Plano de aulas de Análise Funcional
Apresentação do curso: motivação. Análise Funcional como Álgebra Linear em Dimensão Infinita. Diferenças gerais com Álgebra Linear em dimensão finita. Normas equivalentes. Lema de Riesz, compacidade e dimensão.
Completamento de espaços normados.
Exemplos de aplicação de completamento de espaços normados. já conhecidos de Análise. Outros exemplos que evidenciam a generalidade do processo de completamento.
Espaços Separáveis. Operadores Lineares.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Operações em Espaços de Banach: Soma Direta e Espaço Quociente.
Operadores Limitados e Espaço Dual. O Teorema do Ponto Fixo de Banach.
O Teorema do Ponto Fixo parametrizado: o ponto fixo depende diferenciavelmente dos parâmetros se a taxa de contração for uniforme.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Teorema de Baire e o Princípio da Limitação Uniforme.
O Teorema da Aplicação Aberta e o Teorema do Gráfico Fechado.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Teorema de Hahn-Banach: Lema de Max Zorn.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Demonstração do Teorema de Hahn-Banach.
O adjunto de um operador.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Convergência e Topologias Fracas.
Exemplos de aplicação e exercícios.
O Teorema de Alaoglu.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Espaços Reflexivos e Compacidade.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Primeira prova.
Espaços de Hilbert: Produto Interno; Ortogonalidade. Bases Ortonormais.
Projeção Ortogonal e Lei do Paralelogramo. Representação de Riesz em H.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Adjunto de Hilbert e Lax-Milgram. Operadores Auto-Adjuntos.
Séries de Fourier. Integração em Espaços de Hilbert.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Operadores Compactos. Operadores Compactos no Espaço de Hilbert. Operadores de Hilbert-Schmidt.
Espectro. Classificação Espectral.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Espectro de operadores Auto-Adjuntos.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Espectro de Operadores Compactos e Normais.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Álgebras de Banach e C*.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Resultados sobre o espectro dos elementos de uma álgebra de Banach com unidade.
Teorema de Gelfand-Mazur: toda álgebra de Banach unitária cujos elementos não nulos são invertíveis é isometricamente isomorfa ao corpo dos números complexos.
Exemplos de aplicação e exercícios.
O Teorema de Mapeamento Espectral e a Fórmula do Raio Espectral.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Ideais e *-homomorfismos de de álgebras de Banach.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Álgebras de Banach comutativas. A transformação de Gelfand.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Transformação de Gelfand e *-isomorfismos isométricos entre álgebra C* comutativa com identidade e o espaço de funções contínuas sobre os *-homomorfismos.
Exemplos de aplicação e exercícios.
Segunda prova.