מאמצים משולבים

אנחנו מבדילים בין שני סוגים של רכבל:

1. האחד הקרוניות או הכיסאות מונעים על כבל אחד תוך שיווי משקל בין הקרונית העולה לקרונית היורדת, כמו שמתקיים בכרמלית בחיפה ובמקומות רבים נוספים בעולם. הרכבל הראשון שהותקן בשיטה זו היה בליון בצרפת בשנת 1862. כיוון ברחבי העולם יש אלפי רכבלים הפועלים בשיטה זו המאפשרת חיסכון בהספק החשמלי הנדרש להפעלת הרכבל כתוצאה משיווי משקל הכוחות על כבל אחד.

2. הסוג השני, הוא רכבל שפועל כך שכל קרונית נעה עצמאית על כבל משלה. המינוח האנגלי שונה (Inclined elevator – מעלית מוטה). השם יכול להטעות מאחר שברוב המעליות האנכיות יש משקולת שנעה בכיוון המנוגד לתנועת המעלית על אותו כבל ובכך פעולתה דווקא דומה לרכבל.

המשותף לשני הסוגים שבשניהם קיים כבל שמונע על-ידי מערכת של מנוע + גלגלות. המשותף בין שני הסוגים הוא שבשניהם פועל עומס מתיחה על הכבל ועומס פיתול על ציר הגלגל שמניע את הכבל. המשותף שכאשר קרונית עוברת עמוד נושא מופעל עומס כפיפה על ציר הגלגלת של הכבל באותה נקודה. וכמובן שיש סכנת גזירה של פינים, מסמרות ושגמים שנמצאים במערכת המורכבת הזאת שמשרתת מיליוני אנשים ברחבי העולם.

אז מה שונה? כפי שאמרנו, מצד אחד יש חיסכון רב בהספק החשמלי שנדרש כדי להניע מערכת של כבל אחד עליו מאוזנות (נמצאות בשיווי משקל) שתי קרוניות (או יותר). מצד שני בגלל שהקרוניות על אותו כבל עומס המתיחה על הכבל גבוה יותר בצורה משמעותית כך שחייבים כבל בעל קוטר גדול יותר. קוטר גדול יותר גם מחייב גלגלות גדולות יותר ומשקל רב יותר ישפיע על תכנון חדר המנוע הנמצא בתחנה התחתונה או בתחנה העליונה.

כדי לתכנן מערכת כל כך מורכבת מביאים בחשבון מצב קיצוני: הכבל מונע במהירות מקסימלית כאשר בו זמנית הקרונית שעולה ריקה והקרונית שיורדת מלאה.

בשנת 2018 השוויצרים סיימו פרויקט בנייה שנמשך 5 שנים להתקנת מערכת רכבל בהר גבוה עם השיפוע הגדול ביותר בעולם (48^o) באורך של 1740 מטר (האוסטרלים טוענים שלהם יש רכבל עם שיפוע של 52^o אבל מרחק הנסיעה הוא רק 200 מטר). רכבל זה מונע על-ידי מנוע בהספק של P=1200KW. קרונית הרכבל נעה במהירות של 10 מטרים בשנייה. הרכבל הזה גומא את המרחק הזה ב 3 דקות. התכן ההנדסי כלל 15 פתרונות אלטרנטיביים שנשקלו בתכן ההנדסי לפני שנבחר הפתרון האופטימלי שעונה על הדרישות ההנדסיות המסובכות של פרויקט זה.

בכרמלית שלנו אורך הנסיעה הוא 2000 מטר מהירות נסיעה של 8 מטר לשניה זמן הנסיעה הוא 8 דקות, בשיפוע מרבי של 17.5^o. כבל העשוי מפלדה בעלת מאמץ כניעה של 175MPa בקוטר 53mm. יש ארבע קרוניות, שתים בכל כיוון כאשר משקל שתי קרוניות הוא 800000 ניוטון. המנוע הוא בעל הספק של 1000KW וקוטר הגלגל המניע הוא 4 מטר. היחס המומלץ בין הקוטר החיצוני של הכבל לקוטר הגלגל המניע הוא 1:50, כלומר שקוטר הגלגל המניע הוא 2650 מ"מ או 2.65 מטר. בחישובים נשתמש בקוטר של 3 מטר.

