Introduzione

Data pubblicazione: 16-feb-2016 18.03.50

La geometria euclidea rappresenta, nella storia della matematica e del pensiero scientifico, un punto di svolta senza eguali.

Prima di Euclide, per oltre due millenni, si erano accumulate moltissime conoscenze geometriche. Le prime testimonianze scritte di risultati matematici sono contemporanee alla nascita della scrittura, e comuni a tutte le grandi civiltà arcaiche.

In particolare, la geometria era sviluppatissima in Egitto, tanto che i Greci ne attribuivano l'invenzione proprio agli egizi.

Dal punto di vista moderno, la Geometria egizia era una scienza sperimentale, più vicina, per quanto riguarda il metodo, alla Fisica che non alla Matematica. I risultati venivano messi alla prova con esperimenti piuttosto che con dimostrazioni.

I Greci da parte loro, erano discreti matematici, ma avevano una tradizione inarrivabile come filosofi. Alessandro Magno stesso era stato educato nientemeno che da Aristotele.

Proprio Alessandro Magno, nel 331 a.c., conquistò l'Egitto e diede inizio alla fondazione di Alessandria, che diverrà, sotto i Tolomei, il principale centro culturale di tutto il mediterraneo.

Come in molti altri casi nella storia della scienza, il contatto tra culture diverse generò una rivoluzione culturale di cui Euclide (attivo ad Alessandria sotto Tolomeo I) è forse l'esempio più evidente.

La sua opera fondamentale, gli “Elementi” è stata l'unico testo di riferimento su cui si sono formati i matematici occidentali per quasi 2000 anni. Un successo editoriale secondo solo alla Bibbia.

La rivoluzione di Euclide fu quella di fondare la Matematica sul concetto di dimostrazione: i risultati vengono accettati non perché così viene insegnato, e nemmeno per evidenza sperimentale, ma sulla base di dimostrazioni incontrovertibili.

La matematica Euclidea è, per la prima volta nella storia, una teoria assiomatica: cioè si basa su alcuni “mattoni fondamentali” (detti enti) e su alcune “regole base” (dette assiomi o postulati). A partire da questi, si procede solo per dimostrazione, edificando, passo dopo passo, tutto l'impianto della teoria matematica.

Oggi, tutte le branche della Matematica sono state completamente assiomatizzate. Lo sforzo maggiore in questo senso è stato fatto alla fine del 1800 (2100 anni dopo Euclide), in particolare da Hilbert. In quell'occasione è stato anche rivisto l'impianto della Geometria, che venne rifondato in maniera più moderna, correggendo alcune sviste.

Senza troppa attenzione al reale corso storico, noi proveremo a ripercorrere il percorso che ha portato alla nascita della Geometria euclidea come teoria assiomatica.

In particolare cercheremo di capire perché i matematici sentono il bisogno di dimostrare i loro risultati, e vedremo come formulare e dimostrare un teorema.

Studieremo gli assiomi e i postulati di Euclide, discutendone il significato e scoprendone le pecche.

Vedremo perché e come questi siano stati modificati nella formulazione moderna.

Studieremo i teoremi fondamentali della geometria euclidea, con particolare attenzione alle dimostrazioni.