UNA NUEVA PERSPECTIVA DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS: LA MATEMATIZACIÓN DEL CONTEXTO
Gerardo Samuel González de la Cruz
Doctorante en Educación Contemporánea, en la Escuela Normal Rural “J. Guadalupe Aguilera”
dec19.gerardo.gonzalez@aguileradgo.com
Resumen
La resolución de problemas es uno de los ejes principales de las matemáticas y la matematización también funge como unos de los aspectos principales que ayudan a aprender matemáticas. Ambas variables juegan un papel importante en la educación matemática. En el presente artículo se presenta la revisión de la literatura de la investigación que tiene como objetivo: brindar diversas concepciones sobre la resolución de problemas y matematización del contexto, permitiendo exponer la relación entre estas dos variables y la influencia de la matematización en la resolución de problemas. Se hace un acercamiento a la literatura encontrada de ambos conceptos y se menciona la teoría general y sustantiva que sustentan el desarrollo de la investigación.
Palabras clave: Resolución de Problemas, Matemáticas, Matematización, Contexto.
Abstract
Problem solving is one of the main axes of mathematics and mathematization also serves as one of the main aspects that help to learn mathematics. Both variables play an important role in mathematics education. This article presents a review of the literature of an experimental investigation that aims to: Provide various conceptions about problem solving and mathematization of the context, expose the relationship between these two variables and the influence of mathematization in problem solving. An approach is made to the literature found on both concepts and the general and substantive theory that supports the development of the research is mentioned.
Keywords: Problem Solving, Mathematics, Mathematization, Context.
Introducción
Se ha tratado a la resolución de problemas desde diversas perspectivas, para esta investigación se trata desde la matematización que es un concepto que no ha sido explorado lo suficiente a pesar de ser un aspecto que se encuentra detrás del aprendizaje de las matemáticas y la resolución de problemas son muy pocas las investigaciones que lo abordan. Siempre que nos enfrentamos a algún problema o una situación matemática interiorizamos la realidad y la sometemos a un proceso matemático y a su vez la volvemos a trasladar a la realidad, a esto se le conoce como matematización.
Para el desarrollo de este documento se presenta la pregunta y el objetivo de la investigación, se encuentra la revisión de la literatura donde se hace un acercamiento desde diversas perspectivas sobre las dos variables de la investigación: resolución de problemas y matematización de contexto. También se hace mención a las teorías que la sustentan para después abordar las conclusiones.
El presente artículo esta guiado por la pregunta de investigación; ¿Cómo influye la matematización del contexto en el desarrollo de la habilidad de resolver problemas en alumnos de educación primaria? Y tiene como objetivo brindar diversas concepciones sobre la resolución de problemas y matematización del contexto, permitiendo exponer la relación entre estas dos variables y la influencia de la matematización en la resolución de problemas.
Para la revisión documental se comenzó de lo particular a lo general, es decir; primero se hizo una investigación a nivel nacional y después a nivel internacional y para la sistematización de las investigaciones.
Se revisaron 21 investigaciones para la sistematización; 17 de ellas hablan acerca de la resolución de problemas, 10 sobre matematización y 6 tocan ambas variables.