ניתן לבנות דגם ממערכות לגו, FTC, FRC, ולבנות תוכנת בקרה באמצעות LabVIEW השולטת על מהירות הקרוניות, משקל מקסימלי של אנשים בקרונית, עצירת הקרוניות, סגירה ופתיחת דלתות של מערכת הכרמלית.

תופעת הקריסה

המתמטיקאי ליאונרד אוילר היה הראשון שניסח בשנת 1757 את התופעה באמצעות שני חוקים:

1. חישוב התמירות λ (יש כאלו המכנים זאת בשם גבהות והיא מסומנת באות היוונית "הגדולה" למדה) של המוט והשוואתה לתמירות גבולית λ_E :

2. החוק השני הוא שגרף המאמץ בתופע הקריסה מתנהג כפונקציה היפרבולית התלויה בתמירות:

ותנאי החוזק יקבל את הצורה שאנחנו מכנים בשם נוסחת אוילר לחישוב כוח הקריסה הקריטי:

נוסחת אוילר נכונה רק בתחום האלסטי. ולכן אם התמירות קטנה מהתמירות הקריטית המסומנת בגרף ב- λ_E יש להשתמש בנוסחה שפיתח טטמאייר: σ_cr=a+b⋅λ. כאשר λ_E ≥100.

כאשר המקדמים משתנים בהתאם לסוג הפלדה:

טטמאייר הגדיר, עבור פלדות מסג כאשר הגבהות λ_E ≥80, נוסחה קצת שונה:

σ_cr= 762-11.8⋅λ-0.052⋅λ²

ניתן לבצע ניסוי של לחיצת מוטות כאשר הם אחוזים בשיטות שונות לפי פירוט מימין לשמאל:

דוגמת חישוב בקריסה:

עמוד שעשוי מפלדת פחמן St37 בקוטר d=30mm ושגובהו L=1m מקובע לקרקע כאשר קצהו השני חופשי. חשב את הכוח הקריטי בקריסה. אם מקדם הטיחות לקריסה הוא 7 חשב את הכוח המקסימלי שמותר להעמיס על המוט. בדוק אם המוט יעמוד גם במאמץ לחיצה לפי הכוח המקסימלי בלחיצה שחישבת.

הערה: התקן הגרמני DIN מאפשר לנו ישירות לדעת ממספר הפלדה את המאמץ הקיצון שלה לדוגמא בפלדה St37 המאמץ הקיצון הוא: σ_uts=370MPa.

לכן מאמץ מותר למתיחה לפי מקדם הבטיחות ומאמץ לחיצה (מעיכה) בשאלה הוא:

התמירות שקיבלנו גדולה מהתמירות הגבולית עבור פלדת פחמן ולכן מותר להשתמש בנוסחת אוילר:

החליפו את העמוד בשאלה בעמוד בקוטר d=60mm ושגובהו L=0.5m:

התמירות שקיבלנו קטנה מהתמירות הגבולית עבור פלדת פחמן ולכן נדרש להשתמש בנוסחת טטמאייר:

מסקנה: גם העמוד החדש יעמוד בעומסים הפועלים עליו לפי נוסחת טטמאייר.

אם נחליף את העמוד פעם נוספת בעמוד בקוטר d=100mm ושגובהו L=0.5m:

לפי חישוב התמירות לא מתרחשת קריסה כלל ולכן נדרש לחשב את המוט רק ללחיצה:

ככל שקוטר העמוד גדול יותר ואורכו קטן יותר סכנת הקריסה קטנה יותר וגם מאמץ הלחיצה קטן. ולהפך ככל שקוטר העמוד קטן יותר יותר ואורכו גדול יותר סכנת הקריסה גדלה יותר והחישוב ישתנה מלחיצה לנוסחת טטמאייר לנוסחת אוילר.

