Teoria Ergódica Diferencial (2014.1)
Código MAT555 (Carga didática: 102h)
Local e horário
Sala 15 da Pós-Graduação (no edifício do IM-UFBA (térreo)).
Seg-Qua-Sex das 15h00 às 17h00.
Ementa
Expoentes de Lyapunov, Teorema de Oseledets e desigualdade de Ruelle.
Teoria de hiperbolicidade não uniforme (de Pesin) e propriedades de medidas hiperbolicas. Fórmula de Pesin.
Medidas hiperbolicas e Teorema de Katok.
Atratores e medidas físicas.
Ergodicidade do fluxo geodésico em superfícies de curvatura constante negativa.
Assuntos adicionais.
Avaliação
Listas de exercícios e/ou seminários apresentados pelos alunos sobre temas mais avançados relacionados com a ementa do curso.
Plano de aulas em geral:(sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula, nesta página)
pres-TeoErgDiff.pdf: Apresentação geral dos principais resultados da teoria.
pres-TeoErgDiff-Oseledets.pdf: Apresentação e demonstração do Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets, incluindo o caso de cociclos sobre fluxos.
pres-TeoErgDiff-Ruelle.pdf: Relações entre expoentes de Lyapunov e entropia. A desigualdade de Ruelle e a Fórmula da Entropia de Pesin para medidas absolutamente contínuas.
pres-TeoErgDiff-Holder.pdf: Funções temperadas e normas de Lyapunov adaptadas a cocyclos. Blocos hiperbólicos com medida quase total. Variação Hölder dos subespaços de Oseledets em função do ponto base.
pres-TeoErgDiff-Pesin.pdf: construção de variedade estável para difeomorfismos não uniformemente parcialmente hiperbólicos e extensões desta construção para variedade instável. Vizinhanças regulares. Variedades admissíveis. Transformada de gráfico. Diferenciabilidade e o decrescimento subexponencial do tamanho da variedade estável/instável.
pres-TeoErgDiff-Lorenz.pdf: apresentação de exemplo de ponto não regular em atrator com medida de probabilidade invariante hiperbólica, dado pelo atrator geométrico de Lorenz. Apresentamos construção resumida do fluxo que gera este atrator e da medida invariante hiperbólica nele suportada; e ainda a construção explícita (via um algoritmo) de um ponto que não admite qualquer variedade instável e, portanto, é não regular para toda probabilidade invariante suportada neste atrator.
pres-TeoErgDiff-Katok.pdf: medidas hiperbólicas, Lema de Inclinação não uniformemente hiperbólico, Lema do Fecho de Katok, sombreamente não uniformemente hiperbólico, entropia topológica e aproximação por ferraduras.
Bibliografia
R Mañé, Ergodic Theory and Differentiable Dynamics Springer-Verlag, New-York, 1987 (este livro tem versão em português "Teoria Ergódica", publicada no Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro).
A. Katok e B. Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge, 1995.
P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory. Springer-Verlag, 2000.
L. Barreira and Y. Pesin: Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory. University Lecture Series 23, American Mathematical Society, 2001.
F. Przytycki, M. Urbanski, Fractals in the Plane - the Ergodic Theory Methods, Cambridge University Press, 2007.
M. Viana, Lecture notes on attractors and physical measures Monografías del IMCA no 8 IMCA Lima 1999
A. Karlsson , G. A. Margulis, A Multiplicative Ergodic Theorem and Nonpositively Curved Spaces. Commun. Math. Phys. 208, 107 – 123 (1999)