RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS GEOMETRICOS Y ALGEBRAICOS EN EL AULA DE BACHILLERATO: TRATAMIENTO ECOLÓGICO DE ERRORES
Saúl Elizarraras Baena
sauleliba@gmail.com
Resumen
Este reporte de investigación forma parte de un proyecto más amplio con una perspectiva metodológica que conjuga la enseñanza y la investigación (Barreiro, Leonian, Marino, Pochulu y Rodríguez; 2017). Previo a la enseñanza, se caracterizó la comprensión de estudiantes de bachillerato al resolver problemas geométricos y algebraicos propuestos en un cuestionario de exploración. Conforme a la perspectiva de Biggs y Tangs (2011), la mayoría de las respuestas que mostraron los estudiantes fue de dos tipos: pre-estructural (ausencia de comprensión) y uniestructural (se muestran procedimientos sencillos). Posteriormente, se trataron ecológicamente los errores cometidos sistemáticamente por los estudiantes dado que los seres humanos al interactuar en sociedad deben sobrevivir en un mundo lleno de incertidumbre, (Gigerenzer, 2005). Así, se logró que los estudiantes se posicionarán en otro nivel de comprensión subsecuente.
Palabras clave: comprensión, errores, ecológico, procedimiento, convencional.
Abstract
This research report is part of a broader project with a methodological perspective that combines teaching and research (Barreiro, Leonian, Marino, Pochulu and Rodríguez; 2017). Prior to teaching, the understanding of high school students was characterized by solving geometric and algebraic problems proposed in an exploration questionnaire. According to the perspective of Biggs and Tangs (2011), the majority of the answers that the students showed were of two types: pre-structural (lack of understanding) and uniestructural (simple procedures are shown). Subsequently, the errors systematically made by the students were treated ecologically since human beings when interacting in society must survive in a world full of uncertainty (Gigerenzer, 2005). Thus, it was achieved that students will be positioned at another level of subsequent understanding.
Key Words: understanding, errors, ecological, procedure, conventional.
Antecedentes
Galindo (1996) reportó los resultados de un proyecto de investigación sobre desarrollo de habilidades básicas para la comprensión de la geometría, las cuales considera muy útiles para describir los procesos de asimilación y adecuación en el aprendizaje de la geometría puesto que describen en forma gradual el desarrollo mental de los alumnos.
La autora puntualiza que la formación matemática lograda fue valiosa, puesto que proporciona un desarrollo en la percepción visual y espacial, sirve como vehículo para estimular y ejercitar habilidades generales de pensamiento y capacidades para la solución de problemas, formación de valores estéticos y culturales que se derivan de su estudio.
Mazzitelli (2016) desarrolló una secuencia sobre el estudio geométrico de mosaicos, a modo de enriquecer su trabajo sobre un contenido cotidiano y así, lograr un avance en la comprensión matemática. El estímulo es, en primera instancia, puramente visual, luego lo desplaza hacia otras habilidades con mayor nivel de comprensión.
La autora enfatiza que, es posible comenzar desde los niveles más bajos de comprensión para ir creciendo en contenidos y habilidades en forma democrática, donde cada alumno es actor fundamental de su propio proceso de aprendizaje. El trabajo lo plantea grupal para una creación colectiva que alienta y enriquece la solución de problemas.
Zivec (2018) aclara que los alumnos no identifican las propiedades de las figuras por el solo hecho de mirar los dibujos que las representan. De forma seguida, precisa que aquello que un alumno puede reconocer al observar el dibujo de una figura no siempre es lo mismo que lo que el docente pretende que ese alumno identifique con la mirada.
El autor presenta la resolución de tres problemas clásicos de la Geometría: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección de ángulos. Su tópico de la ponencia fue pensado como ambiente de articulación entre los campos del Álgebra y la Geometría en el ámbito de experiencias educativas para la formación superior.
Preguntas y objetivos de investigación
Las preguntas que orientaron esta investigación fueron:
· ¿Cuál es el nivel de comprensión de estudiantes de bachillerato al resolver problemas geométricos y algebraicos, previo a la enseñanza y al aplicar como instrumento un cuestionario de exploración?
· ¿De qué manera favorece la enseñanza la mejora del nivel de comprensión, bajo la taxonomía de SOLO, de estudiantes de bachillerato al guiar y promover la socialización de la resolución de problemas geométricos y algebraicos?
