Dinâmica em Baixa Dimensão (2013.2)

Código: MAT554 (Mestrado) (escolaridade 102h/semestre)

Subtítulo: Introdução aos sistemas caóticos

Local e horário

Sala 14 da Pós-graduação do Instituto de Matemática

Segundas, quartas e sextas-feiras, das 17h00 às 19h00.

Ementa

• Número de Rotação. Teoria de Denjoy. Partição de Markov. Conjuntos hiperbólicos para aplicações. Teorema de Sharkovsky. Schwarziana negativa. Bifurcações. Itinerários, codificações e kneading sequence. Entropia e modelos lineares por partes. Aplicações S-unimodais. Resultados e observações sobre aplicações multimodais.

Avaliação

• Listas de exercícios e seminários apresentados pelos alunos sobre temas mais avançados decorrentes da ementa do curso.

• Exercícios para avaliação da lista de exercícios abaixo: números 1, 2, 13, 14, 15, 16.

Conteúdo Programático

• Sistemas Dinâmicos Unidimensionais: definições e exemplos; hiperbolicidade, dinâmica simbólica, conjugação topológica, estabilidade estrutural, sistemas caóticos, entropia, teorema de Sarkovski, teoria de bifurcação, aplicações do círculo, difeomorfismos de Morse-Smale, pontos homoclínicos. Exemplos. A aplicação de Hénon.

• Hiperbolicidade. Automorfismos hiperbólicos do toro. Teorema da Variedade Estável. Ferradura de Smale. Atratores hiperbólicos: o solenóide. Hiperbolicidade para fluxos. Hiperbolicidade parcial. As equações de Lorenz e o atrator geométrico de Lorenz.

• Dinâmica complexa: aplicações quadráticas no corpo dos complexos.  Famílias normais e pontos excepcionais. Pontos periódicos. O conjunto de Julia e sua geometria. Pontos periódicos neutros. O conjunto de Mandelbrot. Exemplos.

Alguns vídeos ilustrativos do tipo de assuntos que vão ser introduzidos em nível elementar

• chaos-math.org

• Chaos (em português)

  • Coleção de videos Dimensions

Bibliografia

• • de Melo, W.; van Strien, S. One-dimensional dynamics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. 1993.

• Devaney, Robert L., An introduction to chaotic dynamical systems, 2ª edição, Addison-Wesley Pub. Company, New York, 1989.

• Hirsch, M. W.; Smale, S.; Devaney, R.  DIFFERENTIAL EQUATIONS, DYNAMICAL SYSTEMS, AND AN INTRODUCTION TO CHAOS. Academic Press, Londres, 2004

• Araújo, V., Pacifico, M.J. Three-Dimensional Flows. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics. Volume 53, 2010.

• Díaz, L; Jorge, D. Uma Introdução aos Sistemas Dinâmicos via Frações Contínuas. 26º Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 2007.

• Brin, M; Stuck, G. Introduction to dynamical systems. Cambridge Univ. Press, 2002.

• Hasselblatt, B; Katok, A. A first course in dynamics, with a panorama of recent developments. Cambridge Univ. Press, 2003. 

• Palis Jr, J. e Mello, W., Introdução aos Sistemas Dinâmicos, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1977.