Data pubblicazione: 4-mar-2016 16.54.25
Inserisco qui qualche commento alla teoria contenuta nel libro.
Ti ricordo che una teoria assiomatica è una sorta di "realtà virtuale", fondata su regole di base dette assiomi o postulati. La geometria euclidea è una teoria assiomatica "realistica", nel senso che è un'ottimo modello per descrivere la realtà, ma non va confusa con questa.
Per dimostrare un teorema non possiamo ricorrere ad un esperimento, ma dobbiamo usare i postulati o altri teoremi già dimostrati.
Gli enunciati e le dimostrazioni dei teoremi che trovi qui sotto NON vanno imparati. Hanno la funzione di esempi: servono a capire qual è la funzione dei diversi postulati nella geometria euclidea.
Servono anche a capire come si organizza una dimostrazione, anche se gli enunciati sono talmente semplici che probabilmente tutto sembra un po' vano. Dovrai aspettare un po' per arrivare a teoremi con un contenuto geometrico interessante.
Nell'esposizione del vostro libro, forse questo è uno dei punti più criticabili: bastava dire che su una retta ci sono almeno due punti, che nel piano c'è almeno un punto esterno ad una retta e che nello spazio cè almeno un punto esterno ad un piano.
Con l'enunciato del libro viene meno la richiesta di indipendenza degli assiomi, ma è una finezza che non ci disturba poi molto.
Questo postulato ci dice che due punti individuano in maniera univoca una retta. Invece due punti non basteranno ad individuare una circonferenza o un piano.
Teorema: Se A, B e C sono tre punti allineati e B e C sono allineati anche con il punto D, allora tutti e quattro i punti sono allineati.
Dimostrazione:
Quindi A, B, C e D giacciono su una stessa retta, cioè sono allineati.
Quod Erat Demostrandum
.
Teorema: Se due rette sono distinte, non hanno più di un punto in comune.
Dimostrazione:
Falla tu basandoti sul postulato 1.
Questo postulato è in qualche modo analogo al precedente: 3 punti distinti individuano in maniera univoca un piano.
Se invece i punti sono allineati o coincidenti, che succede? Possiamo dire che il piano esiste comunque ma che non è unico?
NO. Servono altri postulati.
Questo postulato serve a dirci che il piano è "piatto". Non importa quale coppia di punti io scelga su un piano, la retta che individuano non esce dal piano.
Sappiamo dimostrare che il piano è l'unica figura geometrica con questa proprietà?
No, servono altri postulati.
Teorema: Se A, B e C sono tre punti distinti ma allineati, esiste comunque un piano che li contiene.
Dimostrazione:
Quod Erat Demostrandum
Teorema: Una retta e un punto esterno ad essa sono sempre complanari (cioè esiste un piano che li contiene entrambi).
Dimostrazione:
Quod Erat Demostrandum
Teorema: Due rette incidenti (cioè distinte che si incontrano) sono sempre complanari.
Dimostrazione:
Quod Erat Demostrandum