Data pubblicazione: 16-feb-2016 18.05.19

Se gli antichi egizi erano riusciti a scoprire praticamente tutti i risultati di Geometria dell'epoca, che bisogno aveva Euclide di farla tanto lunga con assiomi e dimostrazioni?

La prima ragione fondamentale per cui i matematici hanno bisogno delle dimostrazioni è che quando le cose si fanno complicate, è molto facile commettere sbagli. Per essere certi dei risultati, e per convincere gli altri, servono quindi le dimostrazioni.

Ma cercare di dimostrare una congettura costringe ad un livello di comprensione molto superiore, ed è uno dei modi di ragionare tipici della scienza moderna: Intere aree della fisica, ma anche della biologia, economia, chimica e di molte altre scienze sono state assiomatizzate in teorie o modelli. Attraverso ragionamenti rigorosi su un modello gli scienziati fanno previsioni che poi vengono confrontate con la realtà per decidere se il modello è buono o cattivo.

Trovare una dimostrazione corretta non è però una cosa semplice, ed è facile cadere in errore.

In una classe è stato assegnato il seguente esercizio:

1. Trova tutti i numeri di tre cifre che siano divisibili per 3 e per i quali la cifra delle centinaia è
   1. il triplo di quella delle unità.
   2. Suggerimento: un numero è divisibile per tre se la somma delle cifre che lo compongono è
   3. divisibile per 3.
2. Dimostra che hai trovato tutte le soluzioni dell'esercizio 1.

Quasi tutti gli studenti sono stati in grado di risolvere brillantemente il punto 1., trovando tutte e dieci le soluzioni. Meno della metà sono stati invece in grado di rispondere al punto 2. L'aspetto interessante è che molti studenti che hanno trovato nove o otto soluzioni, hanno poi risposto al punto 2., “dimostrando” quindi una proposizione falsa! La capacità di effettuare una dimostrazione in modo corretto è una delle cose che dovete imparare a fare.

La maggior parte delle dimostrazioni contenute negli “elementi” è di tipo costruttivo: per dimostrare che una certa cosa si può fare, la faccio. È un tipo di argomento molto trasparente e molto potente, perché fornisce una ricetta per costruire l'oggetto che cerchiamo.

Spesso però questa strada non è percorribile:

Se vogliamo dimostrare che la somma di due numeri pari (qualsiasi) è (sempre) pari, non possiamo metterci a costruire tutte le somme di tutte le coppie di numeri pari.

È però sufficiente usare la proprietà associativa della moltiplicazione: Ogni numero pari è multiplo di 2, quindi i due numeri in questione saranno della forma 2n e 2m, con n e m interi. Usando la proprietà distributiva, "raccogliamo il 2 a fattor comune e scriviamo la somma dei due numeri

2n + 2m = 2(n+m)

e siccome n+m è un numero intero, 2n + 2m è un multiplo di 2 ossia un numero pari.