Teoria Ergódica (2022.2)
Código: MATD31 (Carga didática: 102h)
Local e horário
Horário (presencial): TER-QUI 07h00-09h45
Sala: 15 (da PG, IME-UFBA)
Início do curso: a partir de 22 de agosto, 2022.
Na semana de 14-20/agosto será realizado no IME-UFBA o Encontro conjunto Brasil-Portugal em matemática
Esta turma terá
canal no applicativo Telegram : QR code ao lado
e respectivo grupo de discussão no applicativo Telegram (a ser informado antes do início do curso por email).
Avaliação
60%: lista de exercícios (para entregar até ao final do curso);
40%: apresentação oral (assuntos sugeridos); ou prova escrita.
Ementa oficial:
Medidas Invariantes; exemplos. Teorema de recorrência de Poincaré.
Existência de medidas invariantes para transformações contínuas.
Teorema ergódico de Birkhoff e aplicações. Transformações ergódicas e mixing. Shifts. Automorfismos e translações do toro.
Teorema da decomposição ergódica de medidas invariantes.
Entropia métrica e topológica. Transformações expansoras.
Exemplos e enunciados sobre medidas SBR, atratores ergódicos, princípio variacional, desigualdade de Ruelle e fórmula de Pesin.
Referências bibliográficas
REFERÊNCIA PRINCIPAL: OLIVEIRA, K & VIANA, M. Fundamentos de Teoria Ergódica. Coleção Fronteiras da Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática. 2019.
BOWEN, R.; Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. Springer-Verlag, Berlin, 1975.
CRAIZER, M.; Entropia das Funções Internas. IMPA, Rio de Janeiro, 1989.
KATOK, A. & HASSELBLATT, B.; Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995. com tradução para português:
KATOK, A. & HASSELBLATT, B.; A Moderna Teoria dos Sistemas Dinâmicos. Fundação Calouste Gulbenkian. 2005.
MAÑÉ, R.; Teoria Ergódica. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1983.
WALTERS, P.; An Introduction to Ergodic Theory. Springer Verlag, 1982.
Material do Curso
Alguns arquivos com material útil complementar ao curso podem ser encontrados aqui.
Lista completa de vídeos no Youtube.
Abaixo indico o plano de aulas em geral: (sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula, com vídeos auxiliares descrevendo o material)
Cada um dos ítens abaixo deve ser coberto num período entre uma e duas semanas, aproximadamente.
Apresentação do curso
pres-teoerg-intro: (notas) Medidas Invariantes; exemplos; apresentação de alguns resultados motivadores.
Video 01: Introdução ao curso com alguma história e motivação (https://youtu.be/BC7pWjniLKE)
Teorema de recorrência de Poincaré
pres-teoerg-recPoincare: (notas) Teorema de recorrência de Poincaré.
Video 02: Transporte de medidas e medidas invariantes. Exemplos. [https://youtu.be/Uhg8xAzpnIQ]
Video 03: Enunciado do Teorema de Recorrência de Poincaré e exemplos de aplicação [ https://youtu.be/g5dRV_F5CnA ]
Video 04: Prova do Teorema de Recorrência de Poincaré, na versão mensurável e topológica [ https://youtu.be/oyzJUSEP3KY ]
Video 05: Exemplos de transformações com medidas invariantes: bx (mod1), rotações do círculo e sistemas conservativos [ https://youtu.be/_sSRL4aqk4M ]
Video 06: Os deslocamentos e a medida de Bernoulli [ https://youtu.be/jlGTq0FEcw0 ]
Video 07: A Transformação de Gauss e a medida de Gauss [ https://youtu.be/7zIEGl-HZ-Y ]
Video 08: Rotações no círculo e em toros [ https://youtu.be/tCmOuWzP2yk ]
Video 09: Transformações de primeiro retorno (induzidas) [ https://youtu.be/ltv7M2XpBlI ]
Video 10: Indução de medidas invariantes [ https://youtu.be/0Tq4YS8iJkQ ]
Video 11: A transformação de Manneville-Pomeau e a transformação de primeiro retorno a um cilíndro [ https://youtu.be/H_ZTMcWJKFg ]
Existência de probabilidades invariantes e exemplos.
pres-teoerg-existmedinv: (notas) Existência de probabilidades invariantes, mais exemplos. Ergodicidade de uma medida. Algumas propriedades de medidas ergódicas e exemplos.
