Analise Funcional
(Verão 2025)
Código: PGMAT-UFAL0018 (Mestrado/Doutorado em Matemática) (escolaridade 102h/semestre)
AVISO: aulas começam terca-feira dia 07 de janeiro 2025.
Local e horário
Curso à distância em sala do Google Meet às Terças, Quartas e Quintas-feiras; (possívelmente sexta-feira também se necessário) das 08h50 às 12h30 (aproximadamente 04 horas/aula por dia). [Dicas para assistir cursos à distância]
Cópia do material desta página será fornecida também nas plataformas
Canal do curso no applicativo Telegram: QR code ao lado
Fórum de discussão no aplicativo Telegram (a ser informado antes do início do curso).
O endereços para a sala de aula virtual no Google Meet serão fornecidos a cada dia via o grupo de discussão associado ao canal do curso no Telegram (a ser informado antes do início do curso).
Ementa oficial
Espaços vetoriais normados. Espaços de Banach. Espaço quociente.
Operadores lineares e seus adjuntos. Teorema de Hahn-Banach. Teorema da limitação uniforme. Teorema do gráfico fechado. Teorema da aplicação aberta.
Topologia fraca. Teorema de Banach-Alaoglu. Espaços reflexivos.
Espaços de Hilbert. Conjuntos ortonormais. Teorema da representação de Riesz.
Operadores compactos. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos.
Álgebras de Banach e C*.
Avaliação:
Haverá duas provas, P1 e P2, cujas notas serão somadas para obter a nota final com os seguintes pesos
40% primeira prova escrita;
60% segunda prova escrita.
Data das provas
Primeira prova (P1): sexta-feira, 31 de janeiro, 2025. [Cobrindo os tópicos 1, 2 e 3 da ementa.]
Segunda prova (P2): sexta-feira, 28 de fevereiro, 2025. [Cobrindo os tópicos 4, 5 e 6 da ementa.]
INSTRUÇÕES para a prova
Início da prova: 08h00m.
A duração da prova (enviada aos discentes pelo canal do Telegram do curso) é de 03h30 (três horas e meia) com 30 (trinta) minutos de tolerância para digitalização das folhas de resposta MANUSCRITAS junto com carteira de identidade do lado da primeira folha e submissão online (via formulário digital enviado pelo mesmo meio).
Final da prova: 12h00m.
A partir deste horário o formulário de envio será automaticamente encerrado.
Referências clássicas:
BACHMAN, G. e NARICI, L.. - Functional Analysis. New York, Academic Press, 1966.
Brezis, H. Analyse Functionnelle – Théorie et applications. DUNOD, 1999. Paris.
CONWAY, A Course on Functional Analysis (2nd. ed.), Springer-Verlag. 1990. New-York.
DUNFORD, N. e SCHWARTZ, J. - Linear Operators, Vol. 1, Wiley Interscience. New York, 1964. (Este é enciclopedico, só pra consulta)
KREYSZIG, Erwin. Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley. New York, 1978.
MACCLUER, Barbara. Elementary Functional Analysis, Springer-Verlag, 2009
REED, M. e SIMON, B. - Methods of Modern Mathematical Physics, vol. I. New York, Academic Press, 1972.
RIESZ, F. e NAGY, B. - Functional Analysis. New York, Frederick Ungar, 1955.
Referência principal
O livro que vou seguir mais de perto (especialmente para a lista de exercícios) não é um texto consagrado como estes:
César Oliveira, Introdução à Análise Funcional, IMPA, Colóquio Brasileiro de Matemática, Rio de Janeiro, 2014.
Outro mais recente e muito bom é
Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino, Eduardo Teixeira, Fundamentos de Análise Funcional, SBM, Coleção Textos Universitários, Rio de Janeiro, 2014.
Tenho também minhas notas de aula expandidas e organizadas em formato de livro:
Vítor Araújo, Uma apresentação à Análise Funcional, 2023 (versão física) e versão digital.
Textos complementares (em português):
Introdução de noções topológicas do ponto de vista de aplicações à Análise e ao estudo de espaços de Banach: cobre a primeira parte do curso de Analise Funcional.
Chaim Samuel Honig. Aplicações da Topologia à Análise. (3º Colóquio Brasileiro de Matemática, em 1961). Versão expandida do mesmo título na coleção Projeto Euclides, IMPA, 1976. E versão de 2012 na Coleção Textos Universitários do IME-USP. (Nota: também se encontra à venda na amazon.com.br)
Texto com conteúdo próximo do curso de Análise Funcional, do 6º Colóquio Brasileiro de Matemática, em 1967
Pedro Nowosad. Introdução à Análise Funcional.
Um texto mais antigo mas muito bem feito e perfeitamente atual é o conteúdo deste curso do 8º Colóquio Brasileiro de Matemática, em 1971:
Chaim Samuel Hönig, Análise Funcional e o Problema de Sturm-Liouville.
Um texto recente que descreve aplicações desta teoria na resolução de equações diferencias ordinárias e parciais, do Colóquio de Matemática da Região Sul, 2012, está escrito de maneira muito acessível (ver por exemplo o último capítulo):
Albo Carlos Cavalheiro, O Problema de Sturm-Liouville
Material do Curso
Lista completa de vídeos no Youtube.
minhas notas de aula expandidas e organizadas em formato de livro:
Vítor Araújo, Uma apresentação à Análise Funcional, 2023 (versão digital).
