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Código: MAT513/MATD13 (escolaridade 102h/semestre)
AVISO: aulas começam quarta-feira dia 10 de janeiro/2018 e não haverá aulas no intervalo de 02 a 16 de fevereiro 2018 (cobrindo o dia de Iemanjá e os festejos de Carnaval em Salvador).
Local e horário
Sala 13 da PG nas Terças, Quartas, Quintas e Sextas-feiras;
(possívelmente segunda-feira também na Sala 13 se necessário)
das 08h50 às 10h40 e das 10h40 às 12h30.
Ementa
Espaços vetoriais normados. Espaços de Banach. Espaço quociente.
Operadores lineares e seus adjuntos. Teorema de Hahn-Banach. Teorema da limitação uniforme. Teorema do gráfico fechado. Teorema da aplicação aberta.
Topologia fraca. Teorema de Banach-Alaoglu. Espaços reflexivos.
Espaços de Hilbert. Conjuntos ortonormais. Teorema da representação de Riesz.
Operadores compactos. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos.
Álgebras de Banach e C*.
Data das provas
Primeira prova (P1): segunda-feira, 29 de janeiro, 2018. (Esta será também uma das provas do processo seletivo para ingresso na UFBA no Programa de Doutorado em Matemática UFBA/IUFAL em 2018.1)
Segunda prova (P2): quinta-feira, 01 de março, 2018.
Avaliação:
Haverá duas provas, P1 e P2, cujas notas serão somadas para obter a nota final com os seguintes pesos
40% primeira prova escrita;
60% segunda prova escrita.
Referências:
Referências:
Clássicas
BACHMAN, G. e NARICI, L.. - Functional Analysis. New York, Academic Press, 1966.
Brezis, H. Analyse Functionnelle – Théorie et applications. DUNOD, 1999. Paris.
CONWAY, A Course on Functional Analysis (2nd. ed.), Springer-Verlag. 1990. New-York.
DUNFORD, N. e SCHWARTZ, J. - Linear Operators, Vol. 1, Wiley Interscience. New York, 1964. (Este é enciclopedico, só pra consulta)
KREYSZIG, Erwin. Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley. New York, 1978.
MACCLUER, Barbara. Elementary Functional Analysis, Springer-Verlag, 2009
REED, M. e SIMON, B. - Methods of Modern Mathematical Physics, vol. I. New York, Academic Press, 1972.
RIESZ, F. e NAGY, B. - Functional Analysis. New York, Frederick Ungar, 1955.
O livro que vou seguir mais de perto (especialmente para a lista de exercícios) não é um texto consagrado como estes:
César Oliveira, Introdução à Análise Funcional, IMPA, Colóquio Brasileiro de Matemática, Rio de Janeiro, 2014.
Outro mais recente e muito bom é
Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino, Eduardo Teixeira, Fundamentos de Análise Funcional, SBM, Coleção Textos Universitários, Rio de Janeiro, 2014.
Textos complementares:
Introdução de noções topológicas do ponto de vista de aplicações à Análise e ao estudo de espaços de Banach: cobre a primeira parte do curso de Analise Funcional.
Chaim Samuel Honig. Aplicações da Topologia à Análise. (3º Colóquio Brasileiro de Matemática, em 1961). Versão expandida do mesmo título na coleção Projeto Euclides, IMPA, 1976. E versão de 2012 na Coleção Textos Universitários do IME-USP. (Nota: também se encontra à venda na amazon.com.br)
Texto com conteúdo próximo do curso de Análise Funcional, do 6º Colóquio Brasileiro de Matemática, em 1967
Pedro Nowosad. Introdução à Análise Funcional.
Um texto mais antigo mas muito bem feito e perfeitamente atual é o conteúdo deste curso do 8º Colóquio Brasileiro de Matemática, em 1971:
Chaim Samuel Hönig, Análise Funcional e o Problema de Sturm-Liouville.
Um texto recente que descreve aplicações desta teoria na resolução de equações diferencias ordinárias e parciais, do Colóquio de Matemática da Região Sul, 2012, está escrito de maneira muito acessível (ver por exemplo o último capítulo):
Albo Carlos Cavalheiro, O Problema de Sturm-Liouville
Plano de aulas em geral:(sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula)
pres-analfunc-intro: Introdução, motivação. Normas equivalentes, compacidade e dimensão. Completamento de espaços normados. NOTAS DE AULA.
pres-analfunc-fundamentais: Teorema de Hahn-Banach e alguns corolários. Teorema da Limitação Uniforme. Teorema da Aplicação Aberta. Teorema do Gráfico Fechado. Exemplos de aplicação. Suplementar topológico e complemento ortogonal. NOTAS DE AULA.
pres-analfunc-limitacaouniforme: prova elementar do Teorema da Limitação Uniforme (sem usar o Teorema de Baire). NOTAS DE AULA.
pres-analfunc-adjunto: Topologia fraca. Espaços Reflexivos. Adjunto de um operador. NOTAS DE AULA.
pres-analfunc-hilbert: espaços de Hilbert. Lema de Schwarz. Completamento de subespaços e ortogonalidade. Teorema de Riesz. Reflexividade. Operador adjunto de Hilbert. Famílias ortogonais e bases ortonormais em espaços de Hilbert. NOTAS DE AULA.
pres-analfun-compactos: Operadores Compactos em espaços de Banach. Propriedades. Exemplos. Operadores compactos em espaços de Hilbert. Alternativa de Fredholm. Espectro de operadorescompactos em espaços de Banach. Teorema Espectral para Operadores Compactos autoadjuntos em espaços de Hilbert. NOTAS DE AULA.
pres-analfunc-SVDcompactos: Decomposição em Valores Singulares de aplicações lineares compactas entre espaços de Hilbert como aplicação do Teorema Espectral para Operadores Compactos autoadjuntos. Extensão do Teorema Espectral para Operadores Compactos Normais em espaços de Hilbert. NOTAS DE AULA.
pres-analfunc-algebras: Álgebras de Banach, álgebras C*. Espectro. Analiticidade do resolvente. Caracterização de álgebras de Banach unitárias invertíveis: o Teorema de Gelfand-Mazur. NOTAS DE AULA.
Aulas filmadas do curso de Análise Funcional no IMPA lecionadas por Marcelo Viana.
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