Entre las investigaciones destacan algunas que abordan el tema de la resolución de problemas y la matematización del contexto desde diversas perspectivas y distintos lugares del mundo, por ejemplo: Sepúlveda y Medina (2009) en Michoacán ven la influencia de las tareas matemáticas en la resolución de problemas. Los resultados de la investigación permitieron identificar las principales dificultades que se presentaron durante la implementación, algunas de ellas quizás insalvables, fueron: mantener el interés de los integrantes de los equipos cuando trabajan en pequeños grupos; las deficiencias en el manejo de lenguaje por parte de los estudiantes (dificultad intrínseca en el proceso de aprendizaje); Parra (2013) en Venezuela estudia la importancia de la contextualización en la resolución de problemas desde la perspectiva de los docentes; en la India Bhat (2019) desarrolla la resolución de problemas a través de los estilos de aprendizaje, la investigación de aplicó a 598 estudiantes de la muestra, del grupo de edad 16-17 años, fueron seleccionados de 18 escuelas secundarias, obteniendo como resultados del estudio; que al usar diferentes estilos de aprendizaje, los estudiantes muestran variaciones en su razonamiento y sus habilidades para resolver problemas; Chamoso, Vicente, Manchado y Múñez (2013) en República Dominicana analizan y proponen sugerencias acerca de la construcción y solución de los problemas matemáticos. En esta investigación se analizaron 8,373 actividades de problemas matemáticos, de las cuales 2,399 eran problemas aritméticos (28.7%). Y con base a las estructuras de los problemas un 34.1% eran aditivos, un 39.5% multiplicativos y un 23.3% mixta (aditiva y multiplicativa). En los resultados se deduce que comúnmente los alumnos de educación primaria suelen ser sistemáticos a la hora de resolver problemas, por lo que hacen tan solo una resolución superficial del problema, es decir que terminan por automatizar la forma de resolver problemas, lo que posteriormente los llevará a complicaciones cuando se enfrenten a diferentes tipos de problemas que tengan un nivel de dificultad más alto).
Resolución de problemas
Pólya (1966) considera que la parte más importante con respecto a la forma en que se abordan las matemáticas remite a la correcta actitud al momento de abordar y tratar los problemas; tenemos problemas en la vida diaria, en las ciencias, en la política, tenemos problemas por doquier. La forma de pensar puede ser ligeramente diferente de un campo a otro, pero es natural que tengamos un solo método para abordar los problemas. Lo central de la enseñanza de las matemáticas consiste en desarrollar estrategias para la resolución de problemas.
Wheatley (1991) para definir la resolución de problemas como aquello que hacemos cuando no sabemos con claridad qué hacer. Es decir, la resolución de problemas es la fase que supone la conclusión de un proceso más amplio que tiene como pasos previos la identificación del problema y su modelado. Por problema se entiende un asunto del que se espera una solución que dista de ser obvia a partir del planteamiento inicial.
Piaget (1965, citado por García, 2013) aborda la resolución de problemas desde su consideración epistemológica, ontogenética y filogenética. Sostiene que el nivel del pensamiento formal se caracteriza por la posibilidad que tiene el sujeto de trabajar en resolución de problemas aplicando modelos de razonamiento hipotético-deductivo. El pensamiento formal se caracteriza por la incorporación de la hipótesis como esquema o categoría. Furth (1971, citado por García, 2013) se basa en Piaget para definir la resolución de un problema como un acto de conocimiento, una actividad que involucra a otras actividades: la motivación, la percepción, las operaciones sensorio motoras y las operaciones concretas.
Deloache y Brown (1990, citados por García, 2013) sostienen que en el proceso de resolución de problemas debe estar presente el interés de quien aborda el problema, tanto por la comprensión del objetivo como por el resultado. Conservar y cultivar este interés en los estudiantes durante la resolución de problemas mantiene la motivación durante las fases del proceso, desde la comprensión de lo que plantea el problema hasta la solución.
Stanic y Kilpatric (1989, citados por Espinoza, 2017) mencionan que el proceso de resolución de problemas es un medio para hacer matemática, donde los problemas no se conciben como una práctica, sino que constituyen la parte medular o esencial del proceso que permite al estudiante construir sus conocimientos matemáticos.
Buschiazzo et al. (1997, citados por Calvo, 2008) afirman que, desde el punto de vista matemático, el problema implica una dificultad que despierta el interés del educando porque plantea una situación que le resulta nueva y que se debe dilucidar mediante el razonamiento. El camino mediante el cual el estudiante supera esta dificultad constituye el proceso de resolución del problema.
De acuerdo con los aportes recuperados en la literatura, la resolución de problemas es un proceso que se activa cuando el estudiante reconoce una brecha entre los conocimientos que posee y los que necesita para enfrentar una nueva situación que se le plantea, denominada problema.