Video 12: Enunciados do Teorema de Existência de Probabilidades Invariantes em espaços topológicos compactos e em espaços separáveis e completos para transformações e fluxos contínuos. Contra-exemplos se hipóteses forem retiradas. [ https://youtu.be/Y4pQNXAfCrs ]
Video 13: A topologica fraca* no espaço das medidas de probabilidade borelianas sobre um espaço topológico (localmente) compacto. [ https://youtu.be/VaB3dXIvyG0 ]
Video 14: Prova do Teorema de Existência de Probabilidades Invariantes em espaços topológicos compactos para transformações e fluxos contínuos.. Teorema de Recorrência de Birkhoff. [ https://youtu.be/0CGEgcHcFTw ]
Video 15: Prova do Teorema de (Oxtoby-Ulam) Existência de Probabilidades Invariantes em espaços separáveis e completos para transformações e fluxos contínuos. [ https://youtu.be/0UgzaYAUYnc ]
Video 16: Ergodicidade de uma medida. Propriedades de medidas de probabilidade ergódicas. [ https://youtu.be/nRhxodg4x24 ]
Video 17: Medidas ergódicas como extremos do conjunto das probabilidades invariantes. Medidas ergódicas distintas e partição da dinâmica [ https://youtu.be/BmVzuaNbXrc ]
Video 18: Teorema de Decomposição Ergódica para transformações contínuas em espaços compactos: a decomposição de probabilidades invariantes em combinação de probabilidades ergódicas. [ https://youtu.be/sFMj5Zun5y0 ]
Video 19: Exemplo de probabilidades invariantes ergódicas: a medida de Lebesgue na transformação da expansão decimal. Números balanceados e números normais. Teorema de Borel sobre números normais. [ https://youtu.be/8VinlC8BrIE ]
Video 20: Exemplo de probabilidades invariantes ergódicas: a medida de Bernoulli nos deslocamentos de Bernoulli. [ https://youtu.be/FPeglBGnO18 ]
Video 21: Exemplo de probabilidades invariantes ergódicas: a medida de Lebesgue para a rotação irracional do círculo. [ https://youtu.be/A4H4AjPpUAI ]
Video 22: Exemplo de probabilidades invariantes ergódicas: a medida de Gauss para a transformação de Gauss. [ https://youtu.be/DiQC-bXbydA ]
Video 23: Exemplo de probabilidades invariantes ergódicas: ergodicidade dos endomorfismos lineares do toro. [ https://youtu.be/hHIL9OiHAO4 ]
Teorema Ergódico
pres-teoerg-Birkhoff: (notas)Teorema Ergódico (de von Neumann e Birkhoff). Ergodicidade. Teorema Ergódico Subaditivo.
Video 24: Frequência assintótica de visitas a um subconjunto e o Teorema Ergódico. Teorema Ergódico de von Neumann. [ https://youtu.be/A7pAftgnKK0 ]
Video 25: Enunciado do Teorema Ergódico de Birkhoff. Pontos genéricos e históricos. Consequência para medidas ergódicas. [ https://youtu.be/D_4g7xnAZww ]
Video 26: Teorema Ergódico de Birkhoff e condições equivalentes de ergodicidade. [ https://youtu.be/3aFh4Kqq4jc ]
Video 27: Não existência de médias temporais em conjuntos de pontos de medida de Lebesgue positiva: exemplo de Bowen [ https://youtu.be/o5vaBdkrGSA ]
Video 28: O Teorema Ergódico Subaditivo de Kingman - enunciado e consequências para o Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets [ https://youtu.be/I8J7ac-JTq8 ]
Video 29: Prova do Teorema Ergódico Subaditivo de Kingman [ https://youtu.be/ckanGfS4phA ]
Video 30: Prova do Teorema Ergódico de Birkhoff via o Teorema Ergódico Maximal [ https://youtu.be/D3OzoVpVHQk ]
Transformações unicamente ergódicas. Homeomorfismos do círculo.
pres-teoerg-unicidade: (notas) Transformações unicamente ergódicas. Exemplos. Propriedades. Estudo dos homeomorfismos do círculo.
Video 31: Transformações unicamente ergódicas. Exemplos. Propriedades [ https://youtu.be/Yyi1-OD4dyQ ]
Aplicações induzidas e fluxos suspensão. Decomposição Ergódica.
pres-teoerg-decomposicao: (notas) Fluxo suspensão, aplicações induzidas, versões em tempo contínuo de alguns resultados. Decomposição ergódica.
Video 32: Fluxo suspensão de uma transformação sobre uma função altura [ https://youtu.be/tOjopvq88ss ]
Video 33: Fluxo suspensão e aplicações induzidas de primeiro retorno [ https://youtu.be/na9qoG7DYto ]
Video 34: Decomposição ergódica para transformações mensuráveis [ https://youtu.be/n5NqCe9yCxY ]
Video 35: Partições mensuráveis e desintegração de medidas [ https://youtu.be/RRIomN6lEYE ]
Mistura. Mistura fraca. Decaimento de correlações.
pres-teoerg-correlacoes: (notas) Sistemas (fracamente) misturadores. Exemplos. Decaimento de correlações.
