La dimostrazione per assurdo
Data pubblicazione: 18-feb-2016 15.25.46
L'enunciato Tutti i puffi sono blu.
ha lo stesso significato dell'enunciato
Se non è blu, allora non può essere un puffo.
In linguaggio matematico, si dice che i due enunciati rappresentano la stessa proposizione, ossia sono equivalenti.
Se il primo è vero, allora è vero anche il secondo. Viceversa, se è falso, allora è falso anche il secondo.
Spesso, è più facile dimostrare il secondo enunciato rispetto al primo: ipotizzo che il personaggio non sia blu (negando la tesi del primo enunciato) e faccio vedere che non è un puffo (negando l'ipotesi del primo enunciato).
La dimostrazione per assurdo, si fa dimostrando che la negazione della tesi implica la negazione dell'ipotesi.
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Proposizione: tutti i punti nel quadrato sono anche nel cerchio.
Vogliamo riformulare la frase parlando dei punti FUORI dal quadrato e di quelli FUORI dal cerchio.
La frase diventa
Tutti i punti che sono FUORI dal cerchio sono anche FUORI dal quadrato.
Questi due enunciati hanno lo STESSO significato (cioè rappresentano la STESSA proposizione).
Quindi dimostrando che vale il secondo, dimostriamo che vale anche il primo.
Dimostrare un teorema per assurdo vuol dire dimostrare direttamente il secondo enunciato:
SE nego la tesi, ALLORA viene negata l'ipotesi.
Ad esempio:
Teorema: Siano n e m interi. SE n è dispari, ALLORA n/m≠2
Dimostrazione per assurdo
=
dimostrazione di SE n/m = 2 ALLORA n non è dispari.
n/m=2
implica
n=2 m
implica
n/2 = m intero
cioè
n è pari.