Geometria Diferencial (MAC 360) 2009/1

Ementa

Bibliografia

• • Araújo, P.V. Geometria Diferencial. IMPA.

  • Carmo, M. P. Geometria Diferencial de Curvas e superfícies . IMPA.

  • Struik, D.J. Geometria Diferencial Clássica. Aguilar

  • Tenenblat, K. Introdução à Geometria Diferencial. UNB.

Plano de aulas

Carga horária: 60 horas. Cada aula corresponde a duas hora-aula.

Aula 1

Apresentação do curso: Programa, Bibliografia e Avaliação. Curvas parametrizadadas (suaves). Vector e reta tangentes a uma curva. Exemplos. Comprimento de arco. Curvas parametrizadas por comprimento de arco. Mudança de parâmetro e reparametrização. Existência de reparametrizações por comprimento de arco de qualquer curva regular. Exemplos.

Aula 2

Comprimento de uma curva não depende da parametrização. Propriedades das curvas parametrizadas por comprimento de arco. Curvatura, vetor normal, plano osculador. Exemplos. Vetor binormal, torção. Exemplos.

Aula 3

Definição do triedro de Frenet para curvas parametrizadas por comprimento de arco e no caso geral. Fórmulas de Frenet. Exemplos.

Aula 4

Isometrias do espaço tridimensional. Teorema Fundamental das Curvas: demonstração. Exemplos.

Aula 5

Definição e exemplos de superfícies regulares em R3. Atlas da esfera em termos das coordenadas cartesianas. Outro atlas da esfera: projecções estereográficas. Gráficos de funções de abertos do plano no espaço: Parabolóide elíptico e parabolóide hiperbólico.

Aula 6

Superfícies de nível. A imagem inversa de um valor regular de uma função real de um aberto do espaço é uma superfície: elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, toro. Cone duplo não é superfície. Mudanças de coordenadas. Reparametrizações. Funções diferenciáveis sobre superfícies.

Aula 7

Vector tangente a uma superfície num ponto. Plano tangente a uma superfície num ponto. Diferencial de uma aplicação. Exemplos. Primeira forma fundamental. Exemplos. Área sobre superfícies regulares.

Aula 8

Vectores normais unitários. Orientação de uma superfície. Exemplos. Imagem inversa de um valor regular é superfície orientável.

Aula 9

Toda superfície compacta orientável é imagem inversa de um valor regular. Resolução de alguns exercícios.

Aula 10

Definição da aplicação de Gauss. A segunda forma fundamental. A curvatura normal de uma curva sobre uma superfície regular. As curvaturas principais e linhas de curvatura. Exemplos.

Aula 11

A curvatura gaussiana e a curvatura média. Pontos elíticos, hiperbólicos, parabólicos e planares. Seções normais de uma superfície. Descrição da geometria da superfície numa vizinhança de um ponto, de acordo com a natureza do ponto. Pontos umbílicos. Direções assintóticas e direções conjugadas.

Aula 12

A aplicação de Gauss em coordenadas locais. Equações de Weingarten. Exemplos: toro, sela, superfícies de revolução, gráficos de funções diferenciáveis. Interpretação geométrica da curvatura gaussiana.

Aula 13

Exercícios de revisão da matéria.

Aula 14

Primeira prova.

Aula 15

Isometrias, aplicações conformes. Exemplos.

Aula 16

Teorema de Gauss, equações de compatibilidade, símbolos de Christoffel. Exemplos de computação dos símbolos.

Aula 17

Equações de Mainardi-Codazzi e o Teorema de Bonnet. Comparação com o teorema fundamental das curvas parametrizadas. Campos de vetores ao longo de curvas e transporte paralelo. Exemplos.

Aula 18

Definição de geodésica. Exemplos. Derivada covariante e curvatura geodésica. Exemplos. Determinação usando coordenadas locais.

Aula 19

Equações diferenciais das geodésicas de uma superfície. Existência e unicidade de geodésicas numa dada direção por um ponto. Exemplos de determinação de geodésicas. A esfera, o cilíndro e o toro.

Aula 20

Estudo das geodésicas do parabolóide de revolução, do hiperbolóide de revolução.

Aula 21

Teorema de Gauss-Bonnet. Enunciado local e demonstração.

Aula 22

Teorema de Gauss-Bonnet. Enunciado global e demonstração. Relação com a característica de Euler.

Aula 23

Aplicações do Teorema de Gauss-Bonnet: caracterização de superfícies compactas com curvatura positiva; existência de geodésicas fechadas simples; interseção de geodésicas fechadas simples; soma de ângulos internos de triângulos geodésicos.

Aula 24

Definição de aplicação exponencial. Propriedades da aplicação exponencial. Definição de sistemas coordenadas normais e de sistemas de coordenadas polares geodésicas numa vizinhança de todo ponto de uma superfície.

Aula 25

Primeira forma fundamental em sistemas de coordenadas polares geodésicas. Aplicações geométricas dos sistemas de coordenadas polares geodésicas. Isometria local entre superfícies com a mesma curvatura gaussiana constante.

Aula 26

Propriedades minimizantes das geodésicas. Vizinhanças convexas.

Aula 27

Rigidez da esfera.

Aula 28

Superfícies não estendíveis, completas e o Teorema de Hopf-Rinow.

Aula 29

Exercícios de revisão.

Aula 30

Segunda prova.

Aula 31

Prova final.

Aula 32

Segunda chamada da prova final.

1.1 Avaliação

De acordo com os critérios definido pelos regulamentos do CCMN.

Exercícios recomendados Curso Geometria Diferencial

Exercícios do livro

Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies

Manfredo Perdigão do Carmo

Sociedade Brasileira de Matematica, 2006.

Seção 1.2

Exerc. 1-5 (pag 6)

Seção 1.3

Exerc. 1-3 (pag 8) 5 (pag 10) 6 (pag 11)

Seção 1.4

Exerc. 2,4-5 (pag 27)

Exerc. 12 (pag 30)

Seção 1.5

Exerc. 3 (pag 55) e 6-7 (pag 56)

Seção 2.2

Exerc. 1-4 (pag 76) 7, 9-10 (pag 77) 11-12,16 (pag 78)

Seção 2.3

Exerc 1-5, 9,11,14 (pag 94)

Seção 2.4

Exerc 1-7, 10, 15, 24

Seção 2.5

Exerc 3, 5-6, 10

Seção 3.2

Exerc 2-6, 8, 17

Seção 3.3

Exerc 1, 4-6, 13-14

Seção 4.2

Exerc 9-10, 15, 18-19

Seção 4.3

Exerc 3-4, 6, 8-9.