Video 36: Decaimento de correlações e sistemas misturadores [ https://youtu.be/R9uXEh7YkD8 ]
Video 37: Versões topológicas de ergodicidade e mistura [ https://youtu.be/VtsTdjqRCp4 ]
Video 38: Sistemas fracamente misturadores [ https://youtu.be/t9xRvLjOFro ]
Video 39: Caracterização espectral de ergodicidade e mistura fraca [ https://youtu.be/9qQQVrmF2eA ]
Video 40: Deslocamentos (shifts) de Markov [ https://youtu.be/LHtOCaabLyw ]
Video 41: Ergodicidade de Deslocamentos (shifts) de Markov [ https://youtu.be/e8mlWU1x8kc ]
Video 42: Mistura de Deslocamentos (shifts) de Markov [ https://youtu.be/3q6Tk94_bL8 ]
Entropia métrica.
pres-teoerg-entropia: (notas) Entropia métrica. Exemplos. Teorema de Kolmogorov-Sinai, Brin-Katok, Shannon-Mcmillan-Breiman.
Video 43: Equivalência ergódica, exemplos e propriedades [ https://youtu.be/_WZ4Nx9DxJo ]
Video 44: Informação e entropia de um canal de comunicação [ https://youtu.be/FggsskDjups ]
Video 45: Partições e entropia de Kolmogorov-Sinai [ https://youtu.be/N1jfBhyUknM ]
Video 46: Entropia Condicional, propriedades e entropia de transformação que preserva medida [ https://youtu.be/5F93nZts6Ow ]
Video 47: Exemplo de cálculo de entropia e propriedades da função entropia [ https://youtu.be/ibBF7FqOYv0 ]
Video 48: Partições geradoras e o Teorema de Kolmogorov-Sinai [ https://youtu.be/zdW91EYs3eQ ]
Video 49: Partições geradoras em espaços métricos e invariância da entropia por equivalência ergódica [ https://youtu.be/Va5gTVU4yd8 ]
Video 50: Semicontinuidade da entropia como função da medida [ https://youtu.be/Z88_yxAV8ug ]
Video 51: Expansividade, medida de máxima entropia e homeomorfismos expansivos [ https://youtu.be/Pj0b9CNuxOE ]
Video 52: Entropia local e o Teorema de Shannon-Mcmillam-Breiman [ https://youtu.be/RzkHIpKFuVA ]
Video 53: Entropia local em espaços métricos, bolas dinâmicas e o Teorema de Brin-Katok. Entropia para transformações de retorno: Teorema de Abramov para transformações e fluxos suspensão. Aplicação ao cálculo da entropia de vários sistemas [ https://youtu.be/lf5slvOnIu0 ]
Video 54: Decomposição ergódica e decomposição da entropia: o Teorema de Jacobs [ https://youtu.be/56ux-SFQVdA ]
Entropia Topológica
pres-teoerg-variacional: (notas) Entropia topológica. Exemplos. Princípio variacional. Menção da Pressão Topológica e seu Princípio Variacional e a noção de estado de equilíbrio.
Video 55: Entropia topológica de transformações contínuas em espaços métricos compactos via coberturas abertas [ https://youtu.be/7Tog24Y6BOs ]
Video 56: Propriedades da entropia topológica - invariância por conjugação; princípio variacional e consequências [ https://youtu.be/tExKYu9lI7Y ]
Video 57: Entropia topológica e "coberturas geradoras". Exemplos de cálculo de entropia topológica - deslocamentos de Bernoulli e entropia topológica infinita [ https://youtu.be/Z5NxE5IrCPw ]
Video 58: Entropia topológica em espaços sigma-compactos via conjuntos separados/geradores [ https://youtu.be/azMWW7i8lao ]
Video 59: Cálculo de entropia topológica e a taxa de crescimento do número de órbitas periódicas - traslações em grupos compactos; os deslocamentos de Markov e a transformação de Gauss [ https://youtu.be/dcDTB7vFCyU ]
Video 60: Deslocamento com entropia topológica dada e exemplo de transformação sem medida de máxima entropia [ https://youtu.be/nvLhZeY7YxA ]
Video 61: Medidas de máxima entropia para deslocamentos [ https://youtu.be/UcH03-5Oll8 ]
Video 62: Entropia topológica para fluxo. Princípio Variacional para a Pressão Topológica e Estados de Equilíbrio [ https://youtu.be/gO-D_YIs-DU ]
Transformações expansoras. Medida invariante absolutamente contínua.
pres-Teoerg-expansoras: (notas) Transformações expansoras, unicidade de medida invariante absolutamente contínua, medida física/SRB.
Video 63: Transformações expansoras em variedades compactas e existência de medida de probabilidade invariante absolutamente contínua, ergódica e única. Enunciado do resultado. Ramos inversos contrativos. [ https://youtu.be/T315ZJkaizo ]
Video 64: Distorção limitada para ramos inversos de uma transformação expansora e existência de medida invariante absolutamente contínua [ https://youtu.be/beuoGPQg1iQ ]
Video 65: Coberturas e partições de Markov, codificação da dinâmica de transformações expansoras em variedades, e quase exatidão topológica [ https://youtu.be/PezUwTTW2EY ]
Video 66: Exatidão topológica, ergodicidade e unicidade da medida absolutamente contínua. A necessidade da distorção limitada [ https://youtu.be/477z820gVU0 ]