Derivado de lo anterior, los objetivos fueron los siguientes:
· Identificar el nivel de comprensión, bajo la taxonomía SOLO, de estudiantes de bachillerato al resolver problemas geométricos y algebraicos, ¿previo a la enseñanza?
· Interpretar el papel de la enseñanza para mejorar el nivel de comprensión, bajo la taxonomía de SOLO, ¿de estudiantes de bachillerato al guiar y promover la socialización de la resolución de problemas geométricos y algebraicos?
Organización y método
El presente reporte de investigación atañe a la resolución de problemas geométricos y algebraicos en el marco del tratamiento ecológico de los errores cometidos por un grupo de cincuenta estudiantes de quinto semestre de una Escuela Preparatoria Oficial dependiente de la Secretaria de Educación del Gobierno del Estado de México.
La institución educativa en la que se desarrolló este estudio, se ubica en una unidad habitacional del municipio de Chicoloapan ubicado al oriente del Estado de México.
El objetivo general de esta fase de la investigación educativa en cuestión fue identificar el nivel de comprensión, en el marco de la taxonomía SOLO, de estudiantes de bachillerato al resolver problemas geométricos y algebraicos, previo a la enseñanza.
Por tal motivo, la perspectiva metodológica que se asumió tiene coincidencia con la postura de Barreiro, Leonian, Marino, Pochulu y Rodríguez (2017), en el sentido de que existe un genuino interés por entender o explicar algo que se ha advertido en función de la propia experiencia sobre procesos de enseñanza o aprendizaje de la matemática.
En el marco de lo expuesto, en términos de las (os) autores, es menester que se analicen las propuestas de enseñanza, el propio programa de la materia, la guía de actividades, las evaluaciones, nuestras devoluciones, etc.
Así, se pudo tener un acercamiento al proceso de investigación educativa en función de la observación, ya sea la de tipo participante (Eisner, 1998) o la no participante (Woods, 1997). En este caso, se intervino en ambos tipos, toda vez que de forma inmediata a la contestación del cuestionario se les pidió que socializaran algunas estrategias de resolución.
Se diseñó un cuestionario de exploración, compuesto por ocho problemas matemáticos escolares de pregunta abierta y cuyas situaciones estaban relacionadas con el álgebra y la geometría, así como con temáticas propias de la proporcionalidad. Algunos de estos problemas se tomaron del libro para el maestro de Matemáticas (SEP, 2004).
De forma posterior a la aplicación, se solicitó a la comunidad estudiantil implicada que socializaran sus estrategias de resolución para que se tuviera un primer acercamiento a la identificación de los errores que cometían y, en consecuencia, darle un tratamiento ecológico y al mismo tiempo, reorientarles para que pudieran acceder al procedimiento convencional.
Perspectiva teórica
Un primer punto de referencia que se toma con respecto al análisis ecológico de los errores es la postura de Gigerenzer (2005), el autor refiere que los errores son indispensables y funcionales para sobrevivir en un mundo lleno de incertidumbre, pues la existencia de buenos errores ante ilusiones visuales, permiten comprender el funcionamiento del cerebro.
El autor plantea la necesidad de que la enseñanza los aproveche con la finalidad de que pueda influir en el desarrollo de la inteligencia del sujeto, dado que refiere a tres premisas para inferir las leyes de la cognición – de percepción, memoria y pensamiento – mismas que el cerebro de una persona pone en práctica al cometer errores sistemáticos, a saber:
1) Carece de la suficiente información para conocer con certeza lo que se encuentra afuera en el mundo.
2) Utiliza la heurística para ser mejor.
3) Se basa en la estructura de su entorno, asume un mundo tridimensional.
El autor considera que la memoria necesita ser funcional en lugar de verídica, ya que una memoria excesiva puede afectar la capacidad de la mente para abstraer, inferir y aprender. Su naturaleza no es simplemente almacenar y recuperar, sino que más bien hace inferencias (inciertas o no) y reconstruye el pasado desde el presente.
En suma, reitera que, en un mundo lleno de incertidumbre, el pensamiento, así como la percepción elemental, implican hacer apuestas y asumir riesgos; por lo tanto, errar no es sólo humano, sino que es una consecuencia necesaria de este tipo de inteligencia.