מחליפים את העמוד המקורי לשטח חתך מלבני בו רוחבו b=20 וגובהו h=30:

עמודים מלבניים בדרך כלל רתומים משני קצותיהם (μ=0.5):

התמירות שקיבלנו קטנה מהתמירות הגבולית עבור פלדת פחמן ולכן נדרש להשתמש בנוסחת טטמאייר:

מאמץ הקריסה שחישבנו קובע מאמץ קריסה מותר מתחוכו מחשבים את הכוח המרבי (מקסימלי) שמותר להעמיס על העמוד ושימנע קריסה וכמובן ימנע גם כניעה כתוצאה מלחיצה.

דוגמת חישוב 2 לקריסה

על טלטל, המוחזק ע"י פרקים משני צדדיו (μ=1), ועשוי פלדה ST52 שאורכו L=2m, פועל כוח לחיצה Q=140000N. חשב את קוטר הטלטל כאשר מקדם בטיחות הוא: 7=[s] והמאמץ המותר ללחיצה הוא:

[σ]=40MPa

פתרון:

F_cr=Q×[S]=14×10⁴×7=98×10⁴N=980000N=980kN

הכוח הקריטי לפיו נחשב את הטלטל לקריסה:

כעת נבדוק את תמירות המוט כדי לקבוע אם מותר היה לנו להשתמש בנוסחת אוילר:

נמצא בתחום המותר לפלדת פחמן ולכן מותר להשתמש באוילר. נבדוק את המאמץ בהשוואה למאמץ הלחיצה המותר:

תרגילי סיכום

תרגיל 1

באיור מתואר גל שהוא חלק מממסרת גלגלי שיניים. בגל נוצר מומנט פיתול כתוצאה מהנעה חיצונית והתנגדות גלגלי השיניים. הגל עמוס בכוח אנכי F=2500N. שני המסבים משמשים כסמכים לגל. מומנט הפיתול המועבר בגל הוא: M_t = 40,000 Nmm המשקל של הגל עם גלגל השיניים זניח.

‏א. חשב את ערכו של מומנט הפיתול (M_t) הפועל בגל.

‏ב. חשב את ערכו של המומנט המורכב האקוויוולנטי (M_e) המרבי הפועל בגל.

‏ג. חשב את המאמץ השקול המרבי הכולל (σ_e) בחומר הגל, אם נתון שמומנט ההתנגדות (מודול החתך), Z_b = 1,800mm³

‏ד. נתון שהמאמץ המותר של חומר הגל הוא: 90MPa=[σt] קבע אם הגל יעמוד במאמץ המותר. נמק את קביעתך.

תרגיל 3

באיור מתואר כרסום גלילי בקוטר 150 מ"מ המורכב על גל (מוט) הכרסום. בתחתית האיור יש תיאור סכמתי של הגל וכן תיאור של מהלך מומנטי הפיתול ומהלך מומנטי הכפיפה בגל. כוח השיבוב המרבי (המקסימלי) הוא: F = 200 N

בפרקים הקודמים של הספר חוזק במערכת האופניים הכרנו את התופעות הבאות:

1. מתיחה (Tension) ולחיצה (Compression) וגם מעיכה (Local Compression).

2. גזירה (Shear)

3. פיתול (Torsion)

4. כפיפה (Bending)

בפרק הנוכחי נלמד על מאמצים משולבים. בתמונת השער לעמודה זו (הימנית) מתוארת קורה ובה שני סוגי עומסים הפועלים ביחד על הקורה. עומס כפיפה ועומס מתיחה/לחיצה. מכיוון החיצים בחתך המוצג במערכת הצירים y-z ניתן לראות שהמאמץ השקול יהיה סכום של המאמצים. בדוגמאות המובאות בעמודה הימנית בעמוד זה יש שילובים מורכבים יותר של מאמצים.

