Teoria da Medida e Integração (2014.2)

Código MAT505 (Carga didática: 102h)

Local e horário

Sala 15 da Pós-Graduação (no edifício do IM-UFBA (térreo)).

Seg-Ter-Qui das 07h00 às 09h00.

Avaliação:

30% listas de exercícios (para entregar no dia da segunda prova);
30% primeira prova escrita;
40% segunda prova escrita.

Data das provas

Primeira Prova: TERÇA-FEIRA, dia 21 de outubro de 2014. [Notas de aula a,b,c; Capítulos 9, 2, 3, 4 e 5 de Bartle]

Segunda Prova: QUINTA-FEIRA, dia 11 de dezembro de 2014. [Notas de aula d,e,f,g,h,i; Capítulos 6, 7, 8 e 10 de Bartle]

Conteúdo (ementa oficial):

Sigma-álgebras. Espaços e funções mensuráveis. Medidas. Medida de Lebesgue.
A integral. Integral de Lebesgue. Os espaços Lp. Tipos de convergência.
Decomposição de medidas. Teorema da decomposição de Hahn-Jordan.
Teorema de Radon-Nikodym.
Teorema da decomposição de Lebesgue.
Teorema da representação de Riesz. Teorema de Carathéodory.
Medida produto. Teorema de Fubini-Tonelli.

Referências bibliográficas principais

Bartle, R. G. Elements of integration. John Wiley and Sons. New-York. 1966.
ROGERS, C.A., Hausdorff Measures. Cambridge Univ. Press, Cambidge, 1970, 1988.
CASTRO, A. A. Curso de Teoria da Medida, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2004.

Referências Complementares

KINGMAN, J & TAYLOR, S., Introducion to Measure and Probability. Cambridge University Press, 1966
ROYDEN, M.; Real Analysis. MacMillan, New York, 1963.
RUDIN, W.; Real and Complex Analysis. Mc-Graw Hill, New York, 1966.

MATERIAL DO CURSO

Listas de exercícios são fornecidas abaixo.

Apontamentos da matéria, conteúdo de aulas expositivas e videoaulas seguem mais abaixo.

Lista de videos no YouTube

O conteúdo das aulas está sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula, junto com vídeos auxiliares descrevendo o material.

Exercícios (além dos indicados nas notas de aula)

No livro de R.G. Bartle, começando no cap. 9 (pois este curso de começa com a construção de medidas), especialmente 9.F a 9.K; e depois a partir do cap. 2 (teoria da integração).

Lista de exercícios ara entregar durante a segunda prova escrita

livro de Bartle: Exercícios 5.K a 5.T do capítulo 5.
livro de Castro: Exercícios 9 do capítulo 3; 4 do capítulo 4; e 2 do capítulo 5.

Cada um dos ítens abaixo (exceto a apresentação do curso) deve ser coberto num período entre uma e duas semanas, aproximadamente.

Apresentação do curso

pres-int-a-intro.pdf ( notas ): Introdução. Riemann versus Lebesgue.
Referência bibliográfica: Capítulo 1 de Bartle.
- Video 01: Apresentação - Riemann vs. Lebesgue (https://youtu.be/9AZm76pOE68)

Medidas exteriores e medidas

- pres-int-b-medida.pdf ( notas ) : De medidas exteriores para medidas.
- Referência bibliográfica: Capítulo 1 de Rogers e Capítulos 3 e 9 de Bartle em alguns tópicos (veja abaixo)
  - Video 02: Funções de conjunto, medidas exteriores e medidas. Construção de medidas exteriores. Exemplos. ( https://youtu.be/KutOMpaiRwI )
  - Video 03: Conjuntos mensuráveis com respeito a medida exterior. Restrição a uma medida. Construção de medidas. ( https://youtu.be/jYLQuuqJUC0 ) [Referência adicional: Capítulo 9 de Bartle, incluindo exercícios]
  - Video 04: Propriedades de conjuntos mensuráveis. Medidas em seminanéis. Regularidade. ( https://youtu.be/2o0Kh90Mnrs ) [Referência adicional: Capítulo 3 de Bartle, incluindo exercícios]
  - Video 05: Extensão de medidas definidas num semianel. Unicidade da extensão. ( https://youtu.be/G1N1jM34EuA ) [Referência adicional: Capítulo 9 de Bartle, incluindo exercícios]
  - Video 06: A medida de Lebesgue na reta e em Rn e mais propriedades de regularidade. ( https://youtu.be/wJaSLmej_Gw )
  - Video 07: Construção de medidas via outras medidas. Medidas geométricas em espaços métricos (Método II). ( https://youtu.be/DEU6wmTXmx8 )
  - Video 08: A existência de subconjuntos não mensuráveis para a medida de Lebesgue na reta ( https://youtu.be/jIFVv9LOA04 )

