Teoria da Medida e Integração (2014.1)

Código MAT505 (Carga didática: 102h)

Local e horário

Sala 15 da Pós-Graduação (no edifício do IM-UFBA (térreo)).

Seg-Qua-Sex das 13h00 às 15h00.

Avaliação:

• 30% listas de exercícios (para entregar no dia da segunda prova);

• 30% primeira prova escrita;

• 40% segunda prova escrita.

Provas

Primeira Prova: SEGUNDA-FEIRA, dia 28 de Abril de 2014 [Notas de aula a,b,c; Capítulos 9, 2, 3, 4 e 5 de Bartle]

Segunda Prova: SEGUNDA-FEIRA, 07 de Julho de 2014 [Notas de aula d,e,f,g,h,i; Capítulos 6, 7, 8 de Bartle]

Ementa

Sigma-álgebras. Espaços e funções mensuráveis. Medidas. Medida de Lebesgue. A integral. Integral de Lebesgue. Os espaços Lp. Tipos de convergência. Decomposição de medidas. Teorema da decomposição de Hahn-Jordan. Teorema de Radon-Nikodym. Teorema da decomposição de Lebesgue. Teorema da representação de Riesz. Teorema de Carathéodory. Medida produto. Teorema de Fubini-Tonelli.

Plano de aulas em geral:(sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula, no final desta página)

• • pres-Int-a.pdf ( notas ): Introdução. Riemann versus Lebesgue

  • pres-Int-b.pdf ( notas ): De medidas exteriores para medidas.

  • pres-Int-c.pdf ( notas ): Integração de Lebesgue e teoremas de convergência monótona e dominada

  • pres-Int-d.pdf ( notas ): Integral indefinida, medidas com sinal e complexas. Decomposição de medidas: Teoremas de decomposição de Jordan, Hahn e Lebesgue.

  • pres-Int-e.pdf ( notas ): Espaços de Lebesgue (espaços L^p) e dualidade.

  • pres-Int-f.pdf ( notas ): Modos de Convergência: pontual, uniforme, qtp., em medida, em Lp, quase uniforme, e dominada. Relações entre estes modos de convergência. O Teorema de Convergência de Vitali.

  • pres-Int-g.pdf ( notas ): Medidas em espaços produto. Integração em espaços produto. Teoremas de Tonelli e Fubini.

  • pres-Int-h.pdf ( notas ): Teorema de Representação de Riesz-Markov. Densidade de funções contínuas em Lp.

  • pres-Int-i.pdf ( notas ): Transporte de medidas, mudança de variáveis. Medidas invariantes e Teorema de Recorrência.

  • pres-Int-j.pdf ( notas ): Teoria de Derivação de Lebesgue. Teorema Fundamental do Cálculo.

Plano de aulas em pormenor

Referências:

Bartle, R. G. Elements of integration. John Wiley and Sons. New-York. 1966.

CASTRO, A. A. Curso de Teoria da Medida, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2004.

KINGMAN, J & TAYLOR, S., Introducion to Measure and Probability. Cambridge University Press, 1966

ROGERS, C.A., Hausdorff Measures. Cambridge Univ. Press, Cambidge, 1970, 1988.

ROYDEN, M.; Real Analysis. MacMillan, New York, 1963.

RUDIN, W.; Real and Complex Analysis. Mc-Graw Hill, New York, 1966.

Exercícios:

Além das passagens assinaladas como exercício nas notas de aula, os alunos são aconselhados a fazer os exercícios do livro de R.G. Bartle, começando no capítulo 9 (porque meu curso de medida começa com a construção de medidas), especialmente 9.F a 9.K; e depois a partir do capítulo 2 (quando se trata da teoria de integração).

Lista de exercícios (para entregar durante a segunda prova escrita):

Exercícios 5.K a 5.T do capítulo 5 do livro de Bartle.

Exercícios 9 do capítulo 3; 4 do capítulo 4; e 2 do capítulo 5 do livro de Armando Castro.