Teoria Ergódica (2022.2)

Código: MATD31 (Carga didática: 102h)

Local e horário

Horário (presencial): TER-QUI 07h00-09h45

Sala: 15 (da PG, IME-UFBA)

Início do curso: a partir de 22 de agosto, 2022.

Na semana de 14-20/agosto será realizado no IME-UFBA o Encontro conjunto Brasil-Portugal em matemática

Esta turma terá

canal no applicativo Telegram : QR code ao lado
e respectivo grupo de discussão no applicativo Telegram (a ser informado antes do início do curso por email).

Avaliação

60%: lista de exercícios (para entregar até ao final do curso);
40%: apresentação oral (assuntos sugeridos); ou prova escrita.

Ementa oficial:

Medidas Invariantes; exemplos. Teorema de recorrência de Poincaré.
Existência de medidas invariantes para transformações contínuas.
Teorema ergódico de Birkhoff e aplicações. Transformações ergódicas e mixing. Shifts. Automorfismos e translações do toro.
Teorema da decomposição ergódica de medidas invariantes.
Entropia métrica e topológica. Transformações expansoras.
Exemplos e enunciados sobre medidas SBR, atratores ergódicos, princípio variacional, desigualdade de Ruelle e fórmula de Pesin.

Referências bibliográficas

REFERÊNCIA PRINCIPAL: OLIVEIRA, K & VIANA, M. Fundamentos de Teoria Ergódica. Coleção Fronteiras da Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática. 2019.
BOWEN, R.; Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. Springer-Verlag, Berlin, 1975.
CRAIZER, M.; Entropia das Funções Internas. IMPA, Rio de Janeiro, 1989.
KATOK, A. & HASSELBLATT, B.; Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995. com tradução para português:
KATOK, A. & HASSELBLATT, B.; A Moderna Teoria dos Sistemas Dinâmicos. Fundação Calouste Gulbenkian. 2005.
MAÑÉ, R.; Teoria Ergódica. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1983.
WALTERS, P.; An Introduction to Ergodic Theory. Springer Verlag, 1982.

Material do Curso

Lista de exercícios

Alguns arquivos com material útil complementar ao curso podem ser encontrados aqui.

Lista completa de vídeos no Youtube.

Abaixo indico o plano de aulas em geral: (sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula, com vídeos auxiliares descrevendo o material)

Cada um dos ítens abaixo deve ser coberto num período entre uma e duas semanas, aproximadamente.

Apresentação do curso

pres-teoerg-intro: (notas) Medidas Invariantes; exemplos; apresentação de alguns resultados motivadores.
- Video 01: Introdução ao curso com alguma história e motivação (https://youtu.be/BC7pWjniLKE)

Teorema de recorrência de Poincaré

pres-teoerg-recPoincare: (notas) Teorema de recorrência de Poincaré.
- Video 02: Transporte de medidas e medidas invariantes. Exemplos. [https://youtu.be/Uhg8xAzpnIQ]
- Video 03: Enunciado do Teorema de Recorrência de Poincaré e exemplos de aplicação [ https://youtu.be/g5dRV_F5CnA ]
- Video 04: Prova do Teorema de Recorrência de Poincaré, na versão mensurável e topológica [ https://youtu.be/oyzJUSEP3KY ]
- Video 05: Exemplos de transformações com medidas invariantes: bx (mod1), rotações do círculo e sistemas conservativos [ https://youtu.be/_sSRL4aqk4M ]
- Video 06: Os deslocamentos e a medida de Bernoulli [ https://youtu.be/jlGTq0FEcw0 ]
- Video 07: A Transformação de Gauss e a medida de Gauss [ https://youtu.be/7zIEGl-HZ-Y ]
- Video 08: Rotações no círculo e em toros [ https://youtu.be/tCmOuWzP2yk ]
- Video 09: Transformações de primeiro retorno (induzidas) [ https://youtu.be/ltv7M2XpBlI ]
- Video 10: Indução de medidas invariantes [ https://youtu.be/0Tq4YS8iJkQ ]
- Video 11: A transformação de Manneville-Pomeau e a transformação de primeiro retorno a um cilíndro [ https://youtu.be/H_ZTMcWJKFg ]

Existência de probabilidades invariantes e exemplos.