בנוסף בעמודה השמאלית נלמד גם על תופעה נוספת שנקראת: קריסה (Buckling). תופעה זו, כפי שנראה בהמשך היא תופעה הנובעת מלחיצה של מוט, או ציר (או קורה) מאוד ארוך ומאוד צר.

בפרקים הקודמים, אפילו הכרנו מספר פרקי מכונות כמו: מסמרות, פינים, שגמים, בורג, גלים, צירים, תמסורות, וגלגלות. ראינו למשל שבמסמרות, פינים ושגמים יותר מתופעה אחת יכולה להופיע, למשל מעיכה וגזירה ולפעמים כמו בבורג ראינו שיכולה להתפתח מתיחה ופיתול בקנה הבורג, מעיכה בחומר המשטחים ואפילו לחיצה של ראש הבורג (והאום שלו) על המשטחים.

בפרק הפיתול ראינו שבבורג יש עומס מתיחה וגם עומס פיתול וניתחנו בנפרד את השפעת כל תופעה. אולם ניסיון רב שנים של מהנדסי מכונות הראה שלפעמים ניתוח של כל השפעה בנפרד אינו מספיק. למשל בציר האופניים (הגל המונע של הגלגל האחורי) עשויות להופיע שתי תופעות: פיתול של הגל המונע וגם כפיפה שלו כתוצאה מהמשקל של רוכב האופניים על הציר. כאשר דיברנו על הגל המונע של גלגל האופניים האחורי ניתחנו רק את תופעת הפיתול. בפרק זה נטפל במקרה זה בהנחה שהציר עשוי לעבור גם פיתול וגם כפיפה.

שאלת דוגמא: עומס היוצר כפיפה וגם יוצר מתיחה במוט

המוט שקוטרו, d=10mm, המתואר באיור עמוס בכוח F=500N הנטוי בזווית של a=30^O. חומר המוט הוא פלדה שמאמץ הכניעה שלה הוא: s_y=300MPa. מקדם הבטיחות הנדרש הוא: [S]=2.

מצאו:

א. מהו המאמץ המותר [s] שצריך להתחשב בו בתכנון מימדי המוט.

ב. חשבו את כוחות התגובה R_A ו- R_B.

ג. תארו, את מהלך מומנטי הכפיפה ומהלך כוחות הגזירה ומצאו את מומנט הכפיפה המקסימלי הפועל במוט.

ד. מצאו את המאמץ השקול הפועל במוט (התחשבו בכל סוגי העומסים היוצרים מאמצים במוט).

ה. בידקו האם המוט יעמוד במאמץ השקול שחישבתם בסעיף ד לפי המאמץ המותר שחישבתם בסעיף א' .

פתרון:

ב. חישוב כוחות התגובה בסמכים:

ג. תיאור מהלך מומנטי כפיפה ומהלך כוחות גזירה במוט:

מצאנו שהמומנט המקסימלי שפועל במערכת הצירים y-z הוא: Mb_x =12,500Nmm

ג. מאחר שהכוח F פועל בזווית, הרכיב האופקי שלו, F_x, יחד עם הרכיב האופקי של כוח התגובה בסמך הנייח, R_Ax, יוצרים מאמץ לחיצה על המוט. תחילה, נחשב את מאמץ הלחיצה שפועל על שטח החתך של המוט, ואח"כ נחשב את המאמץ שנוצר כתוצאה מעומס הכפיפה שמפעיל הרכיב F_y על המוט:

ד. מאחר שמדובר במאמץ שנוצר מעומס לחיצה ובמאמץ שנוצר כתוצאה מעומס כפיפה שני סוגי המאמצים הם מאמצים נורמליים ולכן ניתן לחבר אותם:

σ_eq = σ_t + σ_b = 3.2 + 127.3 = 130.5MPa

ה. בדיקה שהמאמץ. השקול הקיים עומד בתנאי החוזק:

σ_eq = σ_t + σ_b ≤ [σ_t] ⇒ 130.5MPa ≤ 150MPa → המוט יעמוד במאמץ השקול

פיתול וכפיפה של גל (Shaft) וכפיפה של סרן (Axle)

מה פתאום לציר (חלק מכונה שמסתובב או שמשהו מסתובב סביבו) יש הפרדה לשני מושגים הנדסיים גל וסרן. מה ההבדל בין ציר גלגל האופניים הקדמי לבין ציר גלגל האופניים האחורי?

