Teoria Ergodica Diferencial (2019.2)

Código MATE51 (Doutorado em Matemática/Carga didática: 102h)

Local e horário

Sala 15 da Pós-Graduação (no edifício do IM-UFBA (térreo)).

Horário: Terças e quintas-feiras no horário 17h35-20h20

Ementa

1. Expoentes de Lyapunov, Teorema de Oseledets e desigualdade de Ruelle.

2. Teoria de hiperbolicidade não uniforme (de Pesin) e propriedades de medidas hiperbolicas. Fórmula de Pesin.

3. Medidas hiperbolicas e Teorema de Katok.

4. Atratores e medidas físicas.

5. Ergodicidade do fluxo geodésico em superfícies de curvatura constante negativa.

6. Assuntos adicionais.

Avaliação

• Listas de exercícios e/ou seminários apresentados pelos alunos sobre temas mais avançados relacionados com a ementa do curso.

Plano de aulas em geral: (sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula)

• • pres-TeoErgDiff.pdf: Apresentação geral dos principais resultados da teoria. Notas de aula.

  • pres-TeoErgDiff-Oseledets.pdf: Apresentação e demonstração do Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets, incluindo o caso de cociclos sobre fluxos. Notas de aula.

  • pres-TeoErgDiff-Ruelle.pdf: Relações entre expoentes de Lyapunov e entropia. A desigualdade de Ruelle e a Fórmula da Entropia de Pesin para medidas absolutamente contínuas. Notas de aula.

  • pres-TeoErgDiff-Holder.pdf: Funções temperadas e normas de Lyapunov adaptadas a cocyclos. Blocos hiperbólicos com medida quase total. Variação Hölder dos subespaços de Oseledets em função do ponto base. Notas de aula.

  • pres-TeoErgDiff-sourcesink.pdf: medidas invariantes com todos os expoentes do mesmo sinal versus poços e fontes, para transformações e fluxos de classe C1, incluindo singularidades. Aplicações da noção de tempos hiperbólicos para transformações e fluxos. Aditividade de certos cociclos subaditivos. Notas de aula.

  • pres-TeoErgDiff-Pesin.pdf: construção de variedade estável para difeomorfismos não uniformemente parcialmente hiperbólicos e extensões desta construção para variedade instável. Vizinhanças regulares. Variedades admissíveis. Transformada de gráfico. Diferenciabilidade e o decrescimento subexponencial do tamanho da variedade estável/instável. Notas de aula.

  • pres-TeoErgDiff-Lorenz.pdf: apresentação de exemplo de ponto não regular em atrator com medida de probabilidade invariante hiperbólica, dado pelo atrator geométrico de Lorenz. Apresentamos construção resumida do fluxo que gera este atrator e da medida invariante hiperbólica nele suportada; e ainda a construção explícita (via um algoritmo) de um ponto que não admite qualquer variedade instável e, portanto, é não regular para toda probabilidade invariante suportada neste atrator. Notas de aula.

  • pres-TeoErgDiff-Katok.pdf: medidas hiperbólicas com expoentes positivos e negativos. Lema de Inclinação não uniformemente hiperbólico, Lema do Fecho de Katok, sombreamente não uniformemente hiperbólico, entropia topológica e aproximação por ferraduras. Notas de aula.

  • pres-TeoErgDiff-singhyp.pdf: Existência/construção de medidas físicas/SRB para sumidouros parcialmente hiperbólicos e não uniformemente expansores; para sumidouros hiperbólicos-singulares. Notas de aula.

Bibliografia

• R Mañé, Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer-Verlag, New-York, 1987 (este livro tem versão em português "Teoria Ergódica", publicada no Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro).

• M. Pollicott. Lectures on Ergodic Theory and Pesin Theory on Compact Manifolds. Cambridge University Press, 1993.

• A. Katok e B. Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995 (online 2012).

• P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory. Springer-Verlag, 2000.

• L. Barreira and Y. Pesin. Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory. University Lecture Series 23, American Mathematical Society, 2001.

• L. Barreira and Y. Pesin.Nonuniform Hyperbolicity. Dynamics of Systems with Nonzero Lyapunov Exponents.

  • Cambridge University Press, 2007 (online 2013).

• F. Przytycki, M. Urbanski. Fractals in the Plane - Ergodic Theory Methods. Cambridge University Press, 2007.

• M. Viana. Lecture notes on attractors and physical measures. Monografías del IMCA no 8 IMCA Lima 1999.

• M. Viana. Lectures on Lyapunov exponents.

  • Cambridge University Press. 2014.

• A. Karlsson , G. A. Margulis. A Multiplicative Ergodic Theorem and Nonpositively Curved Spaces. Commun. Math. Phys. 208, 107 – 123 (1999)

• V. Araújo, M. J. Pacifico. Three dimensional flows.Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Volume 53 (2010) da coleção  Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics.WWW.

• V. Araújo,Sinks and sources for C1 dynamics whose Lyapunov exponents have constant sign. ArXiV.