Por su parte, Biggs y Tangs (2011) consideran importante la distinción entre conocimiento declarativo y conocimiento funcional. En el primer caso, también conocido como conocimiento proposicional o del contenido, se refiere al conocimiento de las cosas que se expresan en sistemas de símbolos, generalmente verbales.
Respecto al segundo caso, es el conocimiento que informa la acción en función de la comprensión y para lograrla se requiere que el alumno participe activamente en la puesta en práctica del conocimiento, por lo que viaja externamente hacia el interior del alumno.
Los autores señalan que el conocimiento funcional requiere una base sólida de conocimiento declarativo sin que esto signifique asumir una postura estructuralista, ya que, por ejemplo, en el aprendizaje basado en problemas, el conocimiento funcional y el conocimiento teórico o declarativo se erigen simultáneamente.
Con base en lo expuesto, Biggs y Tangs (2011) proponen dos fases para caracterizar el nivel de comprensión: una cuantitativa y otra cualitativa. En el primer caso, se subdividen en preestructural, uniestructural y multiestructural y en el segundo, relacional y abstracción ampliada. En la figura 1, se muestran los rasgos deseables para cada uno de estos niveles.
En el fondo, los autores señalan que para comprender un tema se deben distinguir los conceptos de umbral de los conceptos centrales. Los primeros son conceptos extraordinarios que relacionan ideas previamente dispares y que les dan a los estudiantes una visión más amplia del tema; mientras que los segundos son ideas de motivación intrínseca y extrínseca.
De manera particular, consideran que la motivación intrínseca y extrínseca se deben ver como formas de motivación complementarias en lugar de opuestas, ya que la tarea en sí misma se valora, al mismo tiempo, es solo un medio para adquirir algo más que se valora.
Interpretación y análisis de los resultados
Un primer ejemplo de problema planteado en el cuestionario fue el siguiente:
En un parque se construirán cuatro jardineras (áreas sombreadas) como se muestra en la figura. Todos los triángulos son equiláteros y las longitudes de sus lados son 800, 400 y 200 metros respectivamente. Calcula el área total destinada a jardineras.
En la figura 2, se muestra el procedimiento que desarrolló un estudiante previo a la socialización de los procedimientos e intervención de la enseñanza.
Primero, calcula el área de cada tamaño diferente de triángulo y; luego, suma todas éstas, por lo que descarta la relación de las áreas sombreadas respecto al área en total. Conforme al desempeño del estudiante, se le puede ubicar en el nivel de comprensión uniestructural, ya que identifica y realiza procedimientos sencillos.
Este tipo de respuesta fue de gran ayuda para que los estudiantes pudieran tener un acercamiento a la comprensión del mismo, debido a que una que se terminó de socializar el procedimiento utilizado, se les preguntó si es que tenían alguna duda y algunos estudiantes manifestaron su desacuerdo en el sentido de que la suma total sobrepasaba el área sombreada.
Lo anterior fue motivo suficiente para que algunos otros estudiantes se dieran a la tarea de proponer otra estrategia de resolución en función de centrar su atención en el área sombreada y no sólo en el área total.
Con base en lo expuesto, surgió otra estrategia que fue propuesta por otro estudiante, en la cual primero calcula el área del triángulo más grande, para lo cual recurre al teorema de Pitágoras para calcular su altura; posteriormente, descompone el triángulo mediano en cuatro pequeños, dándole un total de dieciséis pequeños para todo el triángulo mayor.
A continuación, establece una proporcionalidad entre el área de los siete triángulos menores respecto al área total del triángulo mayor y de esa manera, expresa su área sombreada. Así, el nivel de comprensión es tanto multiestructural (hace algoritmos) como relacional (compara y analiza) –Descompone el todo en algunas de sus partes–
Con estas dos estrategias de resolución, se ejemplifica como la intervención de la enseñanza coadyuvó para que se aprovechara de forma ecológica un error cometido por un estudiante para que otro diferente, pudiera guiarse para hacer una reformulación del mismo.
Otro problema que fue planteado a la comunidad estudiantil fue el siguiente:
La sombra de un monumento mide 10.60 m, y la de una varilla vertical de 1 m de altura, situada a su lado, mide, en el mismo momento, 40 cm. ¿Cuánto mide el monumento? (Elabora el dibujo correspondiente).
En la situación descrita, se debe recurrir a la proporcionalidad para su resolución, para lo cual se deben representar un par de triángulos semejantes en función de las medidas de la altura de ambos objetos y de sus respectivas sombras.
