Teoria da Medida e Integração (Verão 2025)

Código PGMAT0015 (Mestrado em Matemática - Carga didática: 102h)

AVISO: aulas começam terca-feira dia 07 de janeiro 2025.

Local e horário

Curso à distância em sala do Google Meet às Terças, Quartas e Quintas-feiras; (possívelmente sexta-feira também se necessário) das 14h50 às 18h30 (aproximadamente 04 horas/aula por dia). [Dicas para assistir cursos à distância]

Cópia do material desta página será fornecida também nas plataformas

Canal do curso no applicativo Telegram: QR code ao lado
Fórum de discussão no aplicativo Telegram (a ser informado antes do início do curso).

O endereços para a sala de aula virtual no Google Meet serão fornecidos a cada dia via o grupo de discussão associado ao canal do curso no Telegram (a ser informado antes do início do curso).

Avaliação do curso:

40% primeira prova escrita;
60% segunda prova escrita.

Data das provas

Primeira Prova: SEXTA-FEIRA, dia 24 de janeiro de 2025. [Cobrindo as notas de aula a,b,c; Capítulos 9, 2, 3, 4 e 5 do livro de Bartle]

Segunda Prova: SEXTA-FEIRA, dia 28 de fevereiro de 2025. [Cobrindo as notas de aula d,e,f,g,h,i; Capítulos 6, 7, 8 e 10 do livro de Bartle]

INSTRUÇÕES para as provas

Início das provas: 14h00m.

A duração da prova (enviada aos discentes pelo canal do Telegram do curso) é de 03h30 (três horas e trinta minutos) com 30 (trinta) minutos de tolerância para digitalização das folhas de resposta MANUSCRITAS junto com carteira de identidade do lado da primeira folha e submissão online (via formulário digital enviado pelo mesmo meio).

Final da prova: 18h00m.

A partir deste horário o formulário de envio será automaticamente encerrado.

Conteúdo (ementa oficial):

Sigma-álgebras. Espaços e funções mensuráveis. Medidas. Medida de Lebesgue.
A integral. Integral de Lebesgue. Os espaços Lp. Tipos de convergência.
Decomposição de medidas. Teorema da decomposição de Hahn-Jordan.
Teorema de Radon-Nikodym.
Teorema da decomposição de Lebesgue.
Teorema da representação de Riesz. Teorema de Carathéodory.
Medida produto. Teorema de Fubini-Tonelli.

Referências bibliográficas principais

Bartle, R. G. Os Elementos de Integração e da Medida de Lebesgue. Wiley Classics Library. Edição Publicada em 1995
ROGERS, C.A., Hausdorff Measures. Cambridge Univ. Press, Cambidge, 1970, 1988.
CASTRO, A. A. Curso de Teoria da Medida. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2004. ISBN: 978-85-244-0394-1
MACHADO, A. Medidas e Integração. Lisboa, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 2011 (Textos Matemáticos 23) ISBN 978-972-8394-24-0

Referências Bibliográficas Complementares

FOLLAND, G. B.. Real Analysis - Modern Techniques and Their Applications. Second Edition. Wiley. 1999
Mcleod, R., The generalized Riemann integral. The Carus Mathematical Monographs 20. The Math. Assos. of America. 1980
KINGMAN, J & TAYLOR, S., Introducion to Measure and Probability. Cambridge University Press, 1966
ROYDEN, M.; Real Analysis. MacMillan, New York, 1963.
RUDIN, W.; Real and Complex Analysis. Mc-Graw Hill, New York, 1966.

MATERIAL DO CURSO

Lista de exercícios

Apontamentos da matéria, conteúdo de aulas expositivas e videoaulas seguem mais abaixo.

Lista de videos no YouTube

O conteúdo das aulas está sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula, junto com vídeos auxiliares descrevendo o material.

Cada um dos ítens abaixo (exceto a apresentação do curso) deve ser coberto num período de no máximo uma semana, aproximadamente.

Apresentação do curso

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte na primeira semana do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista).

pres-int-a-intro.pdf ( notas ): Introdução. Riemann versus Lebesgue.
Referência bibliográfica: Capítulo 1 de Bartle e Seção 3.1 do livro "Uma apresentação à Análise Funcional"
- Video 01: Apresentação - Riemann vs. Lebesgue (https://youtu.be/9AZm76pOE68)

Medidas exteriores e medidas

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a primeira e segunda semanas do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista)

