כפיפה
מציאת כוח ומומנט כפיפה מקסימלי משיקולי חומר הקורה ומימדיה:
א. חישוב מאמץ מותר לכפיפה.
ב. קבע את המומנט המקסימלי שמותר להפעיל על קורת לגו (ללא הקדחים) בשתי החלופות של רוחב וגובה של הקורה.
ג. בחלק מקורות הלגו יש קדחים כמתואר בציור, כיצד תשתנה תשובתך לסעיף ב' בהתחשב בקדחים אלו כמפורט בסרטוט היטל הצד.
ד. שרטט מהלך מומנטי כפיפה וכוח גזירה וקבע היכן פועל המומנט המקסימלי.
ה. לפי המומנט המקסימלי מהו הכוח החיצוני F הפועל על הקורה ומהן כוחות התגובה.
ו. מצא את כוחות התגובה הפועלים על הקורה.
פתרון:
העיווי בכפיפה:
את העיווי בכפיפה ניתן לראות היטב בחכת הדייג. אם מניחים על הקרקע ייתכן שהיא תיראה ישרה לחלוטין. ברגע שמרימים את החכה מן הקרקע מייד רואים שהיא משנה את צורתה במקצת. ואם גם תולים משקולת בקצה (למשל דג) אז בוודאי שהחכה מתכופפת. למעשה אנחנו מכנים את תופעת העיווי בכפיפה בשם: שקיעה. כי הקצה הרחוק של החכה שידנו מחזיקה בקצה האחר שוקע יחסית לקצה בו אנחנו אוחזים. כיצד יתכן שהחכה שוקעת גם כשלא הפעלנו עליה עומס חיצוני, כמו למשל משקל הדג?
ובכן, זה הזמן לגלות מושג חדש. או בעצם להבדיל בין שני מושגים:
עומס נקודתי (מרוכז בנקודה אחת) עומס מפורס (או עומס מחולק) באופן שווה לאורך הקורה, הגשר, החכה, הגל, הסרן או הציר).
נתאר את חכת הדייג בעזרת תיאור סכמטי ודג"ח:
ידיו של הדייג יוצרות מומנט התנגדות למומנט שמכופף את החכה וגורם לקצה הרחוק מהדייג לשקוע. אז אין דג. ובכל זאת אנחנו טוענים שהקצה המרוחק מהדייג ישקע. מה גורם לשקיעה? אלו עומסים חיצוניים פועלים על החכה כאשר אין עליה משקל בקצה? כמובן, לחכה עצמה יש משקל. וכוח המשיכה של כדור הארץ מושך את החכה למטה. מאחר שהדייג מחזיק את החכה בצד אחד מדוע הקצה השני שוקע?
זוכרים שאמרנו שכוח המשיכה מושך את הגוף כלפי מרכז כדור הארץ. אבל הגוף מורכב מחלקיקים. שכל אחד מהם נמשך אל מרכז כדור הארץ כמתואר באיור הבא:
החץ האדום הוא הכוח שהדייג מתאמץ להחזיק את החכה ישר, למה שווה הכוח הזה?
חומרי לימוד מהאתר הישן
בדיקה לכפיפה וחישובי סרנים
בדיקות כפיפה נעשות בחומרים פריכים כמו יצקת, שמקדם ההתארכות שלה נמוך מאוד או בחומרים שמעצבים אותם בעיבוד פלסטי, כגון כפיפה או מתיחה בקור.
בעת הבדיקה נמדדים:
הכוח החיצוני הדרוש עד לשבירה - P
השיעור של השקיעה עד למצב שבירה - AA
זווית הכפיפה שאפשר להגיע - מעלות
להלן תרגילי דוגמא בחישובי קורות (או סרנים):
אחת הדרכים האפשריות לתמוך בתלמידים שלנו הוא לקשר תחומים לימודיים נוספים לתחומים שלנו.
חקר תופעת הכפיפה מזמן אפשרות ללמד את הנושא באמצעות הגדרת פונקצית המומנט הפועל על כל חתך בקורה ובאמצעות גזירה למצוא את פונקצית הכוח. תיאור איכותי של הגרפים של שתי הפונקציות הללו לפי נקודות החקירה של הפונקציות ייצור למעשה את התרשים הידוע בשמו: מהלך כוחות גזירה ומומנטי כפיפה.
