Teoria Ergodica Diferencial (2019.2)
Código MATE51 (Doutorado em Matemática/Carga didática: 102h)
Local e horário
Sala 15 da Pós-Graduação (no edifício do IM-UFBA (térreo)).
Horário: Terças e quintas-feiras no horário 17h35-20h20
Ementa
Expoentes de Lyapunov, Teorema de Oseledets e desigualdade de Ruelle.
Teoria de hiperbolicidade não uniforme (de Pesin) e propriedades de medidas hiperbolicas. Fórmula de Pesin.
Medidas hiperbolicas e Teorema de Katok.
Atratores e medidas físicas.
Ergodicidade do fluxo geodésico em superfícies de curvatura constante negativa.
Assuntos adicionais.
Avaliação
Listas de exercícios e/ou seminários apresentados pelos alunos sobre temas mais avançados relacionados com a ementa do curso.
Plano de aulas em geral: (sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula)
pres-TeoErgDiff.pdf: Apresentação geral dos principais resultados da teoria. Notas de aula.
pres-TeoErgDiff-Oseledets.pdf: Apresentação e demonstração do Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets, incluindo o caso de cociclos sobre fluxos. Notas de aula.
pres-TeoErgDiff-Ruelle.pdf: Relações entre expoentes de Lyapunov e entropia. A desigualdade de Ruelle e a Fórmula da Entropia de Pesin para medidas absolutamente contínuas. Notas de aula.
pres-TeoErgDiff-Holder.pdf: Funções temperadas e normas de Lyapunov adaptadas a cocyclos. Blocos hiperbólicos com medida quase total. Variação Hölder dos subespaços de Oseledets em função do ponto base. Notas de aula.
pres-TeoErgDiff-sourcesink.pdf: medidas invariantes com todos os expoentes do mesmo sinal versus poços e fontes, para transformações e fluxos de classe C1, incluindo singularidades. Aplicações da noção de tempos hiperbólicos para transformações e fluxos. Aditividade de certos cociclos subaditivos. Notas de aula.
pres-TeoErgDiff-Pesin.pdf: construção de variedade estável para difeomorfismos não uniformemente parcialmente hiperbólicos e extensões desta construção para variedade instável. Vizinhanças regulares. Variedades admissíveis. Transformada de gráfico. Diferenciabilidade e o decrescimento subexponencial do tamanho da variedade estável/instável. Notas de aula.
pres-TeoErgDiff-Lorenz.pdf: apresentação de exemplo de ponto não regular em atrator com medida de probabilidade invariante hiperbólica, dado pelo atrator geométrico de Lorenz. Apresentamos construção resumida do fluxo que gera este atrator e da medida invariante hiperbólica nele suportada; e ainda a construção explícita (via um algoritmo) de um ponto que não admite qualquer variedade instável e, portanto, é não regular para toda probabilidade invariante suportada neste atrator. Notas de aula.
pres-TeoErgDiff-Katok.pdf: medidas hiperbólicas com expoentes positivos e negativos. Lema de Inclinação não uniformemente hiperbólico, Lema do Fecho de Katok, sombreamente não uniformemente hiperbólico, entropia topológica e aproximação por ferraduras. Notas de aula.
pres-TeoErgDiff-singhyp.pdf: Existência/construção de medidas físicas/SRB para sumidouros parcialmente hiperbólicos e não uniformemente expansores; para sumidouros hiperbólicos-singulares. Notas de aula.
Bibliografia
R Mañé, Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer-Verlag, New-York, 1987 (este livro tem versão em português "Teoria Ergódica", publicada no Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro).
M. Pollicott. Lectures on Ergodic Theory and Pesin Theory on Compact Manifolds. Cambridge University Press, 1993.
A. Katok e B. Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995 (online 2012).
P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory. Springer-Verlag, 2000.
L. Barreira and Y. Pesin. Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory. University Lecture Series 23, American Mathematical Society, 2001.
L. Barreira and Y. Pesin.Nonuniform Hyperbolicity. Dynamics of Systems with Nonzero Lyapunov Exponents.
Cambridge University Press, 2007 (online 2013).
F. Przytycki, M. Urbanski. Fractals in the Plane - Ergodic Theory Methods. Cambridge University Press, 2007.
M. Viana. Lecture notes on attractors and physical measures. Monografías del IMCA no 8 IMCA Lima 1999.
M. Viana. Lectures on Lyapunov exponents.
Cambridge University Press. 2014.
A. Karlsson , G. A. Margulis. A Multiplicative Ergodic Theorem and Nonpositively Curved Spaces. Commun. Math. Phys. 208, 107 – 123 (1999)
V. Araújo, M. J. Pacifico. Three dimensional flows.Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Volume 53 (2010) da coleção Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics.WWW.
V. Araújo,Sinks and sources for C1 dynamics whose Lyapunov exponents have constant sign. ArXiV.