Plano de aulas de Teoria Ergódica
Apresentação do curso: motivação, teoria cinética dos gases, termodinâmica clássica, medidas invariantes e a Hipótese Ergódica de Boltzmann. Motivação do Teorema Ergódico.
Medidas invariantes. Teorema de recorrência de Poincaré: versão mensurável e versão topológica.
Exemplos de medidas invariantes: transformações de deslocamento de dígitos; fluxos conservativos; deslocamentos de Bernoulli; transformação de Gauss e frações contínuas; rotações da circunferência e de toros.
Transformação de Primeiro Retorno e transformações induzidas. Transformação de Gauss como transformação de primeiro retorno. Medida invariante por transformação de primeiro retorno e Teorema de Kac.
Transformações induzidas, medida invariante induzida, tempo de retorno integrável. Exemplo: transformação de Manneville-Pomeau.
Topologia fraca* e Teorema de Existência de Medidas Invariantes para transformações contínuas em espaços compactos.
Exemplos e resolução de exercícios.
Ergodicidade de medidas invariantes. Propriedades. Ergodicidade via ação em funções. Operador de Koopman e condições espectrais de ergodicidade. Ergodicidade de medidas não invariantes.
Pontos extremos de convexos, convexo das probabilidades invariantes e identificação de medidas ergódicas como extremais. Ergodicidade e continuidade absoluta: medidas ergódicas distintas são singulares. Teorema de Representação de Choquet e Teorema de Decomposição Ergódica e Corolário de Existência de Medidas Ergódicas.
Exemplos. Enunciado do Teorema Ergódico. Expansão decimal e números normais (Teorema de Borel). Número de Champernowne e constante de Copeland-Erdös.
Exemplos: deslocamentos (shifts) de Bernoulli. Rotações da circunferência: rotação irracional é ergódica para a medida de Lebesgue.
Transformação de Gauss. Ergodicidade da transformação de Gauss para a medida de Gauss. Endomorfismos lineares do toro. Ergodicidade dos endomorfismos do toro para a medida de Lebesgue.
Exemplos e resolução de exercícios.
Teorema Ergódico de von Neumann. Teorema Ergódico (de Birkhoff).
Teorema Ergódico Subaditivo. Prova do Teorema Ergódico de Birkhoff via o Teorema
Ergódico Subaditivo.
Teorema Ergódico Subaditivo e Exponentes de Lyapunov. Enunciado do Teorema Ergódico Multiplicativo (de Oseledets) para cociclos mensuráveis sobre transformações que preservam medida.
Prova do Teorema Ergódico Subaditivo.
Tempo discreto versus tempo contínuo. Fluxos suspensão. Seção de Poincaré e transformação de Poincaré de primeiro retorno. Medida invariante induzida.
Unicidade Ergódica. Propriedades. Exemplos: medida de Haar em grupos topológicos compactos.
Estudo de homeomorfismos do círculo: teoria combinatória de Poincaré.
Estudo de homeomorfismos do círculo: teorema de Denjoy.
Decomposição ergódica de medidas invariantes via desintegração de medidas em partições mensuráveis (Teorema de Desintegração de Rokhlin).
Motivação para o estudo de decaimento de correlações: transformação de expansão decimal tem decaimento de correlações superexponencial para observáveis analíticos.
Medidas misturadoras. Exemplos e propriedades. Ergodicidade e mistura de probabilidades invariantes versus transitividade e mistura topológica.
Mistura fraca. Exemplos e propriedades: ergodicidade para produtos diretos.
Caracterização espectral de ergodicidade, mistura e mistura fraca.
Deslocamentos de Markov: definição e condições para ergodicidade e mistura.
Exemplos e resolução de exercícios.
Primeira prova.
Entropia. Motivação via teoria da informação de Shannon. A noção de equivalência ergódica e o problema da equivalência. Enunciado do Teorema de Ornstein.
Entropia métrica. Definição e alguns exemplos.
Cálculo da entropia métrica. Partições geradoras e o Teorema de Kolmogorov-Sinai.
Exemplos de aplicação a rotações da circunferência; transformação decimal; transformação de Gauss; deslocamentos de Bernoulli.
Cálculo da entropia métrica. Entropia local e os Teoremas Brin-Katok e Shannon-Mcmillan-Breiman. Exemplos: deslocamentos de Markov; transformação de Gauss; endomorfismos do toro.
Decomposição ergódica e entropia.
Exemplos e resolução de exercícios.
Transformações expansivas. Exemplos. Semicontinuidade superior da entropia. Existência de medidas de máxima entropia.
Exemplos e resolução de exercícios. Construção de transformações com dada entropia métrica.
Entropia topológica. Definição para transformações contínuas de espaços compactos via coberturas e exemplos de cálculo de entropia topológica: isometrias, rotações da circunferência, translações em grupos topológicos localmente compactos.
Exemplos e resolução de exercícios.
O análogo à noção de partição geradora para entropia topológica. Entropia topológica: definição via conjuntos geradores e conjuntos separados.
Exemplos do cálculo de entropia topológica: deslocamentos de Bernoulli e de Markov. Transformações expansivas.
Enunciado do Princípio variacional. Entropia topológica positiva e ferraduras de Smale: Teorema de Katok. Ergodicidade intrínseca. Menção da ergodicidade intrínseca dos difeomorfismos de Anosov.
Entropia topológica e pontos periódicos. Exemplos com transformações expansivas e deslocamentos de Markov de tipo finito.
Construção de homeomorfismo com dada entropia topológica. Relação de entropia topológica com entropia métrica de medidas ergódicas, via Princípio Variacional e Decomposição Ergódica.
Construção de homeomorfismo de espaço métrico compacto sem medida de máxima entropia.
Exemplo: cota para entropia topológica de transformações diferenciáveis de variedades compactas. Endomorfismo do toro. Relação destes resultados com a Desigualdade de Ruelle e da Fórmula da Entropia (de Pesin) para a entropia de densidades de probabilidade invariantes.
Fluxos. Entropia métrica e topológica do fluxo em espaço compacto e da transformação de tempo-1 do fluxo.
Generalização de entropia topológica: a Pressão Topológica. Menção do Princípio Variacional para a Pressão. Noção de estado de equilíbrio para um dado potencial. Todo difeomorfismo de Anosov suave admite único estado de equilíbrio para cada potencial Hölder-contínuo, assim como toda peça básica de um difeomorfismo Axioma A. O mesmo vale para fluxos Axioma A e fluxos de Anosov.
Exemplos e resolução de exercícios.
Segunda prova.