Teoria Ergodica Diferencial (2021.2)

R Mañé, Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer-Verlag, New-York, 1987 (este livro tem versão em português "Teoria Ergódica", publicada no Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro).

L. Barreira and Y. Pesin. Nonuniform Hyperbolicity. Dynamics of Systems with Nonzero Lyapunov Exponents. Cambridge University Press, 2007 (online 2013) -- esta é uma das principais fontes dos textos do curso.

L. Barreira and Y. Pesin. Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory. University Lecture Series 23, American Mathematical Society, 2001.

A. Katok e B. Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995 (online 2012).

M. Pollicott. Lectures on Ergodic Theory and Pesin Theory on Compact Manifolds. Cambridge University Press, 1993. (prova do Teorema de Oseledets e da Variedade Estável de Pesin em superfícies e consequências)

Keith Burns, Marian Gidea. Differential Geometry and Topology - With a View to Dynamical Systems. Chapman and Hall/CRC, 2005 (prova da hiperbolicidade do fluxo geodésico em variedades de curvatura secional negativa no último capítulo)

F. Przytycki, M. Urbanski. Fractals in the Plane - Ergodic Theory Methods. Cambridge University Press, 2007.

M. Viana. Lecture notes on attractors and physical measures. Monografías del IMCA no 8 IMCA Lima 1999.

M. Viana. Lectures on Lyapunov exponents. Cambridge University Press. 2014.

P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory. Springer-Verlag, 2000.

V. Araújo, Sinks and sources for C1 dynamics whose Lyapunov exponents have constant sign. Osaka J. Math. 57 (2020), no. 4, 751--788. Preprint ArXiV.

V. Araújo, M. J. Pacifico. Three dimensional flows. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Volume 53 (2010) da coleção  Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics. 

J. Alves, Nonuniformly Hyperbolic Attractors - Geometric and Probabilistic Aspects. Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg. Springer Monographs in Mathematics. 2020.

Provas do Teorema de Oseledets:

• Oseledec, V. I. A multiplicative ergodic theorem. Characteristic Ljapunov, exponents of dynamical systems. (Russian) Trudy Moskov. Mat. Obšč. 19 1968 179–210. 

• M. S. Raghunathan, A proof of Oseledec's multiplicative ergodic theorem, Israel J. Math., 32 (1979), 356-362.

• P. Walters, A dynamical proof of the multiplicative ergodic theorem, Transactions of the American Mathematical Society, 335 (1993), 245-257

• A. Karlsson , G. A. Margulis. A Multiplicative Ergodic Theorem and Nonpositively Curved Spaces. Commun. Math. Phys. 208, 107 – 123 (1999)

• C. González-Tokman, A. Quas. A concise proof of the multiplicative ergodic theorem on Banach spaces. Journal of Modern Dynamics, 9(1):237-255, 2015.

• Alex Blumenthal. A volume-based approach to the multiplicative ergodic theorem on Banach spaces. Discrete & Continuous Dynamical Systems. 36(5): 2377-2403, 2016.

• pres-TeoErgDiff.pdf: Apresentação geral dos principais resultados da teoria. Notas de aula.

• Videoaulas expositivas do conteúdo:

  • Expoentes de Lyapunov e o Teorema Ergódico Multiplicativo (de Oseledets) (video 01): https://youtu.be/QHcWmYs2Qiw

  • Aplicações do Teorema Ergódico Multiplicativo a difeomorfismos (video 02): https://youtu.be/J0tKqK1DxZk

  • Alguns dos principais resultados da teoria e avaliação do curso por apresentação de artigos (video 03): https://youtu.be/9pAE0QZRQ7c

• pres-TeoErgDiff-Ruelle.pdf: Relações entre expoentes de Lyapunov e entropia. A desigualdade de Ruelle e a Fórmula da Entropia de Pesin para medidas absolutamente contínuas. Notas de aula.

• Videoaulas expositivas do conteúdo:

  • Enunciados da desigualdade de Ruelle e da Fórmula da Entropia de Pesin e algumas observações (video 11): https://youtu.be/24z4vPuqhvE 

  • Prova da desigualdade de Ruelle (video 12): https://youtu.be/IqXKhbMDK54

  • Prova da Fórmula da Entropia de Pesin para medidas absolutamente contínuas - segundo Mañé (video 13): https://youtu.be/I563fwt7hec

  • Prova da Proposição final - resultado técnico chave (video 14): https://youtu.be/AtMzKKRIpDo 

• pres-TeoErgDiff-Pesin.pdf: construção de variedade estável para difeomorfismos não uniformemente parcialmente hiperbólicos e extensões desta construção para variedade instável. Vizinhanças regulares. Variedades admissíveis. Transformada de gráfico. Diferenciabilidade e o decrescimento subexponencial do tamanho da variedade estável/instável. Notas de aula.

• Videoaulas expositivas do conteúdo:

  • Hiperbolicidade (parcial) não uniforme e dominação não uniforme (video 19): https://youtu.be/rhtGf4jDhws

  • Construção de vizinhanças regulares (video 20): https://youtu.be/IfndmoPACUc

  • Hiperbolicidade parcial não uniforme e a construção de famílias de difeomorfismos uniformemente parcialmente hiperbólicos através de vizinhanças regulares (video 21): https://youtu.be/CIuUZhYxy8w

  • As variedades estáveis como pontos fixos de uma transformada de gráfico (video 22): https://youtu.be/PZVFlAAsHv4

  • Unicidade da variedade estável, tamanho da variedade estável/instável - necessidade da condição Hölder na derivada (video 23): https://youtu.be/Ye0yqVVkqd8

  • A continuidade absoluta da laminação estável - definição (video 24): https://youtu.be/rU-YRAkswwY

  • Consequências da continuidade absoluta da laminação estável - construção de medidas físicas/SRB e ergodicidade do fluxo geodésico em variedades Riemannianas de curvatura secional estritamente negativa (video 25): https://youtu.be/-ljrYcS-TIo

  • Prova da continuidade absoluta da laminação estável (video 26): https://youtu.be/EaxWAuzbZy8

  • A Hölder-continuidade do jacobiano da holonomia estável e da holonomia estável (video 27): https://youtu.be/-lCQ9PhzDM4

• pres-TeoErgDiff-sourcesink.pdf: medidas invariantes com todos os expoentes do mesmo sinal versus poços e fontes, para transformações e fluxos de classe C1, incluindo singularidades. Aplicações da noção de tempos hiperbólicos para transformações e fluxos. Notas de aula.

• Videoaulas expositivas do conteúdo:

  • Trajetórias com todos os  expoentes do mesmo sinal versus poços e fontes, para transformações e fluxos de classe C1, incluindo singularidades -- enunciado dos resultados (video 37): https://youtu.be/eBlF3Z5A47w

  • Prova dos resultados para transformações com expoentes com o mesmo sinal (video 38): https://youtu.be/pkifpBgf850

  • Prova dos resultados para fluxo C1 com expoentes com o mesmo sinal (video 39): https://youtu.be/AnErsGKgQrM

• pres-TeoErgDiff-Lorenz.pdf: exemplo de ponto não regular no atrator geométrico de Lorenz com medida de probabilidade invariante hiperbólica. Exemplo de não existência de expoentes em abertos e qtp com falha da hipótese de integrabilidade. Notas de aula.

• Videoaulas expositivas do conteúdo:

  • Exemplo de ponto não regular no atrator geométrico de Lorenz (video 35): https://youtu.be/0HRB2k_VtTs

  • Exemplos de não existência de expoentes em abertos; e qtp (com falha da hipótese de integrabilidade); e genericamente (video 36): https://youtu.be/daJImuYSXb4