Equações Diferenciais Ordinárias (2024.2)

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte na primeira semana do curso.

Referências: Capítulos 0 e I do livro Doering-Lopes (e exercícios inclusos)

• • pres-EDO-a (notas) : Apresentação e exemplos (este arquivo é visto mais corretamente no Adobe Acrobat Reader).

  • Videoaulas expositivas dos apontamentos apresentados acima:

    • Apresentação - definição de EDO e de solução de EDO. Equações diferenciais separáveis (video 01: https://youtu.be/RQTGw_3XO7c)

    • Equações lineares na reta. Equações vetoriais/escalares. Equação do movimento do pêndulo (video 02: https://youtu.be/Kc9FcDve5zI)

    • Aproximações - séries de potências; linearização. Condições iniciais e de fronteira (de contorno) (video 03: https://youtu.be/WNCoFcjGLJs)

    • Conservação de energia no modelo do pêndulo - consequências para o estudo das trajetórias. (video 04: https://youtu.be/uxr_um__Ylg )

    • O pêndulo na história da ciência. Organização geral do curso. (video 05: https://youtu.be/S4uMcIMEOYE )

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte nas quatro primeiras semanas do curso.

Referências: Capítulos III do livro de Sotomayor e Seção 3.1 de Doering-Lopes (e exercícios inclusos)

• • pres-EDO-b (notas) : Equações diferenciais lineares, não autônomas e não homogêneas. Existência e unicidade. Fluxo linear.

  • Videoaulas expositivas dos apontamentos apresentados acima:

    • Equações diferenciais lineares - existência de soluções por aproximações sucessivas/recursivas - norma de operador em espaços de operadores lineares e completude - exponencial de um operador linear (video 06: https://youtu.be/ovaHgJeXffw )

    • Equações diferenciais lineares - diferenciabilidade e unicidade da solução de uma EDO linear (video 07: https://youtu.be/1PVnGmL34_A )

    • Existência e unicidade de soluções para equações diferenciais lineares não autônomas (video 08: https://youtu.be/STD4lX49HNk  )

    • Aplicações de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais lineares não autônomas: redução de ordem de equações diferenciais lineares na reta e Teorema Fundamental da Geometria Diferencial das Curvas no Espaço (video 09: https://youtu.be/_yebEMNRZxA )

    • Propriedades das soluções das equações diferenciais (não autônomas) lineares ( video 10: https://youtu.be/91E4N-Sgtag )

    • Soluções de equações diferenciais lineares (não autônomas) não homogêneas versus homogêneas (video 11: https://youtu.be/obQPuC5L7MI )

    • Determinante de solução de equação diferencial linear não autônoma homogênea - Fórmula de Liouville (video 12: https://youtu.be/8qeIPS6DtjM )

    • Soluções de equações diferenciais lineares (não autônomas) homogêneas com coeficientes periódicos: Teorema de Floquet  (video 13: https://youtu.be/s_NaXpPGfC8 )

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a quinta e a sétima semanas do curso.

Referências: Capítulos 1-3 do livro Doering-Lopes (e exercícios inclusos)

• • pres-EDO-c (notas) : Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, Forma Canônica de Jordan, fluxos lineares no plano, fluxo linear hiperbólico, conjugação entre fluxos lineares, abertura e densidade de fluxos lineares hiperbólicos entre os fluxos lineares.

  • Videoaulas expositivas dos apontamentos apresentados acima:

    • Estratégia para calcular explicitamente o exponencial de uma matriz quadrada: a Forma Canônica de Jordan  (video 14: https://youtu.be/413Ig5WMEM4 )

    • Cálculo explícito do exponencial de um operador linear em dimensão finita (video 15: https://youtu.be/TQS6qK4jK9M )

    • Estudo dos casos particulares de sistemas lineares no plano: exponencial de matriz 2x2  (video 16: https://youtu.be/a2vwXnGqbq0 )

    • Estudo do comportamento de sistemas lineares via espectro do operador linear: caracterização de poço e fonte linear (video 17: https://youtu.be/eoxHwmHX6HI )

    • Comportamento de sistemas lineares hiperbólicos (video 18: https://youtu.be/A5wftbsH_3Q )

    • Conjugação entre sistemas lineares: caracterização de poço linear e de fonte linear (video 19: https://youtu.be/eAEiD8nICN8 )

    • Conjugação entre sistemas lineares hiperbólicos (video 20: https://youtu.be/j_LncWKshyc )

    • Campos lineares típicos são hiperbólicos: abertura e densidade de campos lineares hiperbólicos entre todos os campos lineares (video 21: https://youtu.be/sAQXd9NyIfI )

    • Comportamento de sistemas lineares periódicos via monodromia (video 22: https://youtu.be/Kkkr8qwU1WY )

    • Soluções periódicas não triviais de sistemas lineares periódicos não homogêneos (video 23: https://youtu.be/qJtQ34iOdmY )

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a oitava e a décima primeira semanas do curso.

Referências: Capítulo VI do livro de Sotomayor e Capítulo 10 de Doering-Lopes (e exercícios inclusos)

• • pres-EDO-d (notas) : Existência, Unicidade, Diferenciabilidade de Soluções para E.D.O. geral de primeira ordem.