- pres-int-b-medida.pdf ( notas ) : De medidas exteriores para medidas.
- Referência bibliográfica: Capítulo 1 de Rogers e Capítulos 3 e 9 de Bartle.
  - Video 02: Funções de conjunto, medidas exteriores e medidas. Construção de medidas exteriores. Exemplos. ( https://youtu.be/KutOMpaiRwI )
  - Video 03: Conjuntos mensuráveis com respeito a medida exterior. Restrição a uma medida. Construção de medidas. ( https://youtu.be/jYLQuuqJUC0 ) [Referência adicional: Capítulo 9 de Bartle, incluindo exercícios]
  - Video 04: Propriedades de conjuntos mensuráveis. Medidas em seminanéis. Regularidade. ( https://youtu.be/2o0Kh90Mnrs ) [Referência adicional: Capítulo 3 de Bartle, exercícios 3.A-F]
  - Video 05: Extensão de medidas definidas num semianel. Unicidade da extensão. ( https://youtu.be/G1N1jM34EuA ) [Referência adicional: Capítulo 9 de Bartle]
  - Video 06: A medida de Lebesgue na reta e em Rn e mais propriedades de regularidade. ( https://youtu.be/wJaSLmej_Gw ) [Referência adicional: Capítulo 9 de Bartle]
  - Video 07: Construção de medidas via outras medidas. Medidas geométricas em espaços métricos (Método II). ( https://youtu.be/DEU6wmTXmx8 )
  - Video 08: A existência de subconjuntos não mensuráveis para a medida de Lebesgue na reta ( https://youtu.be/jIFVv9LOA04 ) [Referência adicional: Capítulo 17 de Bartle]

Integração e teoremas de convergência de Lebesgue

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a segunda e terceira semanas do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista)

- pres-int-c-integral.pdf ( notas ): Integração de Lebesgue e teoremas de convergência monótona e dominada
- Referência bibliográfica: Capítulos 2, 4 e 5 de Bartle.
  - Video 09: Funções mensuráveis e operações com estas funções ( https://youtu.be/no2_Kmj_WRQ ) [Capítulos 2 de Bartle e exercícios]
  - Video 10: Funções simples e integral destas funções ( https://youtu.be/7X3oLt62miA )
  - Video 11: Integração de funções mensuráveis e o Teorema da Convergência Monótona. Aplicação à integração de séries de funções não negativas ( https://youtu.be/fqwTlYsnMY0 ) [Capítulo 4 de Bartle e exercícios]
  - Video 12: Expressão explícita para integral de função não negativa via série de funções características ( https://youtu.be/i6uaYIowbSM ) [Capítulo 3 de Armando Castro, Proposição 3.1.6]
  - Video 13: Lema de Fatou: integral do liminf. Limites e integral infinito. ( https://youtu.be/IFxKxYV5Ueo )
  - Video 14: Funções (semi-)integráveis e o Teorema da Convergência Dominada ( https://youtu.be/iq58Uew9FzI ) [Capítulo 3, seções 3.2 e 3.3 de Armando Castro, exercícios deste capítulo]

Primeira Prova

O conteúdo da primeira prova contém os tópicos anteriores desta lista.

Integral definido e decomposição de medidas

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a quarta e quinta semana do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista)

- pres-Int-d-decomposicao.pdf ( notas ): Integral indefinida, medidas com sinal e complexas. Decomposição de medidas: Teoremas de decomposição de Jordan, Hahn e Lebesgue.
- Referência bibliográfica: Capítulo 4 de Armando Castro; e Capítulo 8 de Bartle.
  - Video 15: Integral indefinida de uma função (semi-)integrável. Medidas com sinal ou (distribuição de) cargas. Propriedades. Teorema de Decomposição de Jordan ( https://youtu.be/fWXke51KLPg )
  - Video 16: Teorema de Decomposição de Hahn e o Teorema de Borel-Cantelli ( https://youtu.be/1TmDb_s00Xo )
  - Video 17: Medidas com valores no corpo dos número complexos ( https://youtu.be/juUvc_WhvZk )
  - Video 18: Medidas absolutamente contínuas e o Teorema de Radon-Nikodym. A esperança condicional na Teoria das Probabilidades. ( https://youtu.be/4n-f8Z6bSI8 )
  - Video 19: Espaços de medidas e o Teorema de Decomposição de Lebesgue. Consequências na Teoria das Probabilidades: distribuição de probabilidade, função densidade de probabilidade e componentes singulares ( https://youtu.be/KZMrx0NO7Z0 )

Espaços de Lebesgue

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a quinta e sexta semana do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista)

- pres-Int-e-lp.pdf ( notas ): Espaços de Lebesgue (espaços L^p) e dualidade.
- Referência bibliográfica: Capítulo 6 de Bartle e Capítulo 6 de Armando Castro.
  - Video 20: Espaços de Lebesgue (espaços L^p). Desigualdades de Hölder, Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz, e Minkowski ( https://youtu.be/rJR2EeF4e58 )
  - Video 21: Completude nos espaços de Lebesgue. Aproximação de funções L^p por funções simples ( https://youtu.be/MHjtfgMZCMA )
  - Video 22: Os espaços L^infinito e o supremo essencial ( https://youtu.be/B9ATjo-oBJc )
  - Video 23: O dual (topológico) de um espaço de Banach e a Dualidade entre os espaços L^p ( https://youtu.be/cc1GQxPS07U )

Modos de convergência

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a sexta e a sétima semana do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista)

- pres-Int-f-convergencia.pdf ( notas ): Modos de Convergência: pontual, uniforme, qtp., em medida, em Lp, quase uniforme, e dominada. Relações entre estes modos de convergência. O Teorema de Convergência de Vitali.
- Referência bibliográfica: Capítulo 7 de Bartle e Capítulo 7 de Armando Castro.
  - Video 24: Modos de convergência: pontual, uniforme, em quase todo ponto (qtp.) e em L^p. ( https://youtu.be/S0a4i8uxI_4 )
  - Video 25: Convergência em medida ( https://youtu.be/cOX35j3uoDI )
  - Video 26: Convergência quase uniforme ( https://youtu.be/KJJiLHiJ-NQ )
  - Video 27: Relações entre os diversos modos de convergência ( https://youtu.be/oo546Fo_Fho )
  - Video 28: O Teorema de Vitali: condições necessárias e suficientes de convergência em L^p ( https://youtu.be/sxI_SytONqk )

Medidas produto

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a sétima e a oitova semana do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista)

- pres-Int-g-produto.pdf ( notas ): Medidas em espaços produto. Integração em espaços produto. Teoremas de Tonelli e Fubini.
- Referência bibliográfica: Capítulo 10 de Bartle e Capítulo 8 de Armando Castro.
  - Video 29: Produto cartesiano de espaços de medida e medidas produto ( https://youtu.be/a71kLgSj9ao )
  - Video 30: Integração em espaços produto. Seções. ( https://youtu.be/RNUC9Q-VgPM )
  - Video 31: Integrais iteradas: Teoremas de Tonelli e Fubini ( https://youtu.be/rmuphup4JyE )

Representação de Riesz-Markov

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte na oitava semana do curso (e acompanhem com resolução de exercícios da lista)

- pres-Int-h-riesz.pdf ( notas ): Teorema de Representação de Riesz-Markov. Densidade de funções contínuas em Lp.
- Referência bibliográfica: Capítulo 8 de Barte e Capítulo 10 de Armando Castro.
  - Video 32: Integral como funcional linear. O enunciado do Teorema de Representação de Riesz para funcionais lineares positivos ( https://youtu.be/d587J4WWLuw )
  - Video 33: Início da prova do Teorema de Representação. Unicidade da medida dada pelo Teorema de Representação ( https://youtu.be/Sf0WBl8cYWw )
  - Video 34: A construção da medida no Teorema de Representação ( https://youtu.be/XLZL53AWERo )
  - Video 35: A medida representa o funcional no Teorema de Representação ( https://youtu.be/Tov2G_E0m-4 )
  - Video 36: A regularidade da medida que representa o funcional ( https://youtu.be/yJce3U0i2ig )
  - Video 37: O Teorema de Representação de Riesz generalizado ( https://youtu.be/59EVIzIEV7U )

Segunda Prova

O conteúdo da segunda prova contém todos os tópicos do curso.

Material complementar (medidas invariantes, recorrência; derivação e teorema fundamental do cálculo)

- pres-Int-i-recorrencia.pdf ( notas ): Transporte de medidas, mudança de variáveis. Medidas invariantes e Teorema de Recorrência. Referência bibliográfica: Capítulo 9 de Armando Castro.
  - Videos do curso de Teoria Ergódica 2020.1:
    - Transporte de medidas e medidas invariantes. Exemplos. [https://youtu.be/Uhg8xAzpnIQ]
    - Enunciado do Teorema de Recorrência de Poincaré e exemplos de aplicação [ https://youtu.be/g5dRV_F5CnA ]
    - Prova do Teorema de Recorrência de Poincaré, na versão mensurável e topológica [https://youtu.be/oyzJUSEP3KY]
- pres-Int-j-derivacao.pdf ( notas ): Teoria de Derivação de Lebesgue. Teorema Fundamental do Cálculo. Integral Calibrada e Teorema Fundamental do Cálculo. Referência bibliográfica: Capítulo 11 de Armando Castro e livro de Mcleod.

Plano de aulas em pormenor (regime presencial)

Avaliação Discente (para os discentes avaliarem o professor)

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