El proceso de resolución de problemas es el eje principal del aprendizaje de las matemáticas, en el cual influye directamente el desarrollo de la capacidad de razonamiento lógico matemático y la habilidad para generar estrategias e inferencias que permitan dar solución a un problema que represente un reto para quien lo está realizando.
La matematización
Freudenthal (2002) menciona que matematizar como término muy probablemente fue precedido y sugerido por términos como axiomatizar, formalizar, esquematizar, entre los cuales la axiomatización puede haber sido la primera en ocurrir en contextos matemáticos. Los axiomas y las fórmulas son una herencia antigua, aunque el significado de "axioma" (o "postulado") y la forma de las fórmulas ha cambiado con el transcurso del tiempo.
Las realidades matemáticas son fenómenos primitivos en el desarrollo individual, es decir, no sólo se habla de realidades geométricas sino también aritméticas. Por ejemplo, los números son cantidades observadas e imaginadas que se nombran por números hablados y escritos que están conectados entre sí por relaciones reales, imaginadas y simbolizadas. Este concepto pertenece a un ámbito que puede extenderse desde la experiencia de la vida cotidiana de cada individuo hasta las fronteras abstractas de la investigación matemática. Es decir, las matemáticas como las conocemos han pasado a formar parte de nuestra realidad, de la vida cotidiana de nuestro quehacer diario, en cada una de las actividades que realizamos, ya sea en la escuela, en el trabajo, en las tiendas, etc.
Una de las principales características de las matemáticas es la matematización que Freudenthal (2006) define como un proceso mediante el cual la realidad se ajusta a las necesidades y preferencias del matemático; matematizar es un proceso que continúa mientras la realidad va cambiando, ampliándose y profundizando bajo una variedad de influencias, incluida la de las matemáticas, que al mismo tiempo es absorbida por la realidad cambiante.
Treffers (1978, citado por Freudenthal, 2002) hace una distinción entre matematización horizontal y vertical; la primera la entiende como el proceso mediante el cual hace que un problema o situación sea accesible al tratamiento matemático y la segunda como el procesamiento del problema matemático. Asimismo, a partir de los aportes de Treffers, Freudenthal (2002) establece sus propias definiciones para ambos tipos de matematización; la matematización horizontal la caracteriza como el proceso en el cual se lleva el mundo de la vida real al mundo de los símbolos. En el mundo de la vida se vive y se actúa mientras que en la matematización vertical son los símbolos los que se moldean, reforman y manipulan mecánica y comprensivamente.
El proyecto de OCDE-PISA (2003) define la matematización como la capacidad de los estudiantes para analizar, razonar y transmitir ideas matemáticas de un modo efectivo al plantear e interpretar problemas matemáticos en diferentes situaciones. La matematización se considera el proceso fundamental que los estudiantes emplean para resolver problemas de la vida real.
Newton (1687, citado OCDE, 2003) brinda una posible descripción de la matematización al afirmar que nuestro objetivo consiste en localizar la cantidad y propiedades de una fuerza a partir de los fenómenos y en aplicar lo que descubramos a algunos casos sencillos mediante los cuales, de manera matemática, podamos estimar los efectos en otros casos más complejos.
El proyecto OCDE-PISA (2003) hace una descripción de la matematización en los siguientes cinco pasos:
a) Iniciar con un problema enmarcado en la realidad.
b) Organizar el problema de acuerdo con los conceptos matemáticos que identifican las matemáticas aplicables.
c) Reducir gradualmente la realidad mediante procedimientos como la formulación de hipótesis, la generalización y la formalización. Ello potencia los rasgos matemáticos de la situación y transforma el problema real en un problema matemático que la representa fielmente.
d) Resolver el problema matemático.
e) Otorgar sentido a la solución matemática en términos de la situación real, a la vez que se identifican las limitaciones de la solución.