להלן קובץ: פתרון כפיפה בקורות לפי פונקצית המומנט ונגזרתה תוך חקירת ערכי קצה. המדגים כיצד ניתן לעשות זאת. התרגילים הנמצאים בקובץ זה נוסו בהצלחה עם תלמידי 3 ו- 4 יח"ל מתמטיקה שלמדו במגמה למערכות הנדסיות בבית הספר העל יסודי משגב בין השנים 1993 - 2003 כמו כן תיקייה עם מספר מבחנים.
קישור לשיטה של ירון בפורטל החדש. מופיע גם בפרק האחרון בספר אופנים תשפ"א
חלק 1: תופעת הכפיפה מהי?
הפיל שהתיישב על הגלגש בספר "החומר, הכוח והחוזק" גרם לחומר ממנו עשוי בסיס הגלגש להיכנע. מה יקרה למסגרת האופניים (מסגרת Frame, שילדה – Chasis) אם הפיל יתיישב על המוט העליון ("רמה") של שילדת האופניים?
אבל גם אם תיקח קורת לגו, או כל מוט אחר שעשוי מחומר כלשהו, אלומיניום ואפילו פלדה ותעמיס אותו במשקל רב במרכזו כאשר הוא נתמך בשני קצותיו נניח בין שני שולחנות כיתה תוכל לראות שמשהו קורה למוט.
אם נתבונן במוט "מקרוב" נראה שהמוט משנה את צורתו.
נתבונן במקרים דומים:
כל המוטות הנזכרים בדוגמאות עוברים שינוי בצורתם ממוט ישר למוט בעל עקמומיות. בשפה מקצועית אומרים שהמוטות מתכופפים. מצב העמיסה של המוטות נקרא כפיפה (Bending).
משימה:
הבא דוגמאות נוספות מחיי היום יום שבהן אפשר לראות דוגמאות למוטות, קורות, מנופים, גשרים או כל דבר אחר שרואים שעבר תהליך של כפיפה.
משימה: מה קורה למוט המתכופף?
נתאר לנו מה קורה למוט שמעמיסים אותו. גם אתה הקורא מתבקש לבצע ניסוי דומה.
קח ספוג מאורך שצורתו מנסרה מלבנית. הדגש את הקו האמצעי כמתואר באיור. הפעל כוחות בעזרת האצבעות כך שיגרמו לספוג להתכופף. התבונן בתאים המשובצים בזמן שהכוחות הגורמים לכיפוף פועלים על הספוג.
שים לב: התאים מעל הקו האמצעי מתרחבים (מתארכים). והקווים מתחת לקו האמצעי מתכווצים. הקו האמצעי שאינו מתארך ואינו מתכווץ נקרא בשם קו ניטרלי. קו זה עובר דרך מרכז הכובד של הגוף.
שאלה
הקורות המרכיבות את גג הרעפים בבתים מיוצרות מפלדה ולא מיציקת ברזל או בטון. מדוע?
תשובה
הקורות מתכופפות, מהן מתארכות ומהן מתכווצות. הפלדה (זכור ספר "החומר, הכוח והחוזק") עומדת בשני המצבים האלה – מתיחה ולחיצה. ואילו יציקת ברזל ויציקת בטון אינן "אוהבות" התארכות ואינן עומדות בה.
מה גורם לכפיפה?
כאשר אנחנו מכופפים את הספוג אנחנו מפעילים כוחות הגורמים למומנטים. החיצים באיור שלפניך מסמנים את המומנטים שאתה מפעיל על הספוג.
למומנטים שיוצרים הכוחות החיצוניים אנחנו קוראים בשם: "מומנט כפיפה" ומסמנים אותו באות: Mb (האות הקטנה b היא כמובן האות הראשונה של תופעת הכפיפה – Bending).
נתבונן בדוגמת המתעמל שהבאנו קודם לכן ונתאר אותה באמצעות דג"ח:
למעשה שני הסמכים הם נייחים אולם אנחנו לא נפתור בעיות בהן יש שני סמכים נייחים משום שנדרשת טכניקה מסובכת יותר לפתרון בעיות מסוג זה הנקראות "בעיות יתר סטטיות".
קיימים מספר סוגי סמכים (תומכים). באיור סימנו שניים אחד נייד (זה שמתואר על גלגלים – עיגולים) ונייח ללא הגלגלים. הסמך הנייד יכול ליצור כוח תגובה אנכי בלבד. הסמך הנייד יכול להתנגד לתנועה גם בציר X ולכן מקובל להוסיף גם חץ בכיוון ציר X, המייצג את כוח התגובה בציר X. בכל הדוגמאות שאנחנו נביא לגבי קורות כמו המוט שהמעמל שלנו מתרגל עליו אנחנו נשתמש בשני הסמכים הללו ובסמך נוסף שנקרא "ריתום" (קיבוע) סמך זה מייצר בנוסף לכוח תגובה אנכי וכוח תגובה אופקי גם מומנט התנגדות למומנטים חיצוניים שפועלים על הגוף.
