Teoria Ergódica Diferencial (2015.1)
Código MATE51 (Carga didática: 102h)
Local e horário
Sala 12 da Pós-Graduação (no edifício do IM-UFBA (térreo)).
Seg-Ter-Qui das 08h50 às 10h40.
Ementa
Expoentes de Lyapunov, Teorema de Oseledets e desigualdade de Ruelle.
Teoria de hiperbolicidade não uniforme (de Pesin) e propriedades de medidas hiperbolicas. Fórmula de Pesin.
Medidas hiperbolicas e Teorema de Katok.
Atratores e medidas físicas.
Ergodicidade do fluxo geodésico em superfícies de curvatura constante negativa.
Assuntos adicionais.
Avaliação
Listas de exercícios e/ou seminários apresentados pelos alunos sobre temas mais avançados relacionados com a ementa do curso.
Plano de aulas em geral:(sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula, no final desta página)
pres-TeoErgDiff.pdf: Apresentação geral dos principais resultados da teoria.
pres-TeoErgDiff-Oseledets.pdf: Apresentação e demonstração do Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets, incluindo o caso de cociclos sobre fluxos.
pres-TeoErgDiff-Ruelle.pdf: Relações entre expoentes de Lyapunov e entropia. A desigualdade de Ruelle e a Fórmula da Entropia de Pesin para medidas absolutamente contínuas.
pres-TeoErgDiff-Holder.pdf: Funções temperadas e normas de Lyapunov adaptadas a cocyclos. Blocos hiperbólicos com medida quase total. Variação Hölder dos subespaços de Oseledets em função do ponto base.
pres-TeoErgDiff-Pesin.pdf: construção de variedade estável para difeomorfismos não uniformemente parcialmente hiperbólicos e extensões desta construção para variedade instável. Vizinhanças regulares. Variedades admissíveis. Transformada de gráfico. Diferenciabilidade e o decrescimento subexponencial do tamanho da variedade estável/instável.
pres-TeoErgDiff-Lorenz.pdf: apresentação de exemplo de ponto não regular em atrator com medida de probabilidade invariante hiperbólica, dado pelo atrator geométrico de Lorenz. Apresentamos construção resumida do fluxo que gera este atrator e da medida invariante hiperbólica nele suportada; e ainda a construção explícita (via um algoritmo) de um ponto que não admite qualquer variedade instável e, portanto, é não regular para toda probabilidade invariante suportada neste atrator.
pres-TeoErgDiff-Katok.pdf: medidas hiperbólicas, Lema de Inclinação não uniformemente hiperbólico, Lema do Fecho de Katok, sombreamente não uniformemente hiperbólico, entropia topológica e aproximação por ferraduras.
Bibliografia
R Mañé, Ergodic Theory and Differentiable Dynamics Springer-Verlag, New-York, 1987 (este livro tem versão em português "Teoria Ergódica", publicada no Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro).
M. Pollicott. Lectures on Ergodic Theory and Pesin Theory on Compact Manifolds. Cambridge University Press, 1993.
A. Katok e B. Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge, 1995.
P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory. Springer-Verlag, 2000.
L. Barreira and Y. Pesin. Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory. University Lecture Series 23, American Mathematical Society, 2001.
F. Przytycki, M. Urbanski. Fractals in the Plane - the Ergodic Theory Methods, Cambridge University Press, 2007.
M. Viana. Lecture notes on attractors and physical measures Monografías del IMCA no 8 IMCA Lima 1999
A. Karlsson , G. A. Margulis. A Multiplicative Ergodic Theorem and Nonpositively Curved Spaces. Commun. Math. Phys. 208, 107 – 123 (1999)
V. Araújo, M. J. Pacifico. Three dimensional flows.Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Volume 53 (2010) da coleção Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics.