Gli elementi
Data pubblicazione: 17-feb-2016 14.04.42
La presentazione originale.
TRASCRIZIONE:
Gli elementi di Euclide
La teoria assiomatica e la dimostrazione matematica
“Gli Elementi” di Euclide
Euclide è ricordato per un solo lavoro: Gli Elementi.
13 “libri”.
Contiene praticamente tutta la matematica del 300 a.C., organizzata in teoremi, completi di dimostrazioni.
Assiomi
La novità degli Elementi è che si parte da ben precisi assunti, detti assiomi o postulati, e poi deriva tutti i risultati da questi: è il primo esempio di teoria assiomatica.
Lo stile con cui è scritto è la logica di Aristotele.
Gli assiomi, vengono divisi da Euclide in tre tipologie:
Definizioni
Postulati
Nozioni Comuni
Tutti vengono assunti come veri.
Con gli occhi di oggi
La filosofia della scienza è molto cambiata dai tempi di Euclide.
In particolare, noi consideriamo teorie assiomatiche che siano
Consistenti (non siano in contrasto tra loro)
Indipendenti (nessun assioma può essere dedotto)
Complete (di ogni affermazione si può stabilire la verità)
Non ci poniamo il problema che siano realistiche.
Definizioni
Le 23 definizioni introducono gli oggetti della teoria, specificandone le proprietà e assegnandogli un nome:
Postulati
I 5 Postulati sono gli assiomi “geometrici” della teoria di Euclide.
I primi 3 affermano la possibilità costruire alcuni enti geometrici fondamentali (Platonici).
1. Si può disegnare una linea retta tra due punti qualsiasi.
2. Si può prolungare indefinitamente un segmento.
3. Si può tracciare un cerchio con qualunque centro e qualunque raggio.
Postulato 4
4. Tutti gli angoli retti sono uguali.
Un enunciato particolarmente difficile da leggere, che serve a dire che non ci sono direzioni privilegiate.
Euclide parla degli angoli retti nella definizione 10, definendoli in maniera equivalente a “la metà di un angolo piatto”.
Il quinto Postulato
5. Se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni in modo che la loro somma sia minore di due angoli retti, allora le due rette si incontrano da quella parte.
Una versione “moderna” del 5
Playfair, nel 1795 riformulò il 5 postulato come
5'. Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data.
Le “nozioni comuni”
Euclide aggiunse altri 5 assiomi di natura non tanto geometrica quanto logica. Le chiamò “nozioni comuni”, ma sono assiomi quanto gli altri: definiscono l'uguale.
1. Cose che sono uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro.
2. Se quantità uguali vengono aggiunte a quantità uguali, i risultati sono uguali.
3. Se quantità uguali vengono sottratte a quantità uguali, i risultati sono uguali.
4. Cose che coincidono (si sovrappongono) sono uguali tra loro.
5. L'intero è più grande delle sue parti.
Un Sistema Assiomatico
Dopo questa premessa, Euclide è pronto a dimostrare ogni proposizione della teoria.
Niente in quello che segue ha bisogno di nuove assunzioni.
…
Almeno così credeva...
Un Sistema Assiomatico
Gli assiomi sono espliciti e ci si può richiamare ad essi durante le dimostrazioni.
Anche le dimostrazioni sono esplicite e possono essere esaminate logicamente .
La verità di ogni proposizione [teorema] può essere dedotta usando solo gli assiomi e un processo dimostrativo.
Ma i risultati già dimostrati possono essere usati per quelli successivi.
La Proposizione I.1 degli Elementi :
Su un segmento si può costruire un triangolo equilatero.
Sia AB il segmento.
Disegna una circonferenza di centro A e raggio AB. (Postulato 3)
Disegna una circonferenza di centro B e raggio AB.
Chiama C il punto d'intersezione delle due circonferenze.
Collega AC e BC (Postulato 1).
AB e AC sono raggi della stessa circonferenza e quindi sono uguali l'uno all'altro (Definizione 15, circonferenza).
Analogamente AB=BC.
Poiché AB=AC e AB=BC, allora AC=BC (Nozione Comune 1).
Quindi il triangolo ABC è equilatero (Definizione 20, triangolo equilatero). Q.E.D.
Leibnitz, 1679:
Ma chi ci ha detto che le due circonferenze si toccano?