Il secondo criterio di congruenza dei triangoli

Data pubblicazione: 24-apr-2016 13.05.41

Il primo criterio di congruenza dei triangoli implica il seguente

Teorema: secondo criterio di congruenza

Se due triangoli hanno due angoli e il lato tra essi compreso rispettivamente congruenti, allora sono congruenti

Dimostrazione:

Per assurdo: supponiamo che non sia vero che i triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti, pur avendo l'angolo in A congruente all'angolo in A', il lato AB congruenete al lato A'B' e l'angolo B congruente all'angolo in B'.

• Avremmo due possibilità: o AC è congruente ad A'C' oppure no.
  1. Ma se AC è congruente ad A'C', il primo criterio di congruenza ci porta subito ad un assurdo perché i due triangoli non sarebbero congruenti pur avendo due lati e l'angolo tra essi compreso congruenti.
  2. Altrimenti, sulla semiretta che delimita l'angolo in A' e che non contiene B', costruiamo (ci è permesso dal postulato 8) un segmento A'D' congruente ad AC. Se AC fosse non congruente ad A'C',
     • Il punto C' sarebbe o interno oppure esterno all'angolo A'B'D' (perché B' e C' individuano una semiretta per il postulato 1 e stiamo assumendo che questa retta non coincide con quella per B'D'), e quindi anche l'angolo β' non potrebbe coincidere con l'angolo A'B'D'.
     • Ma il triangolo A'B'D', per il primo criterio di congruenza, deve essere congruente ad ABC, e quindi avrei due angoli diversi ( β' e A'B'D') ambedue congruenti a β (uno per ipotesi, l'altro per costruzione). Ma questo è assurdo, perché la congruenza è una relazione transitiva (postulato 7).

QED

A differenza di quanto visto per il primo criterio, che non può essere generalizzato senza aggiungere nuove ipotesi, il secondo criterio verrà generalizzato non appena dimostreremo che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre costante (180^o). Infatti, conoscendo due angoli di un triangolo, si conosce anche il terzo, quindi non sarà necessario specificare che il lato è compreso tra i due angoli. L'enunciato del secondo criterio generalizzato diventerà

Se due triangoli hanno due angoli e un lato rispettivamente congruenti, allora sono congruenti.