De acuerdo con la misma fuente de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE), estos cinco pasos se pueden agrupar en tres fases:
a) Fase 1: abarca los pasos 1, 2 y 3; representa la traducción del problema tomado de la realidad al lenguaje matemático.
b) Fase 2: establece el estudio y tratamiento del problema matemático para la obtención de su solución; corresponde al paso 4, es la parte deductiva del ciclo de construcción de modelos (Blum, 1996).
c) Fase 3: concierne al paso 5, donde el proceso de matematización pasa de la solución matemática a la solución real, y de nueva cuenta vuelve a relacionarse con el problema original perteneciente a la realidad. En esta fase hay que considerar los siguientes indicadores: la comprensión del alcance y los límites de los conceptos matemáticos, la reflexión sobre argumentos matemáticos y la explicación y justificación de resultados, la comunicación del proceso y de la solución, y la crítica del modelo y de sus límites.
El proyecto OCDE-PISA (2003) presenta de manera gráfica el cómo se debe llevar el proceso de matematización (figura 1).
En la figura 1 se pueden observar de manera gráfica las fases y los pasos o indicadores que abarca cada una en el proceso de matematización. Para que los alumnos puedan desempeñar el ejercicio de matematización con eficacia existen una serie de competencias matemáticas de las cuales la matematización se sirve. Estas competencias se basan en el trabajo de Niss (1999, citado por la OCDE-PISA, 2003): pensar y razonar, argumentar, comunicar, construir modelos, formular y resolver problemas, representar, emplear operaciones y lenguaje (simbólico, formal y técnico), y emplear soportes y herramientas.
Al momento de matematizar se hace uso en parte de cada una de las competencias anteriormente mencionadas; cada una de éstas se encuentran relacionadas de alguna manera, unas con otras. Como se menciona en el proyecto OCDE-PISA (2003), “la competencia matemática también se adquiere a través de experimentar interrelaciones asociadas en diferentes situaciones o contextos sociales” (p. 42).
Teoría general y teoría sustantiva
El socioconstructivismo como teoría general
El constructivismo social de Vygotsky (1978) es una teoría general que considera que el hombre genera su conocimiento a través de la interacción que tiene con el medio; su contexto social y cultural. La forma de concebir cómo el hombre construye su conocimiento es útil para explicar la relación entre el hombre y la resolución de problemas como medio para construir el conocimiento y para interactuar con el mundo.
La concepción del hombre se está abordando desde una perspectiva sociológica, donde se toman en cuenta todos los aspectos de la sociedad que influyen en el hombre y su desarrollo a lo largo de la vida. El objeto de estudio se centra en la disciplina de las matemáticas, pero el tener un método como el de Pólya (1965) para resolver problemas no es útil sólo para las matemáticas, sino que puede ser aplicable en cualquier aspecto de la realidad del hombre, siempre y cuando exista un conflicto, problema o situación que haya que resolver.
El hombre resuelve problemas en su vida diaria haciendo uso de herramientas que se encuentran en su contexto social. Las matemáticas y la resolución de problemas que se dan en dentro de la escuela o en espacios regulados pueden servir para que el hombre, cuando afronte problemas o situaciones en su vida cotidiana, ya esté preparado y predispuesto para resolver problemas de manera más sencilla, como lo refiere la teoría socio-constructivista: la educación debe estar alineada con la cultura y la sociedad.
Desde la perspectiva del objeto de estudio, se considera al hombre como un ser capaz de resolver problemas de su realidad, y que cualquier aspecto que sea parte de la realidad puede ser sujeto para la representación de problemas matemáticos. En el ámbito educativo, el modelado de problemas representa un desafío para el niño; el hecho que sean situaciones relacionadas directamente con su contexto, representa que el niño encuentre la utilidad de lo que está aprendiendo, así los problemas se vuelven más significativos para los alumnos. Un problema ya superado se queda como experiencia en el sujeto.
La teoría general en la que se inscribe el objeto de estudio hace referencia que el alumno es una persona social que construye su conocimiento a través de las interacciones que tiene con su entorno, reconociendo que el conocimiento en las personas no se da de una manera aislada. La teoría socioconstructivista del psicólogo Lev Vygotsky será la que oriente el proyecto de investigación.
