Topologia Diferencial
Código MATD34 (Carga didática: 102h)
Horário: Seg-Qua-Sex (no edifício do IM-UFBA (térreo)) das 09h00 às 11h00
nas salas 14 ou 15.
Primeira Prova: sexta-feira, 10 de maio.
Segunda Prova: sexta-feira, 05 de julho
Conteúdo:
Variedades: definição e exemplos. Variedades com bordo. Variedades orientáveis.
Partições da unidade.
Teorema de Sard.
Topologia Cr (domínio compacto).
Transversalidade. Teoremas de Whitney.
Grau módulo dois e grau de Brower. Invariância por homotopia.
Aplicações: teorema do ponto fixo de Brower, teorema da invariância da dimensão.
Teorema de Hopf da classificação homotópica das aplicações na esfera.
Teoria da interseção e grau. Invariância por homotopia do número de interseção.
Campos de vetores e característica de Euler. Índice de Poincaré-Hopf.
Teorema de Poincaré-Hopf. Teorema de Lefshetz.
Referências principais:
LIMA, E. L. - Introdução à Topologia Diferencial. Rio de Janeiro, IMPA, 2005.
MILNOR, J. - Topology from the Differentiable Viewpoint. Charlottesville, Princeton Univ. Press, 2nd (1969).
HIRSCH, M. – Differential topology. Graduate Texts in Mathematics, 33, Springer-Verlag
Outras referências:
V. Guillemin and A. Pollack. Differential Topology. Prentice Hall, New Jersey, 1974
K. Burns, M. Gidea, Differential Geometry and Topology (Studies in Advanced Mathematics). Chapman and Hall/CRC, 2011.
E. Outerelo and J. M. Ruiz, Mapping degree theory. AMS Graduate Studies in Mathematics, vol. 108, 2009.
D. Gauld, Differential Topology: An Introduction. Dover Books on Mathematics, 2006.
M. Demazure. Bifurcations and Catastrophes: geometry of solutions to nonlinear problems. Springer-Verlag, Berlin, 2000.
B. Dubrovin, A. Fomenko, and S. Novikov. Modern Geometry, Methods and Applications, volume II. Springer-Verlag, New-York, 1985.
E. L. Lima. Curso de Análise, Volume 2. Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 1989.
M. Spivak. Calculus on Manifolds. Addison-Wesley, Reading, Massachussetts, 1997.
Coleção de videos Dimensions
Avaliação:
Nota final = (2/5)P1 + (3/5)P2
Plano de aulas em pormenor:
Aplicações diferenciáveis entre abertos de espaços euclidianos e entre subconjuntos de espaços euclidianos. Composição de aplicações diferenciáveis. Difeomorfismos entre subconjuntos de espaços euclidianos. Noção de variedade diferencial como subconjunto de um espaço euclidiano, parametrizações, sistemas de coordenadas. Exemplos. Retrato geral do curso e avaliação dos alunos.
Espaço tangente: definição e construção. Derivada de uma aplicação diferenciável entre variedades ou aplicação tangente a uma aplicação diferenciável num ponto. Exemplos. Teorema da Função Inversa.
Formas locais de imersões e submersões. A noção de mergulho. Valores regulares. Imagem recíproca de valores regulares: o Teorema da Pré-imagem, generalização ampla do Teorema da Função Implícita.
O fibrado tangente e a aplicação derivada global de uma aplicação diferenciável entre variedades. A regra de derivada da função composta (Regra da Cadeia) e difeomorfismos entre fibrados tangentes de variedades difeomorfas. O fibrado tangente de uma variedade diferencial de dimensão m é uma variedade diferencial de dimensão 2m.
Orientação de variedades. Exemplos. A orientação do fibrado tangente. A noção "abstrata" de variedade diferencial: definição, topologia, aplicações diferenciáveis entre variedades diferenciais "abstratas" e o caso particular de subvariedades de espaços euclidianos.
Classificação de variedades diferenciais de dimensão um. Exemplos e resolução de exercícios.
A noção de transversalidade e a generalização do Teorema da Pré-imagem de valores regulares para pré-imagens de subvariedades transversais a aplicações diferenciáveis entre variedades. A codimensão da pré-imagem. Casos particulares importantes: a dimensão do domínio é inferior à codimensão da subvariedade; transversalidade de duas subvariedades e a dimensão da subvariedade dada pela sua interseção. Exemplos.
Homotopia e estabilidade de propriedades de aplicações diferenciáveis entre variedades. Os difeomorfismos locais, imersões, submersões, mergulhos, difeomorfismos e aplicações transversais a subvariedades fixadas, com domínio numa variedade compacta, são estáveis por deformação via homotopia. O mesmo ocorre com domínio não compacto mas aplicações próprias.
Conjuntos de medida nula em variedades e teorema de Sard para aplicações diferenciáveis entre variedades diferenciáveis (classe C-infinito).
