Teoria da Medida e Integração (2014.2)

No livro de R.G. Bartle, começando no cap. 9 (pois este curso de começa com a construção de medidas), especialmente 9.F a 9.K; e depois a partir do cap. 2 (teoria da integração).

• pres-int-a-intro.pdf ( notas ): Introdução. Riemann versus Lebesgue.

• Referência bibliográfica: Capítulo 1 de Bartle.

  • Video 01: Apresentação - Riemann vs. Lebesgue (https://youtu.be/9AZm76pOE68)

• • pres-int-b-medida.pdf ( notas ) : De medidas exteriores para medidas.

  • Referência bibliográfica: Capítulo 1 de Rogers e Capítulos 3 e 9 de Bartle em alguns tópicos (veja abaixo)

    • Video 02: Funções de conjunto, medidas exteriores e medidas. Construção de medidas exteriores. Exemplos. ( https://youtu.be/KutOMpaiRwI )

    • Video 03: Conjuntos mensuráveis com respeito a medida exterior. Restrição a uma medida. Construção de medidas. ( https://youtu.be/jYLQuuqJUC0 ) [Referência adicional: Capítulo 9 de Bartle, incluindo exercícios]

    • Video 04: Propriedades de conjuntos mensuráveis. Medidas em seminanéis. Regularidade. ( https://youtu.be/2o0Kh90Mnrs ) [Referência adicional: Capítulo 3 de Bartle, incluindo exercícios]

    • Video 05: Extensão de medidas definidas num semianel. Unicidade da extensão. ( https://youtu.be/G1N1jM34EuA )  [Referência adicional: Capítulo 9 de Bartle, incluindo exercícios]

    • Video 06: A medida de Lebesgue na reta e em Rn e mais propriedades de regularidade. ( https://youtu.be/wJaSLmej_Gw ) 

    • Video 07: Construção de medidas via outras medidas. Medidas geométricas em espaços métricos (Método II). ( https://youtu.be/DEU6wmTXmx8 )

    • Video 08: A existência de subconjuntos não mensuráveis para a medida de Lebesgue na reta ( https://youtu.be/jIFVv9LOA04 )

• • pres-int-c-integral.pdf ( notas ): Integração de Lebesgue e teoremas de convergência monótona e dominada

  • Referência bibliográfica: Capítulos 2, 4 e 5 de Bartle, incluindo exercícios destes capítulos.

    • Video 09: Funções mensuráveis e operações com estas funções ( https://youtu.be/no2_Kmj_WRQ ) [Capítulos 2 de Bartle]

    • Video 10: Funções simples e integral destas funções ( https://youtu.be/7X3oLt62miA ) 

    • Video 11: Integração de funções mensuráveis e o Teorema da Convergência Monótona. Aplicação à integração de séries de funções não negativas ( https://youtu.be/fqwTlYsnMY0 ) [Capítulo 4 de Bartle]

    • Video 12: Expressão explícita para integral de função não negativa via série de funções características ( https://youtu.be/i6uaYIowbSM ) [Capítulo 3 de Armando Castro, Proposição 3.1.6]

    • Video 13: Lema de Fatou: integral do liminf. Limites e integral infinito. ( https://youtu.be/IFxKxYV5Ueo )

    • Video 14: Funções (semi-)integráveis e o Teorema da Convergência Dominada ( https://youtu.be/iq58Uew9FzI ) [Capítulo 3, seções 3.2 e 3.3 de Armando Castro]

• • pres-Int-d-decomposicao.pdf ( notas ): Integral indefinida, medidas com sinal e complexas. Decomposição de medidas: Teoremas de decomposição de Jordan, Hahn e Lebesgue.

  • Referência bibliográfica: Capítulo 4 de Armando Castro e Capítulo 8 de Bartle

    • Video 15: Integral indefinida de uma função (semi-)integrável. Medidas com sinal ou (distribuição de) cargas. Propriedades. Teorema de Decomposição de Jordan ( https://youtu.be/fWXke51KLPg )

    • Video 16: Teorema de Decomposição de Hahn e o Teorema de Borel-Cantelli ( https://youtu.be/1TmDb_s00Xo )

    • Video 17: Medidas com valores no corpo dos número complexos ( https://youtu.be/juUvc_WhvZk ) 

    • Video 18: Medidas absolutamente contínuas e o Teorema de Radon-Nikodym. A esperança condicional na Teoria das Probabilidades. ( https://youtu.be/4n-f8Z6bSI8 )

    • Video 19: Espaços de medidas e o Teorema de Decomposição de Lebesgue. Consequências na Teoria das Probabilidades: distribuição de probabilidade, função densidade de probabilidade e componentes singulares ( https://youtu.be/KZMrx0NO7Z0 )

• • pres-Int-e-lp.pdf ( notas ): Espaços de Lebesgue (espaços L^p) e dualidade.