La teoría del aprendizaje social, mejor conocida como socioconstructivismo, es la que enmarca que el aprendizaje se da a través de la interacción del sujeto con su medio. Vygotsky (1979) caracteriza dos niveles evolutivos: nivel evolutivo real, que se entiende como los alcances de las funciones mentales que puede tener el educando sin la ayuda de nadie; y el nivel de desarrollo potencial, donde el niño ya cuenta con la ayuda de un mediador o herramienta para solucionar el problema que se le presente. El primer nivel, cuando el individuo es capaz de resolver un problema por sí sólo, representa que sus estructuras mentales en esa área del conocimiento han madurado, es un desarrollo mental retrospectivo; mientras que el otro nivel se trata de un desarrollo mental prospectivo que se encuentra en el proceso de maduración, donde hay alguien que interviene para alcanzar este conocimiento.
A la brecha o a la diferencia que existen entre estos dos niveles se le conoce como Zona de Desarrollo Próximo:
…es la distancia entre el nivel real de desarrollo, determinado por la capacidad de resolver independientemente un problema, y el nivel de desarrollo potencial, determinado a través de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración de otro compañero más capaz (Vygotsky, 1979, citado por Carrera y Mazzarela, 2001, p. 43).
El proceso de matematización sugiere tener primero un problema real, luego transformarlo a un problema matemático, para después encontrar una solución matemática y por último representarlo en una situación real. Este proceso puede representarse mediante la Ley Genética General que dice: “toda función en el desarrollo cultural del niño aparece dos veces o en dos planos. Primero aparece entre la gente como una categoría interpsicológica y luego dentro del niño como una categoría intrapsicológica” (Werstch, 1998, citado por Carrera y Mazzarela, 2001, p. 43).
Algo similar sucede dentro del proceso de matematización, ya que el niño primero debe tomar algo de su entorno, algo externo, un problema real, para luego interiorizarlo y transformarlo en un problema matemático. Así, “las interacciones sociales juegan un papel importante en el desarrollo cognitivo e integral del ser humano” (Coloma y Tafur, 1999, p. 228).
Teoría sustantiva
La teoría sustantiva que guió el proyecto de investigación es la teoría desarrollada por Guy Brousseau (1989), llamada teoría de las situaciones didácticas; se centra en que el niño puede aprender mediante situaciones, donde exista una interacción entre el sujeto y el medio. Vygotsky (1978) dice que el conocimiento se construye a partir de las interacciones que tiene el niño con su entorno (contexto social y cultural) mediado o con ayuda de herramientas, que pueden ser cosas o personas que ayudan al niño a construir su conocimiento. Las dos teorías comparten elementos de los cuales se harán uso para encaminar la investigación. La resolución de problemas se puede abordar mediante situaciones que implican que el niño haga uso de elementos de su contexto (medio) y mediante el proceso de matematización convertirlos en problemas matemáticos que estén llenos de significado para el niño y que ayuden a desarrollar la habilidad de resolución de problemas.
La teoría de las situaciones didácticas plantea que el aprendizaje se da a través de situaciones didácticas, concepto que Brousseau (1989) define como “un entorno del alumno diseñado y manipulado por el docente que lo considera como una herramienta” (p. 17). Esta teoría se basa en el constructivismo y tiene una alta influencia de los aportes de la epistemología piagetiana.
Dentro de esta teoría se reconocen cuatro fases o situaciones, como las nombra Brousseau: situación de acción, situación de formulación, situación de validación y situación de institucionalización. Estas situaciones son un proceso a través del cual el niño construye su aprendizaje. A continuación, se describe cada una de estas situaciones establecidas por Brousseau (1989):
a) Situación de acción: en esta situación el niño se enfrenta a una situación a-didáctica, donde el alumno actúa sobre un medio determinado en el que el docente no se ve involucrado. Se deja que el alumno actúe por sí sólo y apoyándose en sus conocimientos previos, generando un proceso de retroalimentación que le brinda esta interacción de sujeto y medio, y, a partir de esto el alumno establece sus métodos y reglas para resolver problemas. El alumno tiene que darse cuenta por sí solo de qué es lo que le es funcional y qué no para la resolución de problemas o situaciones.
