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Código: MATD31 (Carga didática: 102h)
Local e horário
Sala 17 da Pós-Graduação (no edifício do IM-UFBA (térreo)).
Seg-Ter-Qui das 09h00 às 11h00.
Avaliação:
30% listas de exercícios (para entregar no dia da segunda prova);
30% primeira prova escrita;
40% segunda prova escrita.
Provas
Primeira Prova: QUINTA-FEIRA, dia 16 de outubro de 2014. [Conteúdo em notas sobre: Recorrência Poincaré; Existência medidas invariantes; Teorema de Birkhoff; Teorema de Decomposição]
Segunda Prova: TERÇA-FEIRA, dia 16 de dezembro de 2014.
Ementa
Medidas Invariantes; exemplos. Teorema de recorrência de Poincaré.
Existência de medidas invariantes para transformações contínuas.
Teorema ergódico de Birkhoff e aplicações. Transformações ergódicas e mixing. Shifts. Automorfismos e translações do toro.
Teorema da decomposição ergódica de medidas invariantes.
Entropia métrica e topológica. Transformações expansoras.
Exemplos e enunciados sobre medidas SBR, atratores ergódicos, princípio variacional, desigualdade de Ruelle e fórmula de Pesin.
Referências
BOWEN, R.; Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. Springer-Verlag, Berlin, 1975.
CRAIZER, M.; Entropia das Funções Internas. IMPA, Rio de Janeiro, 1989.
KATOK, A. & HASSELBLATT, B.; Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995. com tradução para português:
KATOK, A. & HASSELBLATT, B.; A Moderna Teoria dos Sistemas Dinâmicos. Fundação Calouste Gulbenkian. 2005.
MAÑÉ, R.; Teoria Ergódica. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1983.
WALTERS, P.; An Introduction to Ergodic Theory. Springer Verlag, 1982.
Uma referência muito útil será:
OLIVEIRA, K & VIANA, M. Fundamentos de Teoria Ergódica (versão preliminar do livro). 2014.
Alguns arquivos com material útil ao curso podem ser encontrados aqui.
Notas do curso:
Aqui podem encontrar arquivos pdf com o principal conteúdo do curso, divididos aproximadamente nos seguinte assuntos:
pres-teoerg-intro: Medidas Invariantes; exemplos; apresentação de alguns resultados motivadores.
pres-teoerg-recPoincare: Teorema de recorrência de Poincaré.
pres-teoerg-existmedinv: Existência de probabilidades invariantes, mais exemplos.
pres-teoerg-Birkhoff: Teorema Ergódico (de von Neumann e Birkhoff). Ergodicidade.
pres-teoerg-unicidade: Transformações unicamente ergódicas. Exemplos. Propriedades. Estudo dos homeomorfismos do círculo.
pres-teoerg-decomposicao: Fluxo suspensão, aplicações induzidas, versões em tempo contínuo de alguns resultados. Decomposição ergódica.
pres-teoerg-correlacoes: Sistemas (fracamente) misturadores. Exemplos. Decaimento de correlações.
pres-teoerg-entropia: Entropia métrica. Exemplos. Teorema de Kolmogorov-Sinai, Brin-Katok, Shannon-Mcmillan-Breiman.
pres-teoerg-variacional: Entropia topológica. Exemplos. Princípio variacional. Menção da Pressão Topológica e seu Princípio Variacional e a noção de estado de equilíbrio.
pres-Teoerg-expansoras: Transformações expansoras, unicidade de medida invariante absolutamente contínua, medida física/SRB.
Lista de exercícios (para entregar durante a segunda prova escrita):
Exercícios do livro Oliveira-Viana:
Sobre o Teorema de Recorrência: exercícios 1.2.2, 1.2.3 e 1.2.5.
Sobre exemplos de medidas invariantes e algumas propriedades: exercícios 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.3.9, 1.3.10, 1.4.2
Sobre existência de medidas invariantes e ergodicidade: 2.2.1, 2.2.2, 2.2.4, 4.1.1 e 4.1.3 (apenas (e))
Sobre Teorema Ergódico (de von Neumann e Birkhoff): 3.1.1 a 3.1.5; 3.2.1 a 3.2.7; 4.3.7, 4.3.8, 4.3.9
Sobre fluxo suspensão e aplicações induzidas: 3.4.2, 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3, 4.3.5.
Sobre grupos topológicos: 6.3.3, 6.3.7
Sobre sistemas (fracamente) misturadores: 7.1.2, 7.1.4, 7.1.5
Sobre equivalência ergódica: 8.1.1, 8.1.2, 8.1.3
Sobre entropia métrica: 9.1.1, 9.1.3, 9.1.4, 9.2.1, 9.2.2
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