Data pubblicazione: 3-apr-2016 7.52.02
Il postulato d'Euclide (enunciato in questa forma da Playfair) è quello che caratterizza la geometria Euclidea: ci dice che i piani sono "piatti".
Abbiamo visto che sulla sfera questo postulato non vale (non ci sono due linee diritte che non si incontrano mai). In altre geometrie (che noi non vedremo ma che sono molto importanti in fisica), le rette parallele esistono ma non sono uniche.
Definizione: due rette complanari non incidenti (cioè due rette che appartengono ad uno stesso piano e che hanno un singolo punto in comune) si dicono parallele.
Per un punto esterno ad una retta non passa più di una retta parallela alla retta data (vedi fig. 24 pag. 719 del libro).
Nota che il postulato non dice che la parallela esiste, perché questo fatto si può dimostrare. Vale ciè il
Per un punto esterno ad una retta passa (almeno) una retta parallela alla retta data.
La dimostrazione di questo teorema la faremo in seguito, utilizzando i postulati da 0 a 5 (in particolare il postulato d'ordine).
Teorema: Dati un piano π ed un punto P esterno al piano, esiste una retta parallela al piano (cioè una retta che non interseca il paino) e passante per P.
Dimostrazione:
Quod Erat Demostrandum
Teorema: Il parallelismo è una proprietà transitiva. In altre parole, se la retta r è parallela alla retta s e la retta s è parallela alla retta t, allora la retta r è parallela alla retta t.
Dimostrazione:
Se r coincide con t, allora r e t sono parallele; altrimenti:
Prima dimostriamo che r e t non si incontrano e poi che esiste un piano che le contiene entrambe.
A) r e t non si incontrano:
B) r e t sono contenute in uno stesso piano
Quod Erat Demostrandum