Exercícios de Teoria Ergodica

Lista de exercícios (para entregar até ao final do curso):

Questões sobre dinâmica de homeomorfismos do círculo:

• Mostre que se F e G=F+k são dois levantamentos do mesmo homeomorfismo f do círculo, onde k é um número inteiro relativo, então o número de rotação de F e o de G tem uma diferença de k. Conclua que o número de rotação de f não depende do levantamento usado para o seu cálculo. Mostre ainda que existe único levantamento de f cujo número de rotação está no intervalo [0,1).

• Mostre que se f é um homeomorfismo que inverte a orientação, então o número de rotação do levantamento de f2 é zero.

• Suponha que f tem número de rotação racional. Mostre que:

  • se f tem exatamente uma órbita periódica, então toda órbita não periódica tem ômega-limite e alfa-limite igual à órbita periódica;

  • se f tem mais que uma órbita periódica, então toda órbita não periódica tem ômega-limite igual a uma órbita periódica, e alfa-limite igual a uma órbita periódica distinta.

Exercícios do livro Oliveira-Viana:

• Sobre o Teorema de Recorrência: exercícios 1.2.2, 1.2.3 e 1.2.5.

• Sobre exemplos de medidas invariantes e algumas propriedades: exercícios 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.3.9, 1.3.10, 1.4.2

• Sobre existência de medidas invariantes e ergodicidade: 2.2.1, 2.2.2, 2.2.4, 4.1.1 e 4.1.3 (apenas (e))

• Sobre Teorema Ergódico (de von Neumann e Birkhoff): 3.1.1 a 3.1.5; 3.2.1 a 3.2.7; 4.3.7, 4.3.8, 4.3.9

• Sobre grupos topológicos: 6.3.3, 6.3.7

• Sobre sistemas (fracamente) misturadores: 7.1.2, 7.1.4, 7.1.5

• Sobre equivalência ergódica: 8.1.1, 8.1.2, 8.1.3

• Sobre entropia métrica: 9.1.1, 9.1.3, 9.1.4, 9.2.1, 9.2.2