חישוב מוט (קורה) לכפיפה מורכב משני שלבים:
ברשימה זו מופיעים מושגים שטרם דיברנו עליהם. נבהיר אותם בהמשך. שים לב: כל החישובים וההסברים נבצע שלב אחר שלב. גם תרגילים נפתור בחלקים על פי ההתקדמות בנושא.
תיאור גרפי של מהלך מומנטי כפיפה ומהלך כוחות גזירה
מדוע בכלל נדרש תיאור גרפי? מי משתמש בתיאור גרפי (חוץ ממתמטיקאים)?
ובכן, כידוע לנו תיאור גרפי הומצא על-ידי אנשים כדי לתאר בצורה ויזואלית (תמונתית) תהליכים שונים. דוגמאות: תזרים חשבון בנק במונחים של ציר זמן וכמות הכסף הנמצאת בחשבון. דוגמא נוספת: תיאור דרך שעברת בטיול במונחים של מרחק שעברת כפונקציה של הזמן x=f(t). פונקציה? כן כמו שלמדנו בשנה שעברה ניתן לתאר את המומנט כפונקציה של מרחק ועוצמת הכוח: M=f(F)=r×F. כמו שלמדנו השנה ניתן לתאר את המאמץ כפונקציה של מכפלת מודול האלסטיות בהתארכות: σ=f(ε) ===> σ=E×ε
מדוע בתיאור הגרפי הזה הקווים נטויים?
כללי סימון בכפיפה
כללי הסימון הם עניין של הסכמה כללית, כמו חציית כביש באור ירוק או כמו שבמערכת צירים ימנית הכיוון של ציר x הוא ימינה והכיוון החיובי של ציר y הוא למעלה. חייבים לשמור על כללים אלו כי הם בינלאומיים ונוצרו לצורך הבנה הדדית. כללי הסימנים בנויים כך שהמהלך בלתי תלוי בנקודת תחילת בניית המהלך שאנחנו קובעים אותה, אך תלוי רק בכוחות המופעלים על הקורה (או על המוט, או על הציר, הסרן או הגל). שים לב, לצערנו בכל עולם הנדסת מכונות היחידות של מומנט הפוכות ממה שלמדנו כלומר: Nmm במקום mmN בכל התרגילים בהמשך אנחנו ניצמד למה שמקובל בעולם וגם בגלל שהשיטה שאנחנו מלמדים כאן שומרת על סימני המומנט בזכות השימוש בפונקציה ונגזרתה. נגזרת של פונקצית המומנט היא שיפוע גרף המומנט וגם ערך הכוח בקטע שנחקור.
חלק 2: חישוב המאמץ בתופעת הכפיפה
לפני שנוכיח (כמו שהוכחנו בתופעת הפיתול) שנוסחת הכפיפה מאוד דומה לנוסחת הפיתול בואו נחזור לניסוי הספוג ונבין לא רק את הגיאומטריה של הספוג שנתון לכפיפה אלא ננתח מהם המאמצים הפנימיים הנוצרים בספוג כתוצאה מהפעלת צמד הכוחות החיצוניים שגרם לכפיפת הספוג.
ציר זה (למעשה זה ציר z שהתכופף) עובר דרך מרכז הכובד (שהוא מרכז הסיבוב שהמומנטים מנסים לסובב את הספוג). דרך מרכז זה גם עובר קו הכפיפה הניטרלי שלא מתארך ולא מתקצר.
אם קווי הכפיפה שנמצאים מעל הקו הניטרלי מתארכים וקווי הכפיפה שמתחת לקו הניטרלי מתקצרים אז המאמצים הפנימיים שפועלים בספוג הם מאמצי מתיחה בחלק העליון ומאמצי לחיצה החלק התחתון.
ניזכר בתופעת הפיתול: ניקח ספוג עגול (כן כזה שילדים משחקים איתו בברכה) ונפתל אותו באמצעות מומנט פיתול שנפעיל עליו. סביב איזה ציר מתפתל שטח החתך?
נכון סביב ציר z ואילו סביב איזה ציר מתכופף הספוג כאשר מפעילים עליו את מומנטי הכפיפה שתארנו? נכון, סביב ציר x. היכן ציר x בהיטל המתואר? הוא חודר אל המסך (או אל הדף) בניצב לציר z בדיוק בנקודה O של מרכז הכובד המרחבי של הגוף.
בואו נעשה ניסוי נוסף:
ניקח ציר של לוגו ונפעיל עליו מומנט כפיפה כמו שהפעלנו על הספוג. האם ציר הלגו התכופף? כנראה שכן. ניקח שלושה צירים של לגו וננסה לכופף אותם. האם התכופפו? אולי! ניקח 10 צירים של לגו ונפעיל עליהם את אותו צמד כוחות שיוצר את אותו מומנט כפיפה (עם הצירים באותו אורך). האם 10 צירים של לגו יתכופפו תחת אותה עוצמה של מומנט? כנראה שלא!!!
כלומר, בדיוק כמו במתיחה, מעיכה, לחיצה, גזירה ופיתול, למידות חתך הגוף יש השפעה יחד עם העומס החיצוני על המאמץ הפנימי שפועל.
בגזירה ובפיתול המאמצים היו כתוצאה מעומסים שפועל לאורך קו משיק למישור החתך ולכן קוראים להם מאמצים טנגנטים. ואכן השתמשנו באות היוונית t לסימון מאמצי הגזירה בתופעת הגזירה ומאמצי הגזירה בתופעת הפיתול. לעומת זאת במתיחה וכפיפה העומסים החיצוניים פועלים לאורך קו מאונך למישור החתך, ולכן קוראים להם מאמצים נורמליים. וגם ראינו שלמעשה המאמצים הפנימיים שנוצרים בספוג הם מאמצי מתיחה/לחיצה. ולכן נסמן גם את המאמץ שנוצר בכפיפה באות sb רק הוספנו שוב את האות b כדי לציין שאנחנו עוסקים בכפיפה – Bending.
ולכן כמו בפיתול הנוסחה לחישוב המאמץ שנוצר בתופעת הכפיפה תראה מאוד דומה:
ומהן היחידות שקיבלנו למאמץ בתופעת הכפיפה כתוצאה מחלוקה של המומנט במודול החתך? לשמחתנו קיבלנו כמובן, יחידות של מאמץ שכבר למדנו לקרוא להן: MPa.
מודול חתך צירי
אז ראינו שכמו בפיתול מודול החתך הוא המתנגד למומנט הכפיפה שהפעלנו על הקורה בעלת חתך מלבני או על הציר בעל חתך של עיגול.
שים לב שפילוג המאמצים בשטח החתך מראה שיש מאמץ משני הצדדים. כמו בפיתול ניתן להוכיח את נוסחאות המודול הצירי לחתכים שונים. בסוף הפרק תמצא טבלה המרכזת את מודול החתך הצירי ומומנט האינרציה הצירי בו משתמשים בכפיפה.
בדומה לפרק הפיתול נוסחת הכוח שגורמת למאמצי המתיחה בתופעת הכפיפה: dF = σ × dA
וגם: dMb = r×dF לכן: dMb = r×σ ×dA
אבל ראינו שתופעת הכפיפה שונה במקצת מתופעת הפיתול, המומנט פועל סביב ציר אחר ופילוג המאמצים שונה. בתופעת הפיתול יש מאמצי גזירה ובתופעת הכפיפה יש מאמצי מתיחה. גם הראנו מקודם שפילוג המאמצים מתרחש גם מעל מרכז הסיבוב וגם מתחת מרכז הסיבוב ולכן הנוסחה של מודול החתך הצירי מבטאת את הסימטריה הזאת בכך שאנחנו מכפילים פי שניים את המאמצים, ולכן נקבל:
המשך דוגמת המתעמל: חישוב מאמץ מקסימלי בכפיפת המתח:
ראינו שהמומנט המקסימלי המתקבל בדוגמת המתעמל הוא: Mbmax=210Nm כעת נחשב באמצעות הנוסחה החדשה שפיתחנו את המאמץ המקסימלי שמתפתח במתח:
אם המתח הוא מוט בקוטר d העשויה מפלדת SAE1010 שמאמץ הכניעה שלה הוא: σy=180MPa וניקח מקדם בטיחות 2=[S] מה יהיה קוטרו המזערי של מוט זה כדי לעמוד בעומסים החיצוניים?
אנחנו מצאנו שהנוסחה האמצעית היא הנוחה ביותר לחישוב וגם מספיק מדויקת.
בכל מקרה כמובן שנבחר קוטר של d=28mm (ואם לא יהיה אצל הספק קוטר כזה נוכל לבחור כל קוטר גדול יותר.)
בהתעמלות גם מתעמלים על קורות בעלי שטח חתך מלבני ולא מוטות בעלי שטח חתך עגול.