pres-teoerg-existmedinv: (notas) Existência de probabilidades invariantes, mais exemplos. Ergodicidade de uma medida. Algumas propriedades de medidas ergódicas e exemplos.
- Video 12: Enunciados do Teorema de Existência de Probabilidades Invariantes em espaços topológicos compactos e em espaços separáveis e completos para transformações e fluxos contínuos. Contra-exemplos se hipóteses forem retiradas. [ https://youtu.be/Y4pQNXAfCrs ]
- Video 13: A topologica fraca* no espaço das medidas de probabilidade borelianas sobre um espaço topológico (localmente) compacto. [ https://youtu.be/VaB3dXIvyG0 ]
- Video 14: Prova do Teorema de Existência de Probabilidades Invariantes em espaços topológicos compactos para transformações e fluxos contínuos.. Teorema de Recorrência de Birkhoff. [ https://youtu.be/0CGEgcHcFTw ]
- Video 15: Prova do Teorema de (Oxtoby-Ulam) Existência de Probabilidades Invariantes em espaços separáveis e completos para transformações e fluxos contínuos. [ https://youtu.be/0UgzaYAUYnc ]
- Video 16: Ergodicidade de uma medida. Propriedades de medidas de probabilidade ergódicas. [ https://youtu.be/nRhxodg4x24 ]
- Video 17: Medidas ergódicas como extremos do conjunto das probabilidades invariantes. Medidas ergódicas distintas e partição da dinâmica [ https://youtu.be/BmVzuaNbXrc ]
- Video 18: Teorema de Decomposição Ergódica para transformações contínuas em espaços compactos: a decomposição de probabilidades invariantes em combinação de probabilidades ergódicas. [ https://youtu.be/sFMj5Zun5y0 ]
- Video 19: Exemplo de probabilidades invariantes ergódicas: a medida de Lebesgue na transformação da expansão decimal. Números balanceados e números normais. Teorema de Borel sobre números normais. [ https://youtu.be/8VinlC8BrIE ]
- Video 20: Exemplo de probabilidades invariantes ergódicas: a medida de Bernoulli nos deslocamentos de Bernoulli. [ https://youtu.be/FPeglBGnO18 ]
- Video 21: Exemplo de probabilidades invariantes ergódicas: a medida de Lebesgue para a rotação irracional do círculo. [ https://youtu.be/A4H4AjPpUAI ]
- Video 22: Exemplo de probabilidades invariantes ergódicas: a medida de Gauss para a transformação de Gauss. [ https://youtu.be/DiQC-bXbydA ]
- Video 23: Exemplo de probabilidades invariantes ergódicas: ergodicidade dos endomorfismos lineares do toro. [ https://youtu.be/hHIL9OiHAO4 ]

Teorema Ergódico

pres-teoerg-Birkhoff: (notas)Teorema Ergódico (de von Neumann e Birkhoff). Ergodicidade. Teorema Ergódico Subaditivo.
- Video 24: Frequência assintótica de visitas a um subconjunto e o Teorema Ergódico. Teorema Ergódico de von Neumann. [ https://youtu.be/A7pAftgnKK0 ]
- Video 25: Enunciado do Teorema Ergódico de Birkhoff. Pontos genéricos e históricos. Consequência para medidas ergódicas. [ https://youtu.be/D_4g7xnAZww ]
- Video 26: Teorema Ergódico de Birkhoff e condições equivalentes de ergodicidade. [ https://youtu.be/3aFh4Kqq4jc ]
- Video 27: Não existência de médias temporais em conjuntos de pontos de medida de Lebesgue positiva: exemplo de Bowen [ https://youtu.be/o5vaBdkrGSA ]
- Video 28: O Teorema Ergódico Subaditivo de Kingman - enunciado e consequências para o Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets [ https://youtu.be/I8J7ac-JTq8 ]
- Video 29: Prova do Teorema Ergódico Subaditivo de Kingman [ https://youtu.be/ckanGfS4phA ]
- Video 30: Prova do Teorema Ergódico de Birkhoff via o Teorema Ergódico Maximal [ https://youtu.be/D3OzoVpVHQk ]

Transformações unicamente ergódicas. Homeomorfismos do círculo.

pres-teoerg-unicidade: (notas) Transformações unicamente ergódicas. Exemplos. Propriedades. Estudo dos homeomorfismos do círculo.
- Video 31: Transformações unicamente ergódicas. Exemplos. Propriedades [ https://youtu.be/Yyi1-OD4dyQ ]

Aplicações induzidas e fluxos suspensão. Decomposição Ergódica.

pres-teoerg-decomposicao: (notas) Fluxo suspensão, aplicações induzidas, versões em tempo contínuo de alguns resultados. Decomposição ergódica.
- Video 32: Fluxo suspensão de uma transformação sobre uma função altura [ https://youtu.be/tOjopvq88ss ]
- Video 33: Fluxo suspensão e aplicações induzidas de primeiro retorno [ https://youtu.be/na9qoG7DYto ]
- Video 34: Decomposição ergódica para transformações mensuráveis [ https://youtu.be/n5NqCe9yCxY ]
- Video 35: Partições mensuráveis e desintegração de medidas [ https://youtu.be/RRIomN6lEYE ]

Mistura. Mistura fraca. Decaimento de correlações.

pres-teoerg-correlacoes: (notas) Sistemas (fracamente) misturadores. Exemplos. Decaimento de correlações.
- Video 36: Decaimento de correlações e sistemas misturadores [ https://youtu.be/R9uXEh7YkD8 ]
- Video 37: Versões topológicas de ergodicidade e mistura [ https://youtu.be/VtsTdjqRCp4 ]
- Video 38: Sistemas fracamente misturadores [ https://youtu.be/t9xRvLjOFro ]
- Video 39: Caracterização espectral de ergodicidade e mistura fraca [ https://youtu.be/9qQQVrmF2eA ]
- Video 40: Deslocamentos (shifts) de Markov [ https://youtu.be/LHtOCaabLyw ]
- Video 41: Ergodicidade de Deslocamentos (shifts) de Markov [ https://youtu.be/e8mlWU1x8kc ]
- Video 42: Mistura de Deslocamentos (shifts) de Markov [ https://youtu.be/3q6Tk94_bL8 ]

Entropia métrica.

pres-teoerg-entropia: (notas) Entropia métrica. Exemplos. Teorema de Kolmogorov-Sinai, Brin-Katok, Shannon-Mcmillan-Breiman.
- Video 43: Equivalência ergódica, exemplos e propriedades [ https://youtu.be/_WZ4Nx9DxJo ]
- Video 44: Informação e entropia de um canal de comunicação [ https://youtu.be/FggsskDjups ]
- Video 45: Partições e entropia de Kolmogorov-Sinai [ https://youtu.be/N1jfBhyUknM ]
- Video 46: Entropia Condicional, propriedades e entropia de transformação que preserva medida [ https://youtu.be/5F93nZts6Ow ]
- Video 47: Exemplo de cálculo de entropia e propriedades da função entropia [ https://youtu.be/ibBF7FqOYv0 ]
- Video 48: Partições geradoras e o Teorema de Kolmogorov-Sinai [ https://youtu.be/zdW91EYs3eQ ]
- Video 49: Partições geradoras em espaços métricos e invariância da entropia por equivalência ergódica [ https://youtu.be/Va5gTVU4yd8 ]
- Video 50: Semicontinuidade da entropia como função da medida [ https://youtu.be/Z88_yxAV8ug ]
- Video 51: Expansividade, medida de máxima entropia e homeomorfismos expansivos [ https://youtu.be/Pj0b9CNuxOE ]
- Video 52: Entropia local e o Teorema de Shannon-Mcmillam-Breiman [ https://youtu.be/RzkHIpKFuVA ]
- Video 53: Entropia local em espaços métricos, bolas dinâmicas e o Teorema de Brin-Katok. Entropia para transformações de retorno: Teorema de Abramov para transformações e fluxos suspensão. Aplicação ao cálculo da entropia de vários sistemas [ https://youtu.be/lf5slvOnIu0 ]
- Video 54: Decomposição ergódica e decomposição da entropia: o Teorema de Jacobs [ https://youtu.be/56ux-SFQVdA ]

Entropia Topológica

pres-teoerg-variacional: (notas) Entropia topológica. Exemplos. Princípio variacional. Menção da Pressão Topológica e seu Princípio Variacional e a noção de estado de equilíbrio.
- Video 55: Entropia topológica de transformações contínuas em espaços métricos compactos via coberturas abertas [ https://youtu.be/7Tog24Y6BOs ]
- Video 56: Propriedades da entropia topológica - invariância por conjugação; princípio variacional e consequências [ https://youtu.be/tExKYu9lI7Y ]
- Video 57: Entropia topológica e "coberturas geradoras". Exemplos de cálculo de entropia topológica - deslocamentos de Bernoulli e entropia topológica infinita [ https://youtu.be/Z5NxE5IrCPw ]
- Video 58: Entropia topológica em espaços sigma-compactos via conjuntos separados/geradores [ https://youtu.be/azMWW7i8lao ]
- Video 59: Cálculo de entropia topológica e a taxa de crescimento do número de órbitas periódicas - traslações em grupos compactos; os deslocamentos de Markov e a transformação de Gauss [ https://youtu.be/dcDTB7vFCyU ]
- Video 60: Deslocamento com entropia topológica dada e exemplo de transformação sem medida de máxima entropia [ https://youtu.be/nvLhZeY7YxA ]
- Video 61: Medidas de máxima entropia para deslocamentos [ https://youtu.be/UcH03-5Oll8 ]
- Video 62: Entropia topológica para fluxo. Princípio Variacional para a Pressão Topológica e Estados de Equilíbrio [ https://youtu.be/gO-D_YIs-DU ]

Transformações expansoras. Medida invariante absolutamente contínua.

pres-Teoerg-expansoras: (notas) Transformações expansoras, unicidade de medida invariante absolutamente contínua, medida física/SRB.
- Video 63: Transformações expansoras em variedades compactas e existência de medida de probabilidade invariante absolutamente contínua, ergódica e única. Enunciado do resultado. Ramos inversos contrativos. [ https://youtu.be/T315ZJkaizo ]
- Video 64: Distorção limitada para ramos inversos de uma transformação expansora e existência de medida invariante absolutamente contínua [ https://youtu.be/beuoGPQg1iQ ]
- Video 65: Coberturas e partições de Markov, codificação da dinâmica de transformações expansoras em variedades, e quase exatidão topológica [ https://youtu.be/PezUwTTW2EY ]
- Video 66: Exatidão topológica, ergodicidade e unicidade da medida absolutamente contínua. A necessidade da distorção limitada [ https://youtu.be/477z820gVU0 ]

Avaliação discente (para os discentes avaliarem o professor)

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