Teoria Ergodica Diferencial (2021.2)
Código MATE51 (Doutorado em Matemática/Carga didática: 102h)
Local: Curso à distância (contactos por email, Google Meet e Telegram) [Dicas para assistir cursos à distância]
Horário: Quartas e sextas-feiras no horário 07h55-10h40 (3 períodos por dia - 6 períodos por semana)
Cópia do material desta página será fornecida também nas plataformas
Google Classroom da UFBA;
Canal do curso no applicativo Telegram: QR code ao lado
Fórum de discussão no aplicativo Telegram (a ser informado antes do início do curso por email).
Endereços para a sala de aula virtual no Google Meet serão fornecidos a cada dia via o grupo de discussão associado ao canal do curso no Telegram (a ser informado antes do início do curso).
Ementa oficial
Expoentes de Lyapunov, Teorema de Oseledets e desigualdade de Ruelle.
Teoria de hiperbolicidade não uniforme (de Pesin) e propriedades de medidas hiperbolicas. Fórmula de Pesin.
Medidas hiperbolicas e Teorema de Katok.
Atratores e medidas físicas.
Ergodicidade do fluxo geodésico em superfícies de curvatura constante negativa.
Assuntos adicionais.
Avaliação
Listas de exercícios (usalmente selecionados nos livros da bibliografia recomendada) e/ou seminários apresentados pelos alunos sobre temas mais avançados relacionados com a ementa do curso -- preferencialmente relacionados com o trabalho de tese dos estudantes.
Conteúdo dos seminários e datas a combinar com o professor e a turma
Bibliografia (o que não for acessível livremente via as hiperligações em cada ítem da lista embutida, será disponibilizado no canal do curso no Telegram)
R Mañé, Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer-Verlag, New-York, 1987 (este livro tem versão em português "Teoria Ergódica", publicada no Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro).
L. Barreira and Y. Pesin. Nonuniform Hyperbolicity. Dynamics of Systems with Nonzero Lyapunov Exponents. Cambridge University Press, 2007 (online 2013) -- esta é uma das principais fontes dos textos do curso.
L. Barreira and Y. Pesin. Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory. University Lecture Series 23, American Mathematical Society, 2001.
A. Katok e B. Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995 (online 2012).
M. Pollicott. Lectures on Ergodic Theory and Pesin Theory on Compact Manifolds. Cambridge University Press, 1993. (prova do Teorema de Oseledets e da Variedade Estável de Pesin em superfícies e consequências)
Keith Burns, Marian Gidea. Differential Geometry and Topology - With a View to Dynamical Systems. Chapman and Hall/CRC, 2005 (prova da hiperbolicidade do fluxo geodésico em variedades de curvatura secional negativa no último capítulo)
F. Przytycki, M. Urbanski. Fractals in the Plane - Ergodic Theory Methods. Cambridge University Press, 2007.
M. Viana. Lecture notes on attractors and physical measures. Monografías del IMCA no 8 IMCA Lima 1999.
M. Viana. Lectures on Lyapunov exponents. Cambridge University Press. 2014.
P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory. Springer-Verlag, 2000.
V. Araújo, Sinks and sources for C1 dynamics whose Lyapunov exponents have constant sign. Osaka J. Math. 57 (2020), no. 4, 751--788. Preprint ArXiV.
V. Araújo, M. J. Pacifico. Three dimensional flows. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Volume 53 (2010) da coleção Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics.
J. Alves, Nonuniformly Hyperbolic Attractors - Geometric and Probabilistic Aspects. Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg. Springer Monographs in Mathematics. 2020.
Provas do Teorema de Oseledets:
Oseledec, V. I. A multiplicative ergodic theorem. Characteristic Ljapunov, exponents of dynamical systems. (Russian) Trudy Moskov. Mat. Obšč. 19 1968 179–210.
M. S. Raghunathan, A proof of Oseledec's multiplicative ergodic theorem, Israel J. Math., 32 (1979), 356-362.
P. Walters, A dynamical proof of the multiplicative ergodic theorem, Transactions of the American Mathematical Society, 335 (1993), 245-257
A. Karlsson , G. A. Margulis. A Multiplicative Ergodic Theorem and Nonpositively Curved Spaces. Commun. Math. Phys. 208, 107 – 123 (1999)
C. González-Tokman, A. Quas. A concise proof of the multiplicative ergodic theorem on Banach spaces. Journal of Modern Dynamics, 9(1):237-255, 2015.
Alex Blumenthal. A volume-based approach to the multiplicative ergodic theorem on Banach spaces. Discrete & Continuous Dynamical Systems. 36(5): 2377-2403, 2016.
Plano de aulas em geral:
(sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula)
Lista completa de vídeos no YouTube
Cada tópico abaixo deve ser coberto num período de cerca de duas semanas
Apresentação dos principais resultados da teoria (e avaliação no curso)
pres-TeoErgDiff.pdf: Apresentação geral dos principais resultados da teoria. Notas de aula.
Videoaulas expositivas do conteúdo:
Expoentes de Lyapunov e o Teorema Ergódico Multiplicativo (de Oseledets) (video 01): https://youtu.be/QHcWmYs2Qiw
Aplicações do Teorema Ergódico Multiplicativo a difeomorfismos (video 02): https://youtu.be/J0tKqK1DxZk
Alguns dos principais resultados da teoria e avaliação do curso por apresentação de artigos (video 03): https://youtu.be/9pAE0QZRQ7c
Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets
pres-TeoErgDiff-Oseledets.pdf: Apresentação e demonstração do Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets, incluindo o caso de cociclos sobre fluxos. Notas de aula.
Videoaulas expositivas do conteúdo:
Teorema de Oseledets - enunciado e alguns exemplos simples (video 04): https://youtu.be/N3mEFhqU1zo
Teorema de Oseledets - início da prova - resultados auxiliares (video 05): https://youtu.be/f98NNMzds9s
Teorema de Oseledets - prova via produtos exteriores - existência de expoentes (video 06): https://youtu.be/XzcU6Ys7JAw
Teorema de Oseledets - prova via produtos exteriores - existência de subespaços invariantes e sua mensurabilidade (video 07): https://youtu.be/n8j78HTFQAU
Regularidade e decaimento subexponencial de ângulos e convergência uniforme de expoente de Lyapunov dentro do seu subespaço (video 08): https://youtu.be/eV-4KrHM_0Y
Transformação de base invertível e decomposição em soma direta em subespaços de Lyapunov/Oseledets (video 09): https://youtu.be/43ug0BGC99E
O Teorema de Oseledets para fluxos (video 10): https://youtu.be/AVkD8Bylw2s
A desigualdade de Ruelle e a Fórmula da Entropia de Pesin
pres-TeoErgDiff-Ruelle.pdf: Relações entre expoentes de Lyapunov e entropia. A desigualdade de Ruelle e a Fórmula da Entropia de Pesin para medidas absolutamente contínuas. Notas de aula.
Videoaulas expositivas do conteúdo:
Enunciados da desigualdade de Ruelle e da Fórmula da Entropia de Pesin e algumas observações (video 11): https://youtu.be/24z4vPuqhvE
Prova da desigualdade de Ruelle (video 12): https://youtu.be/IqXKhbMDK54
Prova da Fórmula da Entropia de Pesin para medidas absolutamente contínuas - segundo Mañé (video 13): https://youtu.be/I563fwt7hec
Prova da Proposição final - resultado técnico chave (video 14): https://youtu.be/AtMzKKRIpDo
Variação Hölder dos subespaços de Oseledets
pres-TeoErgDiff-Holder.pdf: Funções temperadas e normas de Lyapunov adaptadas a cocyclos. Blocos hiperbólicos com medida quase total. Variação Hölder dos subespaços de Oseledets em função do ponto base. Notas de aula.
Videoaulas expositivas do conteúdo:
Normas de Lyapunov adaptadas a cociclos e redução de Oseledets-Pesin (video 15): https://youtu.be/K9x6YlKXvXw
Funções temperadas e Blocos hiperbólicos com medida quase total (video 16): https://youtu.be/FrxnElSYUsA
Variação Hölder dos subespaços de Oseledets/Lyapunov em função do ponto base - enunciados (video 17): https://youtu.be/k7Mvd9CJRls
Prova da dependência Hölder dos subespaços de Oseledets/Lyapunov em função do ponto base (video 18): https://youtu.be/7z6c2rZGlYs
Variedade estável para difeomorfismos não uniformemente parcialmente hiperbólicos
pres-TeoErgDiff-Pesin.pdf: construção de variedade estável para difeomorfismos não uniformemente parcialmente hiperbólicos e extensões desta construção para variedade instável. Vizinhanças regulares. Variedades admissíveis. Transformada de gráfico. Diferenciabilidade e o decrescimento subexponencial do tamanho da variedade estável/instável. Notas de aula.
Videoaulas expositivas do conteúdo:
Hiperbolicidade (parcial) não uniforme e dominação não uniforme (video 19): https://youtu.be/rhtGf4jDhws
Construção de vizinhanças regulares (video 20): https://youtu.be/IfndmoPACUc
Hiperbolicidade parcial não uniforme e a construção de famílias de difeomorfismos uniformemente parcialmente hiperbólicos através de vizinhanças regulares (video 21): https://youtu.be/CIuUZhYxy8w
As variedades estáveis como pontos fixos de uma transformada de gráfico (video 22): https://youtu.be/PZVFlAAsHv4
Unicidade da variedade estável, tamanho da variedade estável/instável - necessidade da condição Hölder na derivada (video 23): https://youtu.be/Ye0yqVVkqd8
A continuidade absoluta da laminação estável - definição (video 24): https://youtu.be/rU-YRAkswwY
Consequências da continuidade absoluta da laminação estável - construção de medidas físicas/SRB e ergodicidade do fluxo geodésico em variedades Riemannianas de curvatura secional estritamente negativa (video 25): https://youtu.be/-ljrYcS-TIo
Prova da continuidade absoluta da laminação estável (video 26): https://youtu.be/EaxWAuzbZy8
A Hölder-continuidade do jacobiano da holonomia estável e da holonomia estável (video 27): https://youtu.be/-lCQ9PhzDM4
Lema do Fecho de Katok e sombreamento não uniformemente hiperbólico
pres-TeoErgDiff-Katok.pdf: medidas hiperbólicas com expoentes positivos e negativos. Lema de Inclinação não uniformemente hiperbólico, Lema do Fecho de Katok e sombreamento não uniformemente hiperbólico, entropia topológica e aproximação por ferraduras. Notas de aula.
Videoaulas expositivas do conteúdo:
Medidas hiperbólicas e Lema da inclinação dentro de um bloco hiperbólico (video 28): https://youtu.be/F0nmS_ZJqkQ
Lema do fechamento dentro de um bloco hiperbólico (video 29): https://youtu.be/gUM_5Zqx6ag
Lema de sombreamento em blocos hiperbólicos e densidade de órbitas periódicas hiperbólicas e pontos homoclínicos transversais no suporte de medidas hiperbólicas (video 30): https://youtu.be/7DhX3N0P6l8
Medidas hiperbólicas - ferraduras, decomposição "espectral" de blocos hiperbólicos e aproximação por órbitas periódicas (video 31): https://youtu.be/yhF9OUBTObg
Medidas hiperbólicas - entropia métrica versus entropia topológica de ferraduras - enunciado (video 32): https://youtu.be/BfsK9m-cw2s
A construção das ferraduras e a aproximação da medida hiperbólica na topologia fraca (video 33): https://youtu.be/o2X8hYKn45o
As ferraduras e a aproximação da entropia métrica (video 34): https://youtu.be/jDnJ9H3adIA
Medidas invariantes com todos os expoentes do mesmo sinal versus poços e fontes
pres-TeoErgDiff-sourcesink.pdf: medidas invariantes com todos os expoentes do mesmo sinal versus poços e fontes, para transformações e fluxos de classe C1, incluindo singularidades. Aplicações da noção de tempos hiperbólicos para transformações e fluxos. Notas de aula.
Videoaulas expositivas do conteúdo:
Trajetórias com todos os expoentes do mesmo sinal versus poços e fontes, para transformações e fluxos de classe C1, incluindo singularidades -- enunciado dos resultados (video 37): https://youtu.be/eBlF3Z5A47w
Prova dos resultados para transformações com expoentes com o mesmo sinal (video 38): https://youtu.be/pkifpBgf850
Prova dos resultados para fluxo C1 com expoentes com o mesmo sinal (video 39): https://youtu.be/AnErsGKgQrM
Existência/construção de medidas físicas/SRB
pres-TeoErgDiff-singhyp.pdf: Existência/construção de medidas físicas/SRB para sumidouros parcialmente hiperbólicos e não uniformemente expansores; para sumidouros hiperbólicos-singulares. Notas de aula.
Videoaulas expositivas do conteúdo:
Construção de medidas físicas/SRB para sumidouros parcialmente hiperbólicos e não uniformemente expansores e para sumidouros hiperbólicos-singulares (video 40): https://youtu.be/sRdBLpNMXJk
Exemplo de ponto não regular de Oseledets em atrator (de Lorenz) e de abertos onde não existem expoentes de Lyapunov.
pres-TeoErgDiff-Lorenz.pdf: exemplo de ponto não regular no atrator geométrico de Lorenz com medida de probabilidade invariante hiperbólica. Exemplo de não existência de expoentes em abertos e qtp com falha da hipótese de integrabilidade. Notas de aula.
Videoaulas expositivas do conteúdo:
Exemplo de ponto não regular no atrator geométrico de Lorenz (video 35): https://youtu.be/0HRB2k_VtTs
Exemplos de não existência de expoentes em abertos; e qtp (com falha da hipótese de integrabilidade); e genericamente (video 36): https://youtu.be/daJImuYSXb4