  • Referência bibliográfica: Capítulo 6 de Bartle e Capítulo 6 de Armando Castro

    • Video 20: Espaços de Lebesgue (espaços L^p). Desigualdades de Hölder, Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz, e Minkowski ( https://youtu.be/rJR2EeF4e58 )

    • Video 21: Completude nos espaços de Lebesgue. Aproximação de funções L^p por funções simples ( https://youtu.be/MHjtfgMZCMA )

    • Video 22: Os espaços L^infinito e o supremo essencial ( https://youtu.be/B9ATjo-oBJc )

    • Video 23: O dual (topológico) de um espaço de Banach e a Dualidade entre os espaços L^p ( https://youtu.be/cc1GQxPS07U ) 

• • pres-Int-f-convergencia.pdf ( notas ):  Modos de Convergência: pontual, uniforme, qtp., em medida, em Lp, quase uniforme, e dominada. Relações entre estes modos de convergência. O Teorema de Convergência de Vitali.

  • Referência bibliográfica: Capítulo 7 de Bartle e Capítulo 7 de Armando Castro

    • Video 24: Modos de convergência: pontual, uniforme, em quase todo ponto (qtp.) e em L^p. (  https://youtu.be/S0a4i8uxI_4 )

    • Video 25: Convergência em medida ( https://youtu.be/cOX35j3uoDI )

    • Video 26: Convergência quase uniforme ( https://youtu.be/KJJiLHiJ-NQ )

    • Video 27: Relações entre os diversos modos de convergência ( https://youtu.be/oo546Fo_Fho )

    • Video 28: O Teorema de Vitali: condições necessárias e suficientes de convergência em L^p ( https://youtu.be/sxI_SytONqk )

• • pres-Int-g-produto.pdf ( notas ): Medidas em espaços produto. Integração em espaços produto. Teoremas de Tonelli e Fubini.

  • Referência bibliográfica: Capítulo 10 de Bartle e Capítulo 8 de Armando Castro

    • Video 29: Produto cartesiano de espaços de medida e medidas produto ( https://youtu.be/a71kLgSj9ao )

    • Video 30: Integração em espaços produto. Seções. ( https://youtu.be/RNUC9Q-VgPM )

    • Video 31: Integrais iteradas: Teoremas de Tonelli e Fubini ( https://youtu.be/rmuphup4JyE )

• • pres-Int-h-riesz.pdf ( notas ): Teorema de Representação de Riesz-Markov. Densidade de funções contínuas em Lp.

  • Referência bibliográfica: Capítulo 10 de Armando Castro

    • Video 32: Integral como funcional linear. O enunciado do Teorema de Representação de Riesz para funcionais lineares positivos ( https://youtu.be/d587J4WWLuw )

    • Video 33: Início da prova do Teorema de Representação. Unicidade da medida dada pelo Teorema de Representação ( https://youtu.be/Sf0WBl8cYWw ) 

    • Video 34: A construção da medida no Teorema de Representação ( https://youtu.be/XLZL53AWERo  )

    • Video 35: A medida representa o funcional no Teorema de Representação ( https://youtu.be/Tov2G_E0m-4 )

    • Video 36: A regularidade da medida que representa o funcional ( https://youtu.be/yJce3U0i2ig )

    • Video 37: O Teorema de Representação de Riesz generalizado ( https://youtu.be/59EVIzIEV7U )

• • pres-Int-i-recorrencia.pdf ( notas ): Transporte de medidas, mudança de variáveis. Medidas invariantes e Teorema de Recorrência. Referência bibliográfica: Capítulo 9 de Armando Castro.

    • Videos do curso de Teoria Ergódica 2020.1:

      • Transporte de medidas e medidas invariantes. Exemplos. [https://youtu.be/Uhg8xAzpnIQ]

      • Enunciado do Teorema de Recorrência de Poincaré e exemplos de aplicação [ https://youtu.be/g5dRV_F5CnA ]

      • Prova do Teorema de Recorrência de Poincaré, na versão mensurável e topológica [ https://youtu.be/oyzJUSEP3KY ]

  • pres-Int-j-derivacao.pdf ( notas ): Teoria de Derivação de Lebesgue. Teorema Fundamental do Cálculo. Referência bibliográfica: Capítulo 11 de Armando Castro.