Triangoli isosceli
Data pubblicazione: 25-apr-2016 7.38.48
Vogliamo dimostrare un teorema che ci sarà molto utile nel seguito:
Teorema (angoli alla base di un triangolo isoscele)
Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è cha abbia gli angoli alla base congruenti tra loro.
In altre parole,
Un triangolo è isoscele se e solo se ha gli angoli alla base congruenti.
Dimostrazione:
Prima parte: se un triangolo è isoscele allora gli angoli alla base sono congruenti
Nel triangolo ABC in figura, consideriamo la bisettrice dell'angolo al vertice.
Chiamiamo K l'intersezione tra questa bisettrice e la base.
I triangoli ACK e BKC sono congruenti per il primo criterio, perché
- i lati AC e CB sono congruenti per ipotesi
- gli angoli CAK e KBC sono congruenti per costruzione
- il lato CK è in comune
Quindi gli angoli in A e in B sono congruenti perché angoli corrispondenti di triangoli congruenti.
QED
Seconda parte: se un triangolo ha gli angoli alla base congruenti allora è isoscele
- Prolunghiamo i lati CA e CB di due segmenti AE e BD tra loro congruenti. Otteniamo così due triangoli ABD e ABE che per il primo criterio sono congruenti in quanto
- AB è in comune
- Gli angoli EAB e ABD sono congruenti in quanto adiacenti di angoli congruenti
- AE e BD sono congruenti per costruzione.
- Ora poniamo la nostra attenzione sui triangoli EBC e DAC. Per il secondo criterio questi sono congruenti:
- gli angoli in E e in D sono congruenti per la congruenza dei triangoli ABD e ABE
- i lati EB e DA sono congruenti per la congruenza dei triangoli ABD e ABE
- gli angoli EBC e DAC sono congruenti in quanto somma di angoli congruenti:
EBC = EBA + ABC = DAB + BAC = DAC
- Quindi AC e BC sono congruenti perché elementi corrispondenti di triangoli congruenti
QED