ההבדל הוא שגלגל האופניים הקדמי מסתובב על הציר שלו ואינו מונע. מאחר שהוא אינו מונע לא מופעל עליו למעשה מומנט פיתול חיצוני. והוא נתון אך ורק לעומס חיצוני אחד שהוא עומס כפיפה. לציר שעליו מופעל עומס כפיפה בלבד אנחנו קוראים "סרן". הניתוח של הכפיפה בסרן הקדמי של האופניים זהה לחלוטין לכוח הפועל במרכז קורת לגו שפתרנו בפרק הכפיפה. רק צריך לחשב כיצד מתחלק משקל הרוכב בין הגלגל הקדמי והגלגל האחורי.

נשתמש בכוח מתיחות זה בהמשך השאלה כי הוא למעשה יוצר עומס כפיפה על הגל בנוסף לעומס הכפיפה שהזכרנו כתוצאה ממשקל הרוכב. בפרק הפיתול ניתחנו צירים שפועל עליהם מומנט פיתול. ובפרק הכפיפה ניתחנו צירים שפועל עליהם מומנט כפיפה. בפרק הנוכחי ננתח את הגל האחורי ונוסיף לניתוח שביצענו בפרק הפיתול את תופעת הכפיפה שעשויה להתרחש בגל המונע שגורם לסיבוב של הגלגל האחורי של האופניים. לפני שנעשה זאת, כמובן באמצעות דוגמא חישובית אמיתית ניזכר סביב איזה ציר פועל מומנט הפיתול בגל הזה וסביב איזה ציר פועל מומנט הכפיפה. שימו לב באיור הקודם לא רואים את הגל, הוא מופיע בנקודה O (כאילו יוצא מתוך המסך אליך כאשר אתה מתבונן בנקודה O). לכן, הגיע הזמן לתאר את הגל עצמו.

שימו לב, לשתי מערכות צירים שונות שהגל (הציר האחורי של האופנים) מתואר בהן כדי לראות את העומסים השונים שפועלים על הגל הזה. עומס כפיפה מהכוח הנורמלי N_A, עומס כפיפה כתוצאה ממתיחות השרשרת F_t, ועומס פיתול Mt, המועבר דרך השרשרת מדוושות האופניים.

אולם השרשרת מפעילה עומס נוסף על הציר של הגלגש האחורי כפי שניתן לראות בהיטל העל. היא מפעילה עומס מתיחה על הגל, כלומר היא מושכת את הציר בכיוון הנסיעה לאורך ציר x. עומס זה יוצר מומנט כפיפה על ציר הגלגל האחורי. מומנט הכפיפה מנסה לכופף את הציר סביב ציר x. את מהי הזוית הקיימת בין ציר z לבין ציר x?

נסכם:

יש לנו מומנט כפיפה שמנסה לכופף את הציר סביב ציר x ויש לנו מומנט כפיפה שמנסה לכופף את הציר סביב ציר x. יש לנו מומנט פיתול שמסובב את הציר סביב ציר z.

נתחיל בתופעת הכפיפה: כיצר מחשבים מומנט כפיפה שקול שפועל בשני מישורים ניצבים זה לזה, או סביב צירים שניצבים זה לזה. ניזכר: כאשר רצינו לחשב כוח שקול של שני כוחות ניצבים זה לזה השתמשנו במשפט פיתגורס. גם מומנטים הם עומסים שיש להם עוצמה וגם כיוון ולכן מותר לחשב את השקול שלהם באמצעות משפט פיתגורס:

מסקנה: הגל המונע על-ידי שרשרת האופניים ומסובב את הגלגל האחורי של האופניים יעמוד במאמץ השקול הנובע מפיתול ומכפיפה של הגל.