Plano de aulas em geral: (sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula, com vídeos auxiliares descrevendo o material)
Introdução. Normas. Completamentos. Motivação
Espera-se que os discentes estudem o material seguinte na primeira semana do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista).
pres-analfunc-intro (NOTAS DE AULA): [Capítulos 1-2 da referência principal (livro de César Oliveira)]
Introdução, motivação (Video 01).
Normas equivalentes (Video 02).
Compacidade e dimensão (Video 03).
Completamento de espaços normados (Video 04).
[Complemento: Aula 01 e Aula 03 do curso filmado de Análise Funcional de Marcelo Viana no IMPA]
Motivação para o estudo de Topologia Fraca* e Álgebras de Banach (Video 05)
Teoremas Fundamentais: Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, Aplicação Aberta e Gráfico Fechado
Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a segunda e a terceira semanas do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista)
pres-analfunc-fundamentais (NOTAS DE AULA): [Capítulos 3-10 e 12 da referência principal]
Bases e Separabilidade (Video 06).
Operadores lineares limitados (Video 07).
Teorema de Hahn-Banach e alguns corolários (Video 08).
Teorema da Limitação Uniforme (Video 09).
Teorema da Aplicação Aberta. Teorema do Gráfico Fechado (Video 10).
Exemplos de aplicação. Suplementar topológico e complemento ortogonal.
[Complemento: Aula 04; Aula 05 e Aula 06 ; do curso filmado de Análise Funcional de Marcelo Viana no IMPA]
pres-analfunc-limitacaouniforme (NOTAS DE AULA): prova elementar do Teorema da Limitação Uniforme (sem usar o Teorema de Baire).
Topologias fracas
Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a terceira e a quarta semanas do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista)
pres-analfunc-adjunto (NOTAS DE AULA): [Capítulos 13-16 da referência principal]
Topologia fraca (Video 11).
Topologia fraca versus topologia forte (Video 12).
Espaços Reflexivos (Video 13).
Compacidade sequencial e metrizabilidade em espaços reflexivos (Video 14).
Adjunto de Banach de um operador (Video 15).
Primeira PROVA
O conteúdo da primeira prova, no final do primeiro mês do curso, contém os três primeiros tópicos da ementa oficial.
A duração da prova (enviada aos discentes pelo canal do Telegram do curso) é de 03h30m (três horas e trinta minutos) com 30 (trinta) minutos de tolerância para digitalização das folhas de resposta e submissão online (via formulário digital enviado pelo mesmo meio).
Espaços de Hilbert. Teorema de Riesz-Frechet. Adjuntos. Bases.
Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a quinta e a sexta semanas do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista)
pres-analfunc-hilbert (NOTAS DE AULA): [Capítulos 17-21 da referência principal]
Espaços de Hilbert. Lema de Schwarz. Completamento de subespaços e ortogonalidade. (Video 16).
Teorema de Riesz. Reflexividade (Video 17).
Operador adjunto de Hilbert (Video 18).
Famílias ortogonais e bases ortonormais em espaços de Hilbert (Video 19).
Operadores compactos
Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a sexta e a sétima semanas do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista)
pres-analfun-compactos (NOTAS DE AULA): [Capítulos 24-25, 27, 29-30 da referência principal]
Operadores Compactos em espaços de Banach. Propriedades. Exemplos. (Video 21)
Operadores compactos em espaços de Hilbert. (Video 22)
Alternativa de Fredholm. (Video 23)
Espectro de operadores compactos em espaços de Banach. (Video 24)
Especto de operadores compactos autoadjuntos (Video 25).
Teorema Espectral para Operadores Compactos autoadjuntos em espaços de Hilbert (Video 26).
pres-analfunc-SVDcompactos (NOTAS DE AULA) : Decomposição em Valores Singulares de aplicações lineares compactas entre espaços de Hilbert como aplicação do Teorema Espectral para Operadores Compactos autoadjuntos. Aplicação à Decomposição Polar. Extensão do Teorema Espectral para Operadores Compactos Normais em espaços de Hilbert, reais e complexos.
Introdução a Álgebras de Banach e C*
Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a sétima e a oitava semanas do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista)
pres-analfunc-algebras (NOTAS DE AULA) : [Capítulo 19 da referência de Bachman-Narici]
Álgebras de Banach, álgebras C*.
Espectro. Analiticidade do resolvente.
Caracterização de álgebras de Banach unitárias invertíveis.
A transformada de Gelfand e o Teorema de Gelfand-Mazur sobre isomorfismo isométrico entre álgebras C* unitárias comutativas e álgebras de funções contínuas sobre espaços compactos.
Segunda PROVA
O conteúdo da segunda prova, no final do segundo mês do curso, contém os três últimos tópicos da ementa oficial.
Plano de aulas em pormenor (para o mesmo curso, mas presencial)
Aulas filmadas do curso de Análise Funcional no IMPA lecionadas por Marcelo Viana.