  • Videoaulas expositivas dos apontamentos apresentados acima:

    • Teorema de Existência e Unicidade de Soluções para Equações Diferenciais Ordinárias - Teorema de Picard  (video 24: https://youtu.be/QSqbjqJJi_Q )

    • Teorema do Ponto Fixo para Contrações em Espaços Métricos Completos (video 25 : https://youtu.be/gY4a3D15_xM )

    • Teorema de Existência de Soluções com dados continuos - Teorema de Peano (video 26: https://youtu.be/2LQKwFJZVHI  )

    • Extensão de soluções - Soluções Máximas e propriedades  (video 27:  https://youtu.be/DqO588NwJIs  )

    • Existência de solução para todo tempo real - condição suficiente para fluxo completo  (video 28 :  https://youtu.be/-9HnhvxFGw4 )

    • Variação contínua da solução em relação à condição inicial e parâmetros   (video 29:  https://youtu.be/8XH4ba9aXXs )

    • Lema de Gronwall - variação Lipschitz da solução em relação à condição inicial  (video 30 : https://youtu.be/XEdamTOsjxU )

    • Diferenciabilidade de soluções em relação a condições iniciais e parâmetros - A equação linear variacional   (video 31: https://youtu.be/YNvMqcDbE4U)

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a décima segunda e décima quarta semanas do curso.

Referências: Capítulo VII do livro de Sotomayor e Capítulos 4 e 6 do livro Doering-Lopes (e exercícios inclusos)

• • pres-EDO-e (notas) : Introdução à Teoria Qualitativa: fluxo de um campo de vetores, fluxo tubular, conjuntos-limite, órbitas periódicas, seções transversais e Teorema de Poincaré-Bendixson.

  • Videoaulas expositivas dos apontamentos apresentados acima:

    • Equações diferenciais ordinárias autônomas; fluxo de campo de vetores; singularidades; órbitas periódicas; pontos regulares (video 32 :  https://youtu.be/mTnfjRK8vxw  )

    • Conjugação (local) de fluxos; mudança de coordendas de campos e conjugação; preservação de singularidades e órbitas periódicas (video 33: https://youtu.be/uxFxN8TpARA )

    • Exemplo de campos arbitrariamente próximos mas não conjugados (video 34: https://youtu.be/2GR_Wpax_Sk )

    • O Teorema do Fluxo Tubular - comportamento de soluções de um campo de vetores numa vizinhança de um ponto regular (video 35 : https://youtu.be/8GNIJM5Iu1U )

    • Equivalência topológica de fluxos -- todo campo localmente Lipschitz é topologicamente equivalente a um campo completo no mesmo espaço (video 36:  https://youtu.be/aWdfGbb_ehY )

    • Conjuntos Limites (alfa- e ômega-limite) e suas propriedades (video 37: https://youtu.be/fYdjNiHLWBs )

    • Seções transversais e transformações de retorno de Poincaré (video 38:  https://youtu.be/ulVMhVtr348 )

    • Propriedades das transformações de retorno de Poincaré (video 39: https://youtu.be/7OQNulSqQvU  )

    • Transformações de retorno de Poincaré para campos planares (video 40: https://youtu.be/1Bvjc0BCfTg )

    • Teorema de Poincaré-Bendixson - conjuntos-limite de campos planares (video 41 : https://youtu.be/vrzd-jbukBQ )

    • Aplicações do Teorema de Poincaré-Bendixson (video 42 :  https://youtu.be/nXnOmOcXtPc )

    • Teorema de Peixoto sobre estabilidade estrutural de campos em superfícies (video 43: https://youtu.be/GgqFnYU0Vjk )

  • pres-EDO-g-Pol (notas):  A equação de Van der Pol - extensão do Teorema de Poincaré-Bendixson com condições que garantem unicidade do ciclo limite.  (video 44: https://youtu.be/uKXb28qqIA4  )

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a décima quinta e décima sétima semanas do curso.

Referências: Capítulo IX do livro de Sotomayor (e exercícios inclusos)

• • pres-EDO-f (notas): Linearização de singularidades hiperbólicas: o Teorema de Hartman-Grobman para transformações e para campos. Aplicação a órbitas periódicas hiperbólicas de campos de vetores diferenciáveis. O Teorema da Variedade Estável para singularidades e órbitas periódicas hiperbólicas.

  • Videoaulas expositivas dos apontamentos apresentados acima:

    • Linearização de singularidades hiperbólicas: o Teorema de Hartman-Grobman para campos; a variedade estável/instável de uma singularidade hiperbólica (video 45 : https://youtu.be/yr-gfQysvrI)

    • Persistência e estabilidade de singularidades hiperbólicas para campos de vetores (video 46 : https://youtu.be/sQRxItHfNDA)

    • Prova do Teorema de Hartman-Grobman para campos via versão para difeomorfismos (video 47 : https://youtu.be/YRGfRBgFXTA)

    • Hartman-Grobman aplicado a órbitas periódicas hiperbólicas de campos de vetores (video 48 : https://youtu.be/tYrrV5Fbmy4)

• Caos no Sistema Solar -- Atalhos no Sistema Solar revelados pela Dinâmica Hiperbólica. Semana Temática de Sistemas Dinâmicos, Programa de Verão do Programa de Pós-Graduação em Matemática 2021, Instituto de Matemática e Estatística da UBFA, 26.01.2021. Apresentação: pdf / odp. Vídeo.

• pres-EDO-Lorenz (notas) : Sobre o atrator de Lorenz. Um pouco de história e do significado deste sistema de equações diferencias para a Teoria das Equações Diferenciais Ordinárias; propriedades simples; propriedades fundamentais para a compreensão da dinâmica do fluxo no atrator; construção do modelo geométrico das equações de Lorenz.
  Referências: Livro "Three dimensional flows" de Araújo-Pacífico: Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Volume 53 (2010) da coleção Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics.