Teoria Ergódica (2018.2)

Código: MATD31 (Carga didática: 102h)

Local e horário

Sala 14 na Pós-Graduação (no edifício do IM-UFBA (térreo)).

Horário da aula:

Segunda-feira 08h50-12h30.

Quarta-feira 08h50-10h40.

Avaliação:

• 30% listas de exercícios (para entregar no dia da segunda prova);

• 30% primeira prova: apresentação oral;

• 40% segunda prova escrita.

Provas

Primeira Prova: apresentação oral de tema do curso.

Segunda Prova: SEGUNDA-FEIRA, dia 03 de dezembro de 2018.

Ementa

Medidas Invariantes; exemplos. Teorema de recorrência de Poincaré.

Existência de medidas invariantes para transformações contínuas.

Teorema ergódico de Birkhoff e aplicações. Transformações ergódicas e mixing. Shifts. Automorfismos e translações do toro.

Teorema da decomposição ergódica de medidas invariantes.

Entropia métrica e topológica. Transformações expansoras.

Exemplos e enunciados sobre medidas SBR, atratores ergódicos, princípio variacional, desigualdade de Ruelle e fórmula de Pesin.

Referências

BOWEN, R.; Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. Springer-Verlag, Berlin, 1975.

CRAIZER, M.; Entropia das Funções Internas. IMPA, Rio de Janeiro, 1989.

KATOK, A. & HASSELBLATT, B.; Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995. com tradução para português:

KATOK, A. & HASSELBLATT, B.; A Moderna Teoria dos Sistemas Dinâmicos. Fundação Calouste Gulbenkian. 2005.

MAÑÉ, R.; Teoria Ergódica. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1983.

WALTERS, P.; An Introduction to Ergodic Theory. Springer Verlag, 1982.

Uma referência muito útil será:

OLIVEIRA, K & VIANA, M. Fundamentos de Teoria Ergódica (versão preliminar do livro). 2014.

Alguns arquivos com material útil ao curso podem ser encontrados aqui.

Notas do curso:

Aqui podem encontrar arquivos pdf das apresentações e notas de aula com o principal conteúdo do curso, divididos aproximadamente nos seguinte assuntos:

• 1. pres-teoerg-intro: (notas) Medidas Invariantes; exemplos; apresentação de alguns resultados motivadores.

  2. pres-teoerg-recPoincare: (notas) Teorema de recorrência de Poincaré.

  3. pres-teoerg-existmedinv: (notas) Existência de probabilidades invariantes, mais exemplos.

  4. pres-teoerg-Birkhoff: Teorema Ergódico (de von Neumann e Birkhoff). Ergodicidade. Teorema Ergódico Subaditivo. Notas.

  5. pres-teoerg-unicidade: (notas) Transformações unicamente ergódicas. Exemplos. Propriedades. Estudo dos homeomorfismos do círculo.

  6. pres-teoerg-decomposicao: (notas) Fluxo suspensão, aplicações induzidas, versões em tempo contínuo de alguns resultados. Decomposição ergódica.

  7. pres-teoerg-correlacoes: (notas) Sistemas (fracamente) misturadores. Exemplos. Decaimento de correlações. 

  8. pres-teoerg-entropia: (notas) Entropia métrica. Exemplos. Teorema de Kolmogorov-Sinai, Brin-Katok, Shannon-Mcmillan-Breiman.

  9. pres-teoerg-variacional: (notas) Entropia topológica. Exemplos. Princípio variacional. Menção da Pressão Topológica e seu Princípio Variacional e a noção de estado de equilíbrio.

  10. pres-Teoerg-expansoras: (notas) Transformações expansoras, unicidade de medida invariante absolutamente contínua, medida física/SRB.

Plano de aulas em pormenor.

Lista de exercícios (para entregar durante a segunda prova escrita):

Questões sobre dinâmica de homeomorfismos do círculo:

• Mostre que se F e G=F+k são dois levantamentos do mesmo homeomorfismo f do círculo, onde k é um número inteiro relativo, então o número de rotação de F e o de G tem uma diferennça de k. Conclua que o número de rotação de f não depende do levantamento usado para o seu cálculo. Mostre ainda que existe único levantamento de f cujo número de rotação está no intervalo [0,1).

• Mostre que se f é um homeomorfismo que inverte a orientação, então o número de rotação de f2 é zero.

• Suponha que f tem número de rotação racional. Mostre que:

  • se f tem exatamente uma órbita periódica, então toda órbita não periódica tem ômega-limite e alfa-limite igual à órbita periódica;

  • se f tem mais que uma órbita periódica, então toda órbita não periódica é tem ômega-limite igual a uma órbita periódica, e alfa-limite igual a uma órbita periódica distinta.

Exercícios do livro Oliveira-Viana:

• Sobre o Teorema de Recorrência: exercícios 1.2.2, 1.2.3 e 1.2.5.

• Sobre exemplos de medidas invariantes e algumas propriedades: exercícios 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.3.9, 1.3.10, 1.4.2

• Sobre existência de medidas invariantes e ergodicidade: 2.2.1, 2.2.2, 2.2.4, 4.1.1 e 4.1.3 (apenas (e))

• Sobre Teorema Ergódico (de von Neumann e Birkhoff): 3.1.1 a 3.1.5; 3.2.1 a 3.2.7; 4.3.7, 4.3.8, 4.3.9

• Sobre grupos topológicos: 6.3.3, 6.3.7

• Sobre sistemas (fracamente) misturadores: 7.1.2, 7.1.4, 7.1.5

• Sobre equivalência ergódica: 8.1.1, 8.1.2, 8.1.3

• Sobre entropia métrica: 9.1.1, 9.1.3, 9.1.4, 9.2.1, 9.2.2