b) Situación de formalización: “la formulación de un conocimiento corresponde a una capacidad del sujeto para retomarlo (reconocerlo, identificarlo, descomponerlo y reconstruirlo en un sistema lingüístico)” (Brousseau, 1989, p. 25). En esta fase se entiende que se debe involucrar a otro sujeto. El niño tiene que hacer una retrospectiva de su acción de la etapa anterior para posteriormente comunicárselo a otro alumno. En esta etapa son dos alumnos que interactúan con base en un medio y se comunican o se comparten a través de mensajes las estrategias y métodos utilizados para resolver problemas, así se establece una discusión para reconocer cuál estrategia está bien o cuál es mejor.
c) Situación de validación: en esta parte el alumno intenta justificar todo lo que realizó, la estrategia o el método utilizado en la resolución de la situación o problema. El papel del docente en esta fase consiste en cuestionar al alumno acerca de todo lo realizado.
d) Situación de institucionalización: finalmente se llega al proceso de institucionalización; a partir de las producciones, método y estrategias que usa el alumno, se establece una relación con el saber cultural (conceptos matemáticos). El maestro se encarga de formalizar el saber a partir de la situación presentada al niño.
Al hablar de matematización de contexto en la resolución de problemas, se establece una relación entre el objeto de estudio y la teoría de las situaciones didácticas. Se refiere a matematización del contexto como el medio que se le presenta al alumno en forma de situación adidáctica ya una vez que se pasa de la fase de la acción (situación adidáctica) a la de formalización, validación e institucionalización que se presentan como una situación didáctica que dentro del objeto de estudio vendría a ser la resolución de problemas representada a través de situaciones y considerando todos los supuestos epistemológicos de Brousseau y su teoría de las situaciones.
En conjunto con la teoría general, se busca establecer relaciones entre los supuestos que menciona la teoría socioconstructivista y las fases de la teoría de las situaciones didácticas.
Conclusión
De acuerdo con los aportes recuperados en la literatura, la resolución de problemas es un proceso que se activa cuando el estudiante reconoce una brecha entre los conocimientos que posee y los que necesita para enfrentar una nueva situación que se le plantea, denominada problema.
El proceso de resolución de problemas es el eje principal del aprendizaje de las matemáticas, en el cual influye directamente el desarrollo de la capacidad de razonamiento lógico matemático y la habilidad para generar estrategias e inferencias que permitan dar solución a un problema que represente un reto para quien lo está realizando.
En cuanto a la matematización del contexto y lo mencionado por Freudenthal (2002) se define a este concepto como el proceso de llevar nuestra realidad al mundo matemático para dar solución a situaciones y problemas y luego trasladarlo de nuevo al mundo real.
La sistematización de investigaciones permite inferir que el desarrollo de la resolución de problemas desde la matematización es un tema en el que no sea profundizado lo suficiente, resultó ser una oportunidad interesante de investigación, si bien diversos autores como Pólya (1965), Brousseau (1986), Bath (2019), Chamoso, Manchado y Múñez (2013), Sepúlveda y Medina (2003), Parra (2013) y Freudenthal (2002) desarrollaron sus investigaciones sobre alguna de estas variables o ambas, se retomaron las ideas de estos autores para construir una propia estrategía didáctica de matematización que contribuya a la resolución de problemas.
Los autores investigados coinciden en que el contexto es una herramienta que como docente siempre podemos utilizar para que las matemáticas tengan un significado, sentido y utilidad para los alumnos.
Es importante que el docente conozca cómo se relacionan estos dos conceptos para llevarlos a su práctica educativa. La resolución de problemas es parte fundamental de las matemáticas y la matematización del contexto que siempre está presente en la enseñanza y aprendizaje de las mismas, pero no lo reconocemos como tal. El papel del docente en la matematización del contexto es orientar al alumno para que reconozca su entorno y cómo puede hacer uso de este en el mundo matemático para resolver problemas.
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