Un ejemplo de respuesta, previo a la intervención de la enseñanza es el de una estudiante que mediante un dibujo representó e identificó los datos de un problema, pero estableció erróneamente la relación que hay entre los elementos homólogos de los triángulos semejantes, por lo tanto, su nivel de comprensión es uniestructural.
En la figura 4, se puede apreciar que realiza procedimientos sencillos cuyo resultado es incorrecto debido a que no relaciona adecuadamente los elementos homólogos de los triángulos semejantes ni recurre a los criterios de proporcionalidad en forma apropiada.
Durante la intervención de la enseñanza, se les pidió que compartieran su estrategia de resolución y otra estudiante mencionó que ella lo había interpretado de forma diferente a su compañera, pues lo que se requería conocer era la altura del edificio y lo que se conocía era la sombra, por lo que propuso el dibujo mostrado en la figura 5.
Enseguida, la alumna manifestó que no estaba segura si debía multiplicar la sombra del edificio o si primero era por la altura de la varilla y después por la sombra, su argumentó era un reflejo de que identificaba los datos del problema, pero no hacía los cálculos implicados en la relación de proporcionalidad. Su nivel de comprensión fue uniestructural.
Fue necesario plantear al grupo la pregunta siguiente: ¿qué pasaría si la varilla midiera dos metros? Los estudiantes dijeron que la sombra sería el doble y así, se continuo hasta veinte metros de altura y hubo quienes contestaron que serían ocho metros de sombra.
A continuación, se les cuestionó para saber si era necesario continuar así hasta treinta metros de altura. A este respecto, una estudiante dijo que serían doce metros y que se iba a pasar de la sombra que se había especificado para el edificio.
Bajo estos acontecimientos, una estudiante propuso que se dividiera la sombra del edificio entre la sombra de la varilla para saber la altura del primero. Se le cuestionó que cómo justifica ese proceder y dijo que, cuando son cuatro metros de sombra, se divide entre la sombra de la varilla y da como resultado los diez metros que ya se habían identificado.
Un tercer problema formulado fue el siguiente:
Un alambre de 25 metros se divide en dos partes, de tal modo que la longitud de una equivale a las dos terceras partes de la longitud de la otra. Determina la longitud de cada parte.
En este caso la respuesta esperada consistía en que la comunidad estudiantil pudiera plantear una ecuación algebraica de primer grado mediante la cual se pusiera en relación la medida de las dos partes respecto a la longitud total del alambre.
Los ejemplos de respuesta que se proporcionaron previo a la enseñanza fueron de dos tipos: en el primero, se identificó que el alambre se debería dividir en dos partes (iguales); una de las partes fue dividida entre tres y determinó que esa debería medir 8.33 metros, pero omitió que, al sumarlas, el alambre ya no mediría los 25 metros.
En la figura 6 se muestra la respuesta descrita, cuyo nivel de comprensión es uniestructural, ya que identifica los datos del problema, pero el procedimiento fue incorrecto.
El segundo tipo de respuesta proporcionado es el ejemplificado en la figura 7, en la cual se puede identificar que se plantean de forma correcta los datos del problema, pero no se les expresa de forma algebraica, sino que simplemente se proponen valores aproximados mediante cálculo mental, aunque comprueba su resultado.
En este caso, a partir de la respuesta anterior, se plantearon preguntas orientadoras para que en grupo se pudiera ir dando forma a la ecuación de primer grado que permitía expresar los datos del problema en forma algebraica y en consecuencia, obtener el resultado correspondiente a las dos partes en que deberían ser dividido el alambre.
En el cuarto ejemplo presentado, también se pudo identificar que la comunidad estudiantil tenía dificultades para representar algebraicamente los datos de los problemas, cuya situación fue la siguiente:
Una balanza está en equilibrio si se pone una pastilla de jabón en uno de sus platillos y en el otro se ponen 3/4 de una pastilla igual y una pesa de 3/4 de kilo. ¿Cuánto pesa la pastilla de jabón entera?
En la figura 8, se muestra un ejemplo de respuesta, en la cual el estudiante identificó que en un disco de la balanza debería ir una pastilla de jabón y en el otro, una pesa de tres cuartos de Kg. y tres cuartos de una pastilla de jabón igual. Sin embargo, estableció incorrectamente la relación entre el peso de la pastilla y la pesa de tres cuartos de Kg.
Su nivel de comprensión es uniestructural, ya que identificó los datos del problema, pero estableció en forma invertida la relación entre el peso de la pastilla y la pesa de tres cuartos de kilogramo; además, calculaba la suma de un doceavo más un cuarto de kilogramo, igual a un tercio de kilogramo sin justificar su origen.
Aquí también se aprovechó la ilustración proporcionada por la estudiante para que se pudiera establecer de manera apropiada la relación que había entre los tres cuartos de kilogramo de la pesa respecto a un cuarto de la pastilla de jabón que faltaba para compensar la pastilla completa, en función de formular preguntas guía.
De forma subsecuente, se les preguntó: ¿cómo podía representarse el peso (valor desconocido) de la pastilla de jabón? Contestaron que con la variable x y se les pidió que eso lo tomaran en cuenta para expresar una ecuación que permitiera resolver el problema de forma algebraica.
A modo de conclusiones
Conforme a los resultados del cuestionario de exploración, hubo estudiantes que se encontraban en el nivel de comprensión preestructural (38%), quienes carecían de nociones algebraicas y de habilidades geométricas. El nivel de comprensión de la mayoría fue uniestructural (62%), ya que realizaban procedimientos sencillos (correctos o incorrectos).
La enseñanza fomentó la socialización de los procedimientos, lo cual permitió que los estudiantes pudieran flexibilizar su pensamiento, ya que se presentaban estrategias diversas y se aprovechaban los errores para generar reflexiones. De este modo, algunos estudiantes se ubicaron en el nivel preestructural y otros avanzaron al nivel uniestructural.
Algunos de los estudiantes que lograron alcanzar el nivel relacional de la fase cualitativa, su desempeño fue inconsistente, toda vez que sólo en algunos problemas pudieron mejorar su nivel de comprensión.
Estos resultados apuntan a la necesidad de continuar con la estrategia de resolución de problemas geométricos y algebraicos bajo la dinámica de ir alternando el trabajo autónomo con la socialización de las estrategias que propongan las (os) estudiantes.
La enseñanza solo pudo prever algunos errores que podían cometer las (os) estudiantes, lo cual le permitió anticipar su tratamiento para que se pudiera acceder a la resolución del problema en función del procedimiento convencional, por lo que es necesario continuar recopilando otros errores que puedan ser previstos en el aula.
También se hace necesario incorporar el desarrollo del pensamiento crítico y reflexivo en situaciones en las que se pueda coadyuvar en la transformación social vía la resolución de problemas que implican la toma de decisiones bajo una visión racional, científica y ética con sentido político.
Referencias
Biggs, J. y Tangs, C. (2011). Teaching for Quality Learning at University. New York: Mc Graw Hill.
Barreiro, P.; Leonian, P.; Marino, T.; Pochulu, M. D. y Rodríguez, M. A. (2017). Perspectivas metodológicas en la enseñanza y en la investigación en educación matemática. Buenos Aires, Argentina: Ediciones UNGS.
Eisner, E. (1998). El ojo ilustrado. Indagación cualitativa y mejora de la práctica educativa. España: Paidós.
Galindo, C. (1996). Desarrollo de habilidades básicas para la comprensión de la Geometría. EMA. 2, 49-58. Recuperado de:
http://funes.uniandes.edu.co/1035/1/22_Galindo1996Desarrollo_RevEMA.pdf
Gigerenzer, Gerd (2005). I Think, Therefore Err. Social Research: An International Quarterly, 72 (1), 195-218. Recuperado de:
http://www.jstor.org/stable/40972008
Mazzitelli, M. J. (2016). Desarrollo de habilidades básicas a través del estudio geométrico de mosaicos. Memorias de la VI Red Pampeana de Educación Matemática. 6 (1), 40-45. Recuperado de: http://redi.exactas.unlpam.edu.ar/xmlui/handle/2013/194
SEP (2004). Libro para el maestro de Matemáticas. Secundaria. México: Secretaría de Educación Pública.
Woods, P. (1997). La escuela por dentro: la etnografía en la investigación educativa. España: Paidós.
Zivec, R. J. (2018). La Geometría a través de la irresolubilidad de tres problemas clásicos. Memorias de la VII Red Pampeana de Educación Matemática. 7 (1); 91-94. Recuperado de:
redi.exactas.unlpam.edu.ar›xmlui›handle›MemoriasRepem2018completas