מתיחה ופיתול בעת הידוק מנגנון בורג ואום

ניזכר באיור שמתאר את המנגנון:

המאמץ בתופעת המתיחה נקרא מאמץ נורמלי, והמאמץ בתופעת הפיתול נקרא מאמץ משיקי. שני המאמצים הללו פועלים במישורים ניצבים זה לזה. ולכן, כדי לחשב את המאמץ השקול שפועל כאן שוב משתמשים במשפט פיתגורס. אולם מאחר שהראנו גם בפרק הגזירה וגם פעם נוספת בפרק הפיתול שמאמץ משיקי מסוכן יותר ממאמץ נורמלי מקובל להכפיל את המרכיב של המאמץ המשיקי פי 3 (ויש אפילו שמכפילים אותו פי 4). ולכן הנוסחה תקבל את הצורה הבאה:

לא ציינו האם המאמץ הנורמלי הוא של מתיחה σ_t או של כפיפה σ_b והאם המאמץ המשיקי הוא מאמץ גזירה τ_s או מאמץ גזירה בפיתול τ_t מאחר ובשני השילובים משתמשים באותה נוסחה.

מצאנו בפרק הפיתול שכוח המתיחה הצירי בקנה הבורג הוא: Q=2260N ושהמומנט המקסימלי להידוק הבורג הוא: M_t=1500mmN.

נחשב את המאמצים הקיימים:

אנחנו רואים שלמרות שבפרק הפיתול בדקנו את הבורג M5 והוא עמד בתנאי החוזק הנפרדים של המאמצים השונים שפועלים עליו כאשר בודקים את הבורג למאמץ משולב הוא נכשל. הבורג בו השתמשנו בפרק הפיתול היה בורג העשוי מפלדה SAE4130 ולכן אנחנו צריכים לבחור בורג עם דרגת חוזק גבוהה יותר. בנספח דרגות חוזק של פלדות לברגים נבחר דרגת חוזק 8.8:

דוגמת חישוב נוספת לסיכום מאמצים משולבים:

א. חשב את מאמץ המתיחה שמופעל על כל בורג.

ב. מומנט הסגירה של בורג M6 מדרגת חוזק הכי נמוכה, כפי שניתן לראות בנספח מומנטי הידוק של ברגים תיקניים) הוא: Mt=2800mmN חשב את מאמץ הגזירה בפיתול הפועל על כל בורג.

ג. חשב את המאמץ השקול. ובחר דרגת חוזק לבורג.

פתרון:

א. נחשב את המאמץ שפועל בכל בורג בשלושה שלבים:

קביעת דרגת החוזק:

בנספח דרגות החוזק נוכל לראות שמאמץ הכניעה לדרגת חוזק הנמוכה ביותר הוא: σ_y=240MPa ולכן מומלץ לקחת בורג מדרגת חוזק גבוהה יותר.

נבחר דרגת חוזק 5.8. בדרגת חוזק זו מאמץ הכניעה הוא: σ_y=240MPa

אם בחרנו דרגת חוזק 5.8 בה מאמץ הכניעה הוא σ_y=420MPa מקדם הבטיחות בתכנון שלנו יהיה:

מקדם בטיחות גדול מ- 1.5 נחשב תקין בתכנון מערכות שאמורות לעמוד בעומסים רגילים ובתנאי מזג אויר לא קיצוניים. אם היינו מתכננים מערכת כמו מנופים או מעליות אסור היה להסתפק במקדם בטיחות כזה וחייבים לבחור דרגת חוזק לבורג גבוהה יותר. לעיתים נדרש לשנות את התכנון ולהשתמש ביותר ברגים.

כאשר מתכננים לפעמים צריכים לבחור את קוטר הבורג מתוך תנאי התכנון. במצב זה מסתמכים על נוסחה ניסיונית ראשונית לקביעת קוטר הבורג ואח"כ ממשיכים את החישוב בדיוק כפי שהראנו כאן. להלן הנוסחה הניסיונית: