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Curso de nível de mestrado (nivelamento e seleção).
Período: janeiro e fevereiro de 2006.
Local: ICMC-USP, São Carlos.
Ementa oficial
Ementa oficial
Valores próprios. Operadores diagonalizáveis. Teorema da decomposição primária. Subespaços cíclicos. Teorema da decomposição racional. Forma canônica de Jordan. Produto interno. Teorema espectral. Formas bilineares
Referências Bibliográficas
Referências Bibliográficas
Bueno, H. P.; Álgebra Linear: Um segundo curso. Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, 2006.
Coelho, F. U. e Lourenço, M. L.; Um Curso de Álgebra Linear. Ed. EDUSP, 2001.
Gelfand, I. M.; Lectures on Linear Algebra, Intercience Publishers, New York, 1961.
Hoffman, K. & Kunze, R.; Álgebra Linear. Ed. Polígono, São Paulo, 1971.
Referência complementar:
LIMA, Elon Lages. Álgebra linear. Rio de Janeiro, IMPA, 1996.
Datas das provas
Datas das provas
A ser definido em sala de aula.
Material do curso
Material do curso
Apontamentos da matéria, conteúdo de aulas expositivas e videoaulas seguem abaixo.
O conteúdo das aulas está sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula, junto com vídeos auxiliares descrevendo o material.
Ementa do curso. Bibliografia. Pré-requisitos. Vetores próprios e diagonalização de operadores. Complexificação de operadores.
Ementa do curso. Bibliografia. Pré-requisitos. Vetores próprios e diagonalização de operadores. Complexificação de operadores.
Espera-se que os discentes revejam o material seguinte na primeira semana do curso.
Referências: capítulos 12 e 21 do livro de Elon Lima e exercícios desses mesmos capítulos.
pres-ALinV-autovetores (notas): Ementa do curso. Bibliografia. Pré-requisitos. Vetores próprios e diagonalização de operadores.
Video 01: Ementa do curso. Bibliografia. Pré-requisitos. Vetores próprios e subspaços invariantes de dimensão 1. Exemplos.
Video 02: Polinômios de operador linear e subespaços invariantes de dimensão 1 ou 2.
Video 03: Diagonalização de operadores. Exemplos. Conjugação de operadores e formas canônicas.
pres-ALinV-complexifica (notas): o complexificado de um espaço vetorial real, de um operador linear e seus autovalores complexos.
Video 04: Bases em espaços vetoriais complexos como espaços vetoriais reais. Complexificação de espaço vetorial real. Autovalor complexo de operador de operador real. Intepretação geométrica da ação do operador num autoespaço associado a autovalor complexo.
Polinômio característico e o Teorema de Cayley-Hamilton. O polinômio mínimo e o Teorema da Decomposição Primária.
Polinômio característico e o Teorema de Cayley-Hamilton. O polinômio mínimo e o Teorema da Decomposição Primária.
Espera-se que os discentes estudem o material seguinte na segunda semana do curso.
Referências: capítulo 20 do livro de Elon Lima e exercícios desse mesmo capítulo; junto com seções 5.3 a 5.4 do livro de Coelho-Lourenço e exercício do capítulo 5.
pres-ALinV-CayleyHamilton (notas): Polinômio característico e o Teorema de Cayley-Hamilton. O polinômio mínimo e o Teorema da Decomposição Primária.
Video 05: Teorema de Cayley-Hamilton: cada operador anula seu polinômio característico.
Video 06: Polinômio mínimo versus polinômio característico. Exemplo.
Video 07: Teorema da Decomposição Primária (Teorema de Espectral) e sua demonstração.
Video 08: Multiplicidade geométrica e algébrica de um valor próprio. Polinômio mínimo, polinômio característico e critério de diagonalização de operador. Exemplo.
Vetores cíclicos, matrizes companheiras. Formas Canônicas de Jordan e Racional. Aplicação ao Cálculo Funcional.
Vetores cíclicos, matrizes companheiras. Formas Canônicas de Jordan e Racional. Aplicação ao Cálculo Funcional.
Espera-se que os discentes estudem o material seguinte na terceira e quarta semanas do curso.
Referências: apêndice do livro de Elon Lima, junto com capítulo 7 e apêndice D do livro de Bueno, e exercícios deste capítulo. Para o cálculo funcional, capítulo 6 do livro de Bueno e exercícios deste capítulo.
pres-ALinV-decracional (notas): Vetores cíclicos, matrizes companheiras. Forma Canônica de Jordan. Forma Canônica Racional.
Video 09: Vetores cíclicos, matrizes companheiras. Exemplos.
Video 10: Subespaços cíclicos e polinômio mínimo.
Video 11: Introdução à Forma Canônica de Jordan. Operadores nilpotentes.
Video 12: A Forma Canônica de Jordan. Prova de existência e unicidade. Exemplo.
Video 13: A Forma Canônica de Jordan para operadores reais com autovalores complexos. Exemplos.
Video 14: Forma Canônica Racional. Dedução via Forma Canônica de Jordan. Exemplos.
pres-ALinV-funcional (notas): Aplicações da Forma Canônica de Jordan, polinômio mínimo e Teorema de Cayley-Hamilton: o cálculo funcional - função de operador linear e Teorema do Mapeamento Espectral. Alguns exemplos de aplicação à solução de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares - exponencial de operadores lineares. Funções trigonométricas de operadores lineares.
Video 15:(https://youtu.be/rkDD0IdT7dg) Função de operador linear e Teorema do Mapeamento Espectral.
Video 16: (https://youtu.be/yJImIXY8qLo) Exemplos de aplicação do Cálculo Funcional e Teorema de Mapeamento Espectral.
Os seguintes vídeos são do curso de Equações Diferenciais Ordinárias seguindo exatamente os mesmo texto desta parte do curso de Álgebra Linear:
Video 17 (https://youtu.be/ovaHgJeXffw ): Equações diferenciais lineares - existência de soluções por aproximações sucessivas/recursivas - norma de operador em espaços de operadores lineares e completude - exponencial de um operador linear.
Video 18 ( https://youtu.be/1PVnGmL34_A ): Equações diferenciais lineares - diferenciabilidade e unicidade da solução de uma EDO linear.
Video 19 (https://youtu.be/413Ig5WMEM4 ): Estratégia para calcular explicitamente o exponencial de uma matriz quadrada: a Forma Canônica de Jordan.
Video 20 (https://youtu.be/TQS6qK4jK9M ): Cálculo explícito do exponencial de um operador linear em dimensão finita (casos particulares de sistemas lineares no plano: exponencial de matriz 2x2 - video https://youtu.be/a2vwXnGqbq0 ).
Video 21 : (https://youtu.be/UwP3epNFSbc)Funções trigonométricas de operadores lineares.
PRIMEIRA PROVA
PRIMEIRA PROVA
O conteúdo da primeira prova, no final do primeiro mês do curso, contém os três primeiros tópicos da ementa oficial.
A duração da prova (enviada aos discentes pelo canal do Telegram do curso) é de 02h30m (duas horas e trinta minutos) com 30 (trinta) minutos de tolerância para digitalização das folhas de resposta e submissão online (via formulário digital enviado pelo mesmo meio).
Espaços vetoriais com produto interno
Espaços vetoriais com produto interno
Espera-se que os discentes estudem o material seguinte na quinta e sexta semanas do curso.
Referências: capítulos 10 e 11 do livro de Elon Lima e exercícios destes capítulos.
pres-ALinV-hilbert (notas): Espaços vetoriais com produto interno. Ortogonalidade. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Igualdades do Paralelogramo e de Polarização. Teorema de Representação de Riesz. Adjunto de operador linear.
Video 22: (https://youtu.be/r6uhFnMwiJs) Espaços vetoriais com produto interno. Desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Video 23: (https://youtu.be/N-21PEJdzmo) Identidades de polarização e do paralelogramo. Ortogonalidade.
Video 24: (https://youtu.be/od0LfOdTZNg) Caracterização de ortogalidade. Projeção ortogonal. Ortonormalização.
Video 25 : ( https://youtu.be/QUqK0mwVxzs ) Completamento ortogonal de subespaço.
Video 26: ( https://youtu.be/daDGYAE5m_Q ) Funcionais lineares. Teorema de Representação de Riesz-Frechet.
Video 27: (https://youtu.be/vddQyRwlOFw) Operadores adjuntos. Operadores normais e autoadjuntos.
Video 28: (https://youtu.be/s3vg9J9uw44) Propriedades de operadores adjuntos.
Operadores autoadjuntos, ortogonais e normais
Operadores autoadjuntos, ortogonais e normais
Espera-se que os discentes estudem o material seguinte na sexta e sétima semanas do curso.
Referências: capítulos 13, 14 e 15 do livro de Elon Lima e exercícios destes capítulos.
pres-ALinV-autoadjuntos (notas): Operadores autoadjuntos. Diagonalização de operadores autoadjuntos (Teorema Espectral). Operadores positivos. Raízes quadradas. Decomposição em valores singulares.
Video 29: (https://youtu.be/KQcTPG-ZckI) Operadores autoadjuntos e diagonalização (Teorema Espectral).
Video 30: (https://youtu.be/_JvSp3BaNnE) Operadores positivos. Raízes quadradas.
Video 31: (https://youtu.be/lyE232osIG0) Decomposição em valores singulares. Diagonalização generalizada.
pres-ALinV-normais (notas): Operadores ortogonais. Decomposição polar. Operadores normais e sua diagonalização.
Video 32: (https://youtu.be/VnQ0dkFTCYI) Operadores ortogonais. Decomposição polar.
Video 33: (https://youtu.be/0cWmcjvg5hE) Operadores normais e sua diagonalização (Teorema Espectral para operadores normais).
Formas quadráticas. Classificação de quádricas.
Formas quadráticas. Classificação de quádricas.
Espera-se que os discentes estudem o material seguinte na sétima e oitava semanas do curso.
Referências: capítulo 18 do livro de Elon Lima e exercícios deste capítulo.
pres-ALinV-quadraticas (notas): Formas bilineares. Representação de Formas Bilineares. Formas quadráticas. Teorema de Lagrange e Lei da Inércia. Classificação de superfícies quádricas.
Video 34: (https://youtu.be/xQniwackpds) Formas bilineares. Representação de Formas Bilineares.
Video 35: (https://youtu.be/nk1ncZikJhs) Formas quadráticas. Teorema de Lagrange e Lei da Inércia.
Video 36: (https://youtu.be/ftI7x2pfgN0) Classificação de superfícies quádricas.
Videos do curso de Geometria Analítica sobre "seções cônicas no plano" e "seções cônicas no espaço tridimensional, superfícies de revolução e cilíndricas".
SEGUNDA PROVA
SEGUNDA PROVA
O conteúdo da segunda prova, no final do curso, contém todos tópicos da ementa oficial, focando nos tópicos apresentados depois da primeira prova.
A duração da prova (enviada aos discentes pelo canal do Telegram do curso) é de 02h30m (duas horas e trinta minutos) com 30 (trinta) minutos de tolerância para digitalização das folhas de resposta e submissão online (via formulário digital enviado pelo mesmo meio).
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