no definitiva. Una anécdota muy conocida es aquella en la que el matemático Hilbert fue preguntado por qué preguntaría si reviviese 100 años después de morir, y contestó “Si la conjetura de Riemann había sido demostrada”.

Otros trabajos de Riemann en otros campos fueron “Sobre la propagación de ondas de aire planas de amplitud de oscilación finita” o “Investigaciones sobre el movimiento de un elipsoide líquido homogéneo” que le llevaron a ser distinguido por la Royal Society de Londres o la Academia de París.