Integração e teoremas de convergência de Lebesgue

- pres-int-c-integral.pdf ( notas ): Integração de Lebesgue e teoremas de convergência monótona e dominada
- Referência bibliográfica: Capítulos 2, 4 e 5 de Bartle, incluindo exercícios destes capítulos.
  - Video 09: Funções mensuráveis e operações com estas funções ( https://youtu.be/no2_Kmj_WRQ ) [Capítulos 2 de Bartle]
  - Video 10: Funções simples e integral destas funções ( https://youtu.be/7X3oLt62miA )
  - Video 11: Integração de funções mensuráveis e o Teorema da Convergência Monótona. Aplicação à integração de séries de funções não negativas ( https://youtu.be/fqwTlYsnMY0 ) [Capítulo 4 de Bartle]
  - Video 12: Expressão explícita para integral de função não negativa via série de funções características ( https://youtu.be/i6uaYIowbSM ) [Capítulo 3 de Armando Castro, Proposição 3.1.6]
  - Video 13: Lema de Fatou: integral do liminf. Limites e integral infinito. ( https://youtu.be/IFxKxYV5Ueo )
  - Video 14: Funções (semi-)integráveis e o Teorema da Convergência Dominada ( https://youtu.be/iq58Uew9FzI ) [Capítulo 3, seções 3.2 e 3.3 de Armando Castro]

Primeira Prova

O conteúdo da primeira prova contém os tópicos anteriores desta lista.

Integral definido e decomposição de medidas

- pres-Int-d-decomposicao.pdf ( notas ): Integral indefinida, medidas com sinal e complexas. Decomposição de medidas: Teoremas de decomposição de Jordan, Hahn e Lebesgue.
- Referência bibliográfica: Capítulo 4 de Armando Castro e Capítulo 8 de Bartle
  - Video 15: Integral indefinida de uma função (semi-)integrável. Medidas com sinal ou (distribuição de) cargas. Propriedades. Teorema de Decomposição de Jordan ( https://youtu.be/fWXke51KLPg )
  - Video 16: Teorema de Decomposição de Hahn e o Teorema de Borel-Cantelli ( https://youtu.be/1TmDb_s00Xo )
  - Video 17: Medidas com valores no corpo dos número complexos ( https://youtu.be/juUvc_WhvZk )
  - Video 18: Medidas absolutamente contínuas e o Teorema de Radon-Nikodym. A esperança condicional na Teoria das Probabilidades. ( https://youtu.be/4n-f8Z6bSI8 )
  - Video 19: Espaços de medidas e o Teorema de Decomposição de Lebesgue. Consequências na Teoria das Probabilidades: distribuição de probabilidade, função densidade de probabilidade e componentes singulares ( https://youtu.be/KZMrx0NO7Z0 )

Espaços de Lebesgue

- pres-Int-e-lp.pdf ( notas ): Espaços de Lebesgue (espaços L^p) e dualidade.
- Referência bibliográfica: Capítulo 6 de Bartle e Capítulo 6 de Armando Castro
  - Video 20: Espaços de Lebesgue (espaços L^p). Desigualdades de Hölder, Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz, e Minkowski ( https://youtu.be/rJR2EeF4e58 )
  - Video 21: Completude nos espaços de Lebesgue. Aproximação de funções L^p por funções simples ( https://youtu.be/MHjtfgMZCMA )
  - Video 22: Os espaços L^infinito e o supremo essencial ( https://youtu.be/B9ATjo-oBJc )
  - Video 23: O dual (topológico) de um espaço de Banach e a Dualidade entre os espaços L^p ( https://youtu.be/cc1GQxPS07U )

Modos de convergência

- pres-Int-f-convergencia.pdf ( notas ): Modos de Convergência: pontual, uniforme, qtp., em medida, em Lp, quase uniforme, e dominada. Relações entre estes modos de convergência. O Teorema de Convergência de Vitali.
- Referência bibliográfica: Capítulo 7 de Bartle e Capítulo 7 de Armando Castro
  - Video 24: Modos de convergência: pontual, uniforme, em quase todo ponto (qtp.) e em L^p. ( https://youtu.be/S0a4i8uxI_4 )
  - Video 25: Convergência em medida ( https://youtu.be/cOX35j3uoDI )
  - Video 26: Convergência quase uniforme ( https://youtu.be/KJJiLHiJ-NQ )
  - Video 27: Relações entre os diversos modos de convergência ( https://youtu.be/oo546Fo_Fho )
  - Video 28: O Teorema de Vitali: condições necessárias e suficientes de convergência em L^p ( https://youtu.be/sxI_SytONqk )

Medidas produto

- pres-Int-g-produto.pdf ( notas ): Medidas em espaços produto. Integração em espaços produto. Teoremas de Tonelli e Fubini.
- Referência bibliográfica: Capítulo 10 de Bartle e Capítulo 8 de Armando Castro
  - Video 29: Produto cartesiano de espaços de medida e medidas produto ( https://youtu.be/a71kLgSj9ao )
  - Video 30: Integração em espaços produto. Seções. ( https://youtu.be/RNUC9Q-VgPM )
  - Video 31: Integrais iteradas: Teoremas de Tonelli e Fubini ( https://youtu.be/rmuphup4JyE )

Representação de Riesz-Markov

- pres-Int-h-riesz.pdf ( notas ): Teorema de Representação de Riesz-Markov. Densidade de funções contínuas em Lp.
- Referência bibliográfica: Capítulo 10 de Armando Castro
  - Video 32: Integral como funcional linear. O enunciado do Teorema de Representação de Riesz para funcionais lineares positivos ( https://youtu.be/d587J4WWLuw )
  - Video 33: Início da prova do Teorema de Representação. Unicidade da medida dada pelo Teorema de Representação ( https://youtu.be/Sf0WBl8cYWw )
  - Video 34: A construção da medida no Teorema de Representação ( https://youtu.be/XLZL53AWERo )
  - Video 35: A medida representa o funcional no Teorema de Representação ( https://youtu.be/Tov2G_E0m-4 )
  - Video 36: A regularidade da medida que representa o funcional ( https://youtu.be/yJce3U0i2ig )
  - Video 37: O Teorema de Representação de Riesz generalizado ( https://youtu.be/59EVIzIEV7U )

Segunda Prova (e entrega da lista de exercícios)

O conteúdo da segunda prova contém todos os tópicos do curso.

Material complementar

- pres-Int-i-recorrencia.pdf ( notas ): Transporte de medidas, mudança de variáveis. Medidas invariantes e Teorema de Recorrência. Referência bibliográfica: Capítulo 9 de Armando Castro.
  - Videos do curso de Teoria Ergódica 2020.1:
    - Transporte de medidas e medidas invariantes. Exemplos. [https://youtu.be/Uhg8xAzpnIQ]
    - Enunciado do Teorema de Recorrência de Poincaré e exemplos de aplicação [ https://youtu.be/g5dRV_F5CnA ]
    - Prova do Teorema de Recorrência de Poincaré, na versão mensurável e topológica [ https://youtu.be/oyzJUSEP3KY ]
- pres-Int-j-derivacao.pdf ( notas ): Teoria de Derivação de Lebesgue. Teorema Fundamental do Cálculo. Referência bibliográfica: Capítulo 11 de Armando Castro.

Plano de aulas em pormenor (regime presencial)