Topologia de classe Cr no espaço de funções de classe Cr de uma variedade compacta num espaço euclidiano. A norma Cr: definição e completude. A independência da escolha do atlas na definição da norma Cr. A propriedade de Baire. A topologia compacta-aberta (de Whitney) no caso não compacto.
Resultados preparatórios para o Teorema da Transversalidade: abertura do conjunto das aplicações diferenciáveis transversais a uma subvariedade fechada, com domínio compacto; a versão "paramétrica" do teorema da transversalidade e a densidade e abertura do conjunto das aplicações diferenciáveis transversais a uma subvariedade imersa num espaço euclidiano. Prova do Teorema da Transversalidade para aplicações diferenciáveis definidas em variedades compactas de dimensão finita.
O Teorema de Mergulho de Whitney para variedades compactas de dimensão finita. Densidade de mergulhos entre as aplicações de variedade compacta num espaço euclidiano de dimensão superior ao dobro da dimensão da variedade, na topologia de classe Cr, para todo r positivo.
Partições da Unidade e aplicações. Aproximação de aplicações de classe Cr por aplicações diferenciáveis (classe C-infinito) de variedades compactas em espaços euclidianos. Existência de métricas riemannianas em toda variedade diferencial.
O Lema de Sard para aplicações de classe Cr. Um contra-exemplo em diferenciabilidade baixa. Prova do Teorema de Existência de Partições da Unidade subordinadas a qualquer cobertura aberta de um subconjunto de variedade diferencial de dimensão finita (com base numerável de abertos e localmente compacta).
Teorema de Existência de Vizinhança Tubular para variedade diferenciais mergulhadas num espaço euclidiano. Aplicação na demonstração da densidade de aplicações diferenciáveis entre variedades diferenciais na topologia Cr para qualquer r positivo. Aplicação na existência de homotopia contínua entre aplicação contínua entre variedades diferenciais mergulhadas em espaços euclidianos e toda aplicação diferenciável suficientemente próxima na norma C0.
As topologias fraca e forte no espaço de funções de classe Cr entre variedades diferenciais e o Teorema da Transversalidade em cada uma das topologias.
Resolução de exercícios.
Revisão de formas multilineares. Produto tensorial. Base para as k-formas multilineares sobre espaço vetorial real de dimensão finita. O transporte de k-formas via aplicações lineares entre espaços vetoriais. Formas multilineares alternadas. O alternante. O produto exterior de formas alternadas e propriedades: associatividade. A base do espaço dual das k-formas lineares alternadas sobre espaço vetorial real de dimensão n. Caso particular das n-formas lineares alternadas sobre espaço vetorial real de dimensão n: o determinante. Exemplos.
O espaço vetorial das formas diferenciais em abertos de espaços euclidianos. O produto exterior de formas diferenciais. O "pull-back" de forma diferencial por aplicação diferenciável e suas propriedades básicas. A diferencial exterior de formas diferenciais e sua relação com o produto exterior de formas diferenciais. Formas fechadas e exatas. A definição de n-cubo e n-cadeias como "domínios de integração" generalizados em espaços euclidianos. Integral de n-forma diferencial num aberto de espaço euclidiano sobre n-cadeia. Teorema de Stokes (Teorema Fundamental do Cálculo) em abertos de espaços euclidianos. Exemplos.
Formas diferenciais em variedades. Derivada exterior de forma diferencial em variedade. Expressão em coordenadas locais e mudança de coordenadas. Integração de n-forma diferencial suportada na imagem de um n -cubo sobre uma variedade. Generalização usando partições da unidade para qualquer n-forma e qualquer n-cubo.
Variedades diferenciais com bordo. Espaço tangente à variedade e seu bordo. Variedades orientadas com bordo e orientação induzida no bordo. Relação entre a orientação induzida no bordo de variedade orientada e a orientação usual dada pela parametrização do bordo. Consequência para integração de formas diferenciais. Teorema de Stokes em variedades diferenciais compactas. Versões clássicas deste teorema: Teoremas de Green, Stokes e Divergência (Gauss) da Análise Vetorial no plano e no espaço euclidiano tridimensional.
Abertos simplesmente conexos e exatidão de 1-formas diferenciais fechadas em espaços euclidianos e variedades diferenciais. O Lema de Poincaré e a exatidão de k-formas diferenciais fechadas em abertos contráteis. Exemplos de formas diferenciais fechadas e não exatas: "elemento de ângulo", "elemento de ângulo sólido". Aplicação na determinação da "função ângulo" ou "argumento" em abertos simplesmente conexos do plano; o caso particular da inversa da função exponencial complexa.
Primeira Prova.
O grau (de Brower) de uma aplicação diferenciável entre variedades orientadas da mesma dimensão num valor regular. Independência do valor regular. O Teorema de Mudança de Variáveis Global para aplicações diferenciáveis entre variedades diferenciais compactas, conexas e com a mesma dimensão. A invariância por homotopia do integral do "pull-back" de forma fechada por aplicação diferenciável. Homotopia de aplicações contínuas e aplicações diferenciáveis em variedades. Extensão da noção de grau para aplicações contínuas entre variedades diferenciais. Inexistência de homotopia entre aplicação antípoda e a identidade nas esferas de dimensão par. Teorema de Poincaré-Brower sobre inexistência de campos de vetores contínuos não nulos tangentes às esferas de dimensão ímpar.
Prova do Teorema de Mudança de Variáveis Global via Lema da Isotopia. Propriedades do grau relativamente a homotopias e composições de aplicações diferenciáveis e contínuas. Exemplo de aplicações com o mesmo grau mas não homotópicas.
Aplicações do grau de Brower: Teorema Fundamental da Álgebra e contagem de zeros de polinômios (com multiplicidades) em regiões do plano; Teorema do Ponto Fixo de Brower via aproximação de funções contínuas por aplicações diferenciáveis e inexistência de retração da bola em seu bordo.
Teorema de Separação de Jordan-Brower para hipersuperfícies compactas, conexas e sem bordo em espaços euclidianos, via contagem de número de interseções de semi-retas com a hipersuperfície.
Resolução de exercícios.
Generalização do Teorema do Ponto Fixo de Brower via extensão da noção de grau para aplicações definidas em abertos de espaços euclidianos.
Teorema de Borsuk-Ulam para aplicações contínuas de n-esferas em espaços euclidianos de dimensão n+1. Prova via aproximação por função diferenciável e teoria do grau de Brower. Corolários imediatos do Teorema de Borsuk-Ulam: zeros comuns de funções ímpares na esfera e coincidência de imagens de pontos antípodas. Recíproca parcial do Teorema de Borsuk-Ulam e outro teorema de ponto fixo para aplicações da n-bola em Rn cuja restrição ao bordo (a esfera) é ímpar.
O Teorema da Invariância de Domínio como consequência do Teorema de Borsuk-Ulam e da aproximação de aplicações contínuas por aplicações diferenciáveis, via teoria do grau de Brower. Corolários imediatos: invariância de interiores e invariância de dimensão para transformações contínuas e injetivas definidas em abertos de espaços euclidianos.
Consequência da classificação de variedades diferenciais de dimensão um: o número de interseção módulo 2. A invariância por homotopia do número de interseção módulo 2 para aplicações diferenciáveis transversais a subvariedade fixada, mesmo não orientáveis. Extensão deste número de interseção para aplicações diferenciáveis não transversais e para aplicações contínuas, como aplicação do Teorema da Transversalidade e do Teorema de Extensão de Homotopia. Prova do Teorema de Extensão de Homotopia.
Teorema do Bordo: toda aplicação definida no bordo X de uma variedade diferenciável W e que admite extensão a W tem número de interseção módulo 2 igual a zero com relação a toda a subvariedade de codimensão igual à do domínio X. Como caso particular, entre variedades com a mesma dimensão e uma subvariedade formada por um ponto apenas, obtemos o grau de Brower módulo 2. Aplicação deste resultado para obter a paridade do número de raízes de funções diferenciáveis em regiões do plano (uma parte da prova do Teorema Fundamental da Álgebra).
Consequência da classificação de variedades diferenciais de dimensão um:o número de interseção orientado para aplicações diferenciáveis f de variedade X em variedade Y (orientáveis), transversais a subvariedade Z de Y com dimensão complementar: dim(X)+dim(Z)=dim(Y). Invariância por homotopia e consequente extensão deste número para aplicações diferenciáveis não transversais e para aplicações contínuas, via Teorema da Transversalidade e do Teorema de Extensão de Homotopia. Teorema do Bordo para número de interseção orientado.
Característica de Euler de uma variedade diferencial compacta e orientada. Número de Lefschetz e Teorema do Ponto Fixo de Lefschetz, na versão diferenciável. Toda aplicação contínua entre variedades diferenciais é homotópica a uma aplicação de Lefschetz.
Caracterização das aplicações de Lefschetz como aquelas cujos pontos fixos têm derivada sem autovalor 1. Interpretação geométrica e calculo do número de Lefschetz local via determinantes. Campos vetoriais diferenciáveis em variedades compactas; fluxos gerados são completos (trajetórias definidas em toda o tempo real); índice de Poincaré-Hopf de singularidades de campos vetoriais transversais à seção nula do fibrado tangente via número de Lefschetz local do fluxo gerado pelo campo numa vizinhança de cada singularidade. Relação com a característica de Euler: o Teorema de Poincaré-Hopf.
Aplicação do Teorema de Poincaré-Hopf: o Teorema de Gauss-Bonnet para hipersuperfícies de dimensão par: o integral da curvatura gaussiana sobre a hipersuperfície é dado pelo produto da característica de Euler por metade da área da esfera da mesma dimensão da hipersuperfície.
O grau é um invariante completo de homotopia para aplicações de variedade compacta conexa orientada X sobre a esfera com a mesma dimensão (Teorema de Hopf): duas aplicações contínuas de X em Sn com o mesmo grau são homotópicas.
Continuação da prova do Teorema de Hopf.
Resolução de exercícios.
Segunda Prova.