Análise Funcional (Verão 2016)

Código: MAT513 (escolaridade 102h/semestre)

AVISO: não haverá aulas do curso de 02 a 10 de fevereiro de 2016.

Local e horário

Sala 14.

Terça, Quarta, Quintas-feiras, das 08h50 às 10h40 e das 10h40 às 12h30.

Ementa

Espaços vetoriais normados. Espaços de Banach. Espaço quociente.

Operadores lineares e seus adjuntos. Teorema de Hahn-Banach. Teorema

da limitação uniforme. Teorema do gráfico fechado. Teorema da

aplicação aberta. Topologia fraca. Teorema de Banach-Alaoglu. Espaços

reflexivos. Espaços de Hilbert. Conjuntos ortonormais. Teorema da

representação de Riesz. Operadores compactos. Teoria espectral de

operadores compactos auto-adjuntos. Álgebras de Banach e C*.

Data das provas

Primeira prova (P1): quinta-feira, 28 de janeiro, 2016.

Segunda prova (P2): terça-feira, 01 de março, 2016.

Avaliação:

• 30% lista de exercícios (para entregar no dia da segunda prova);

• 30% primeira prova escrita;

• 40% segunda prova escrita.

Lista de Exercícios (pelo número do exercício em ListaExercicios2016.pdf no final desta página):

• Espaços de Banach: exercício 12;

• Convergência de operadores: exercício 21;

• Espaço dual e topologia fraca: exercício 31;

• Operador adjunto: exercício 47;

• Espaços de Hilbert: exercício 59;

• Operadores compactos: exercício 66.

Referências

BACHMAN, G. e NARICI, L.. - Functional Analysis. New York,

Academic Press, 1966.

Brezis, H. Analyse Functionnelle – Théorie et applications.

DUNOD, 1999. Paris.

CONWAY, A Course on Functional Analysis (2nd. ed.), Springer

Verlag. 1990. New-York.

DUNFORD, N. e SCHWARTZ, J. - Linear Operators, Vol. 1, Wiley

Interscience. New York, 1964. (Este é enciclopedico, só pra consulta)

MACCLUER, Barbara. Elementary Functional Analysis,

Springer-Verlag, 2009

REED, M. e SIMON, B. - Methods of Modern Mathematical.

Physics, vol. I. New York, Academic Press, 1972.

RIESZ, F. e NAGY, B. - Functional Analysis. New York,

Frederick Ungar, 1955.

O livro que vou seguir mais de perto (especialmente para a lista de exercícios) não é um texto consagrado como estes:

César Oliveira, Introdução à Análise Funcional,

IMPA, Colóquio Brasileiro de Matemática, Rio de Janeiro, 2001.

Outro mais recente e muito bom é

Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino, Eduardo Teixeira, Fundamentos de Análise Funcional,

SBM, Coleção Textos Universitários, Rio de Janeiro, 2014.

Um texto mais antigo mas muito bem feito e perfeitamente atual é o conteúdo deste curso do 8º Colóquio Brasileiro de Matemática, em 1971:

Chaim Samuel Hönig, Análise Funcional e o Problema de Sturm-Liouville.

Um texto recente que descreve aplicações desta teoria na resolução de equações diferencias ordinárias e parciais, do Colóquio de Matemática da Região Sul, 2012, está escrito de maneira muito acessível (ver por exemplo o último capítulo):

Albo Carlos Cavalheiro, O Problema de Sturm-Liouville

Plano de aulas em geral:(sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula)

• • pres-analfunc-intro:  Introdução, motivação. Normas equivalentes, compacidade e dimensão. Completamento de espaços normados.

  • pres-analfunc-fundamentais: Teorema de Hahn-Banach e alguns corolários. Teorema da Limitação Uniforme. Teorema da  Aplicação Aberta. Teorema do Gráfico Fechado. Exemplos de aplicação. Suplementar topológico e complemento ortogonal.

  • pres-analfunc-adjunto: Topologia fraca. Espaços Reflexivos. Adjunto de um operador.

  • pres-analfunc-hilbert: espaços de Hilbert. Lema de Schwarz. Completamento de subespaços e ortogonalidade. Teorema de Riesz. Reflexividade. Operador adjunto de Hilbert. Famílias ortogonais e bases ortonormais em espaços de Hilbert.

  • pres-analfun-compactos: Operadores Compactos em espaços de Banach. Propriedades. Exemplos. Operadores compactos em espaços de Hilbert. Alternativa de Fredholm. Espectro de operadores compactos em espaços de Banach. Teorema Espectral para Operadores Compactos autoadjuntos em espaços de Hilbert.

  • pres-analfunc-algebras: Álgebras de Banach, álgebras C*. Espectro. Analiticidade do resolvente. Caracterização de álgebras de Banach unitárias invertíveis: o Teorema de Gelfand-Mazur.

Plano de aulas em pormenor

Aulas filmadas do curso de Análise Funcional no IMPA lecionadas por Marcelo Viana.