Equações Diferenciais Ordinárias (2013.2)

Código MAT510 (Carga didática: 102h)

Horário: Seg-Qua-Sex das 15h00 às 17h00 na sala 17 (no edifício do IM-UFBA (térreo)).

Primeira Prova: sexta-feira, 11 de outubro, das 13h às 17h na sala 12.

Segunda Prova: sexta-feira, 13 de dezembro

Conteúdo (ementa oficial):

• 1. Sistemas de equações diferenciais. 

  2. Teorema de existência e unicidade local (teorema de Picard) e global (soluções maximais). 

  3. Dependência das condições iniciais, e com relação a parâmetros.

  4. Sistemas lineares, exponencial de matrizes e estudo de campos lineares bidimensionais simples. 

  5. Classificação dos campos lineares hiperbólicos. 

  6. Singularidades hiperbólicas de campos de vetores e o enunciado do teorema de linearização de Grobman-Hartman. 

  7. Órbitas periódicas, seções transversais e transformação de Poincaré. 

  8. Conjuntos e limites e o teorema de Poincaré-Bendixson. 

  9. A equação de Van der Pol.

Referências principais:

• • SOTOMAYOR, J.; Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1979. 

  • Claus I. Doering, Artur O. Lopes, Equações Diferenciais Ordinárias. Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2010;

  • HIRSCH, M.& SMALE, S.; Differential Equations Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press, New York, 1974.

  • HIRSCH, M.& SMALE, S. & Devaney, R.; Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. Academic Press, New York, 2003.

  • ARNOLD, V.; Équations Differentialles Ordinaires. Ed. Mir, Moscou, 1974.

  • CASTRO, A.; Curso de Equações Diferenciais Ordinárias. Preprint UFBA, 2007.

Outras referências:

• • NEMYTSKII,V., STEPANOV,V.; Qualitative Theory of Differential Equations. Dover Publications, New York, 1989.

  • SCARDUA, B.; Tópicos de Equações Diferenciais Ordinárias. 22º Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 1999.

  • PALIS Jr., J. & de Melo, W.; Introdução aos Sistemas Dinâmicos. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1978.

  • Apresentações de Shlomo Sternberg, especialmente as "Lecture 9", "Lecture 13", "Lecture 14" e "Lecture 11".

Avaliação:

Nota final =  (2/5)P1 + (3/5)P2

Plano de aulas em geral:  (os arquivos podem ser encontrados aqui, sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula; estes arquivos são atualizados à medida que os alunos vão apontando erros e fazendo sugestões)

• • pres-EDO-a.pdf : Introdução e exemplos (este arquivo é visto mais corretamente no Adobe Acrobat Reader).

  • pres-EDO-b.pdf : Equações diferenciais lineares, não autônomas e não homogêneas. Existência e unicidade. Fluxo linear.

  • pres-EDO-c.pdf : Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, Forma Canônica de Jordan, fluxos lineares no plano, fluxo linear hiperbólico, conjugação entre fluxos lineares, abertura e densidade de fluxos lineares hiperbólicos entre os fluxos lineares.

  • pres-EDO-d.pdf : Existência, Unicidade, Diferenciabilidade de Soluções para E.D.O. geral de primeira ordem.

  • pres-EDO-e.pdf : Introdução à Teoria Qualitativa: fluxo de um campo de vetores, fluxo tubular, conjuntos-limite, órbitas periódicas, seções transversais e Teorema de Poincaré-Bendixson. A equação de Van der Pol.

  • pres-EDO-f.pdf : Linearização de singularidades hiperbólicas: o Teorema de Hartman-Grobman para transformações e para campos. Aplicação a órbitas periódicas hiperbólicas de campos de vetores diferenciáveis. O Teorema da Variedade Estável para singularidades e órbitas periódicas hiperbólicas.

  • pres-EDO-g.pdf : Sobre o atrator de Lorenz. Um pouco de história e do significado deste sistema de equações diferencias para a Teoria das Equações Diferenciais Ordinárias; propriedades simples; propriedades fundamentais para a compreensão da dinâmica do fluxo no atrator; construção do modelo geométrico das equações de Lorenz.

Plano de aulas em pormenor

Lista de exercícios:

• 1. E.D.O. linear não autonoma. Exercícios 1, 2, 4 de Cap. III de Sotomayor, pág 88-90.

  2. E.D.O. linear autônoma com coeficientes constantes no plano. Exercícios 10 a 16 e 24-25 do Cap. 1 de Doering-Lopes, pág. 58-60.

  3. E.D.O. linear autônoma com coeficientes constantes. Exercícios 2 a 6 Cap II de Doering-Lopes, pág 99; e exercícios 16, 17 e 18 de Cap. III de Sotomayor, pág 93-94.

  4. Logaritmo de operador linear. Exercícios 11 e 12,  Cap. II, Seção 2.5 de Doering-Lopes, pag. 100; exercícios 33, 34 e 37. Cap. III de Sotomayor, pag. 102; e exercício 12, Cap. III, Seção 3.3 de Doering-Lopes, pag. 129.

  5. Existência, unicidade e diferenciabilidade de soluções. Exercícios: 7, 10 e 11 do Cap. II de Sotomayor, pág. 44-45; e exercícios 3 a 10 e também 12, do Cap. 4 de Doering-Lopes, pág. 176-177.

  6. Fluxo de campo de vetores, fluxo tubular, conjuntos limite, seções transversais. Exercícios 2, 4, 5, 6, 7, pág 258-259 do Cap. 6 de Doering-Lopes; exercício 2 do Cap. VII pag. 258 de Sotomayor; e exercícios 12 e 14 do Cap. 4, pag 177 de Doering-Lopes.

  7. Seja v um campo vetorial de classe C1 , completo, em IR2 , tal que a componente horizontal de v é positiva em cada ponto.

  8. Existe uma reta vertical x = const. que é intersectada por todas as órbitas do fluxo gerado por v ?

  9. Para cada uma das funções V(X)) seguintes descreva as órbitas do fluxo gerado por X'= -grad V(X) e determine os conjuntos limite de cada ponto:

     1. V(x,y)=x2+2y2;

     2. V(x,y)=x2-y2-2x+4y+5;

     3. V(x,y)=y sin(x);

     4. V(x,y,z)=x2+y2-z.

  10. Seja V:IRn → IR de classe C2 tal que (i) V tem número finito de pontos críticos; (ii) {x | V(x)<= a} é compacto para todo número a real. Mostre que: (a) toda solução da equação X'= -grad V(X) está definida para todo t real não negativo; e (b) o omega-limite de qualquer ponto é um ponto crítico de V; (c) os pontos fixos hiperbólicos do fluxo gerado pela E.D.O. dada são precisamente os pontos críticos não degenerados da função V.

  11. Seja phi um fluxo em IRn. Um subconjunto K diz-se minimal se K é compacto, invariante e se C contido em K é compacto invariante, então C=K. Mostre que: (a) para todo p em K, a órbita de p é densa em K; (b) os conjuntos omega-limite e alfa-limite de p são iguais a K.

  12. Para um fluxo em IRn dado por um campo gradiente, determine seus conjuntos minimais.

  13. Seja p ponto de uma órbita periódica hiperbólica de um campo X de classe C1 em Rn. Mostre que para todo real positivo T existe vizinhança V de p tal que toda órbita periódica de X com ponto em V \ O(p) tem período mínimo maior que T.

  14. Sejam X, Y campos de vetores de classe C1 em Rn e assuma que a origem seja uma singularidade hiperbólica atratora para X e para Y. Mostre que existe homeomorfismo h de uma vizinhança da origem que conjuga os difeomorfismos X1 e Y1 (o tempo 1 dos fluxos Xt e Yt dos campos X e Y) ,  mas não leva órbitas de X em órbitas de Y.