Triangoli isosceli

Vogliamo dimostrare un teorema che ci sarà molto utile nel seguito:

Teorema (angoli alla base di un triangolo isoscele)

Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è cha abbia gli angoli alla base congruenti tra loro.

In altre parole,

Un triangolo è isoscele se e solo se ha gli angoli alla base congruenti.

Dimostrazione:

Prima parte: se un triangolo è isoscele allora gli angoli alla base sono congruenti

Nel triangolo ABC in figura, consideriamo la bisettrice dell'angolo al vertice.

Chiamiamo K l'intersezione tra questa bisettrice e la base.

I triangoli ACK e BKC sono congruenti per il primo criterio, perché

1. i lati AC e CB sono congruenti per ipotesi
2. gli angoli CAK e KBC sono congruenti per costruzione
3. il lato CK è in comune

Quindi gli angoli in A e in B sono congruenti perché angoli corrispondenti di triangoli congruenti.

QED

Seconda parte: se un triangolo ha gli angoli alla base congruenti allora è isoscele

• Prolunghiamo i lati CA e CB di due segmenti AE e BD tra loro congruenti. Otteniamo così due triangoli ABD e ABE che per il primo criterio sono congruenti in quanto
1. AB è in comune
2. Gli angoli EAB e ABD sono congruenti in quanto adiacenti di angoli congruenti
3. AE e BD sono congruenti per costruzione.
• Ora poniamo la nostra attenzione sui triangoli EBC e DAC. Per il secondo criterio questi sono congruenti:
1. gli angoli in E e in D sono congruenti per la congruenza dei triangoli ABD e ABE
2. i lati EB e DA sono congruenti per la congruenza dei triangoli ABD e ABE
3. gli angoli EBC e DAC sono congruenti in quanto somma di angoli congruenti:

EBC = EBA + ABC = DAB + BAC = DAC

• Quindi AC e BC sono congruenti perché elementi corrispondenti di triangoli congruenti

QED