משוואת ברנולי

הצינור שבאיור מעביר מים מנקודה A לנקודה B. מהירות זרימת המים בכניסה A היא 3 מטרים לשניה.

נתונים:D=50mm     d=25mm     hB=10m   PA=3.5atm

צ"ל: א. ?=vB         ב.     ?=PB

פתרון:

א. נרשום את משוואת הרציפות בין שתי הנקודות A ו- B: 

מאחר שמהירות הכניסה vin נתונה, נחשב את שטחי החתך של הצינור בכניסה וביציאה ונציב בביטוי שקיבלנו עבור מהירות היציאה vout: 

בסעיף זה, המרנו גם יחידות מידה של מטרים ליחידות מידה של מילימטרים.

האם המרת יחידות הקטרים הייתה חובה? במקרה זה לא!!! משום שבמשוואת הרציפות ניתן להציב גם שטחים במילימטרים רבועים או במטרים רבועים העיקר שיהיו אותן יחידות: 

ב. נגדיר ש- hA=0 ונראה שיש בידנו את כל הנתונים להציב במשוואת ברנולי: 

ואכן, מבחינה הגיונית ומציאותית הלחץ שקיבלנו ביציאה יותר קטן כאשר עולים בגובה.

בתרגיל זה המרנו את יחידות האטמוספירה ליחידות של פסקל כלומר: PA=3.5atm=3.5105 .

בדוגמא האחרונה ראינו שהלחץ בקצה העליון של הצינור נמוך מהלחץ בקצה התחתון. אחד הפתרונות לבעייה זו של לחץ נמוך במקומות גבוהים הוא להשתמש במיכל אגירה או מגדל מים. מהמיכל מזרימים את המים למקומות גבוהים. בואו נבדוק כיצד מיישמים את החוקים שלמדנו לפתרון של בעיה הנדסית מהסוג שתארנו. 

בריכת אגירה מגדילה את הלחץ עבור צינור

בריכת אגירה מספקת מים שצפיפותם 1000 ק"ג למ"ק. ספיקת הצינור היא 0.1 ליטר לשניה. מה צריך להיות גובה המים במיכל כדי שבברז המצוי בנקודה B יהיה לחץ של 3.5 אטמוספירות.

פתרון:

א.     נרשום ביטוי עבור הלחץ PA בנקודה A שהיא נקודה משותפת למיכל ולכניסה לצינור:

בעמודים הקודמים ראינו מה המשמעות של הלחץ במיכל או בבריכת אגירה. כמו כן דיברנו על מושג הספיקה וראינו שבתוך צינור, הספיקה היוצאת ממנו שווה לספיקה הנכנסת אליו. כעת, נרצה לחזור לבעית בריכת האגירה ולתאר מצב בו אנו רוצים להוביל מים אל בריכת האגירה. מהיכן ניקח את המים?

שאלה מצוינת! כולנו יודעים שלמדינת ישראל יש בעיית מים חמורה, מקורות המים המועטים נמצאים בצפון הארץ. ומאגר המים הגדול היחידי של מדינת ישראל, הלא הוא הכינרת, נמצא בגובה של -212 מטרים מתחת לפני הים. כיצד הצליחו מתכנני המוביל הארצי להעביר את המים מגובה זה לשפת החוף או לנגב, אזורים הנמצאים מעל פני הים?

למעשה בצורה אינטואיטיבית כבר בימי קדם נבנו בישראל מתקנים המבוססים על הולכת המים בצורה חכמה תוך התגברות על הפרשי גובה. לדוגמא: מפעל המים שנבנה בציפורי, מפעל המים של המלך חיזקיהו בירושלים, מפעל המים של הורדוס במצדה.

בנוסף לחוק הרציפות, שעסקנו בו ומבטא את חוק שימור החומר, כי הוא מראה שכמות החומר שעוברת בצינור נשארת קבועה, אנחנו נראה שזרימה גם מתאפיינת בעוצמת הזרימה, בכוחות שהזרימה מפעילה ובמהירויות בהן היא זורמת. במונחים פיסיקליים, "עוצמת הזרימה" באה לידי ביטוי במושג שהפיסיקאים קוראים לו: "אנרגיה של זרימה".

זורם הנמצא בתנועה, בעל "עוצמה רבה", נוכחנו לראות כי כאשר יש הצפות בחורף נוצרים זרמי מים הגורמים למכוניות ואפילו משאיות כבדות מאוד לנוע עם הזרם. בעצם לזורם יש אנרגיה רבה. כולנו יודעים שבעזרת כוח המים ניתן להניע טחנות קמח, או אפילו לייצר חשמל. כלומר הצלחנו לייצר אנרגיה חשמלית או הספק חשמלי על-ידי המרת הספק הידראולי (של עוצמת המים הזורמים) להספק של תנועה סיבובית ובעזרת דינמו המרה של הספק מכני בתנועה סיבובית להספק חשמלי.

אלו סוגי אנרגיה משתתפים באנרגית הזרימה של המים ומה היחסים ביניהם?

הפיתוח הרעיוני שהבענו כאן מתבסס על ההנחה שהזרימה היא זרימה אידיאלית כלומר אין הפסדים כתוצאה ממערבולות וחיכוך שנוצרים בין שכבות המים הזורמות. הפסדים יכולים להתרחש בנוזלים שצפיפותם שונה ממים, אבל גם במים ייתכנו הפסדים.

מאחר שקצת קשה למדוד את המשקל של הנוזל הנמצא בתנועה, מתממשים במושג שנקרא בשם: "אנרגיה סגולית". אנרגיה סגולית מייצגת את האנרגיה ליחידת משקל (בהנדסה מקובל גם להשתמש במושג "עומד" במקום אנרגיה סגולית). מהן היחידות של אנרגיה סגולית.

נבדוק מהי האנרגיה הסגולית בכל אחד מהתופעות שהזכנו בעמוד הקודם, ונבצע זאת על-ידי כך שנחלק את כל אחד מהביטויים של האנרגיות השונות במשקל המים:

1. אנרגיה סגולית של גובה (אנרגיה פוטנציאלית סגולית):

שימו לב: במקרה של אנרגיה סגולית של גובה התקבלו יחידות מידה של גובה כלומר   מטרים. 

2. אנרגיה סגולית של מהירות (אנרגיה קינטית סגולית):

ובמקרה של אנרגיה סגולית של מהירות (אנרגיה קינטית) גם הוכחנו שהיחידות       של האנרגיה הסגולית הן מטרים. 

3. אנרגיה סגולית של לחץ:

ברנולי (Bernoulli) ניסח חוק שקובע שבתנאי שהזרימה אידיאלית (אין הפסדים כתוצאה מחיכוך בזרימה) סך כל האנרגיות הסגוליות של הזורם נשאר קבוע (Constant). 

המשמעות המעשית של חוק ברנולי ניתנת לשימוש בדוגמאות רבות בהן צריך להשוות את האנרגיות הסגוליות של הזורם בשני מקומות או יותר בצנרת לאורכה מתרחשת הזרימה. כאשר עושים השוואה כו בין שתי נקודות A, ו- B  מתקבלת משוואת ברנולי: