Le leggi della dinamica

Data pubblicazione: 11-giu-2011 12.05.35

questa pagina è ancora in fase di scrittura

La conservazione dell'energia meccanica.

Ricordate il pendolo? In tutti i sistemi meccanici, dove l'attrito è un fenomeno trascurabile, c'è una legge di conservazione fondamentale: la legge di conservazione dell'energia. Nel caso del pendolo, osserviamo facilmente che il peso torna alla stessa altezza da cui è stato lasciato (a velocità iniziale nulla). L'informazione sull'altezza alla quale tornare viene conservata istante per istante durante il moto. DISEGNO

Questa quantità che si conserva durante il moto la chiamiamo energia, e in accordo con il linguaggio comune diciamo che l'energia è proporzionale alla massa, in modo che l’energia di due sistemi identici sia il doppio dell’energia di ognuno dei due sistemi preso singolarmente.

E' possibile vedere che l’energia è la somma di un termine che dipende dalla velocità e di uno che dipende dall'altezza. Questi due termini si chiamano rispettivamente energia cinetica ed energia potenziale.

In formula,

E_cin+E_pot ≡ E .

Il simbolo ≡ si legge “identicamente uguale” e vuol dire che qualsiasi sia il valore del tempo, la nostra uguaglianza rimane valida.

Un esperimento fondamentale

chiodi DISEGNO

montagne russe

Uno strano salvadanaio

Per visualizzare la legge di conservazione dell’energia, facciamo un paragone un po’ strano: Pensiamo di avere delle monete a forma di biglia, e di avere un salvadanaio che è come un sacchetto, o ancora meglio un palloncino: si gonfia a seconda del numero di monete che contiene mantenendo sempre una forma sferica. Le monete posso tenerle nel sacchetto oppure in mano. Ma il totale delle monete rimane costante. Questa è la nostra legge di conservazione, analoga alla conservazione dell’energia. Il numero monete che sono nel sacchetto rappresenta l’energia cinetica, il numero di quelle che ho in mano l’energia potenziale.

Ma mettermi a contare le monete che sono nel sacchetto è lungo e faticoso. E’ molto più facile misurare con un calibro il diametro del sacchetto. Più è grande il sacchetto, più monete contiene. Poi siccome sono veramente pigro, invece di contare le monete che ho in mano, ne stimo il numero a peso.

Chiamiamo

d := diametro del sacchetto

p := peso delle monete che ho in mano

M := monete in mano

S := monete nel sacchetto

T := monete totali

La nostra legge di conservazione è “salvadanaio + mano ≡ totale”, in formula,

S+M ≡ T.

Per mettere in evidenza che S dipende da d, scriviamo S(d), intendendo che ad ogni valore di d corrisponde un valore di S o, come dicono i matematici, “S è funzione di d”. Con questa notazione riscriviamo la formula sopra come

T(d,p) ≡ S(d) + M(p).

Lavoro e potenza

Traduciamo la formula di conservazione dell’energia nel linguaggio del diagramma energia-tempo: diciamo che al tempo t₀ l'energia cinetica valeva E0cine al tempo t₁ vale E¹_cin. Siccome la somma deve rimanere la stessa, tanto è aumentata l’energia cinetica, tanto deve essere diminuita l’energia potenziale. Nel caso del sacchetto, tutte le monete che tolgo dal salvadanaio le devo tenere in mano.

Per indicare il cambiamento di una quantità, nel nostro caso l’energia E, i fisici usano la lettera greca delta maiuscola: D Esignifica variazione di E, ed è definito come E:=E₁-E₀ .

Con questa notazione, E_cin -E_pot .

Possiamo anche esprimere lo stesso concetto in termini di pendenza: la pendenza dell’energia cinetica è uguale e di segno opposto alla pendenza dell’energia potenziale. Qui però dobbiamo stare un po' più attenti: se l’energia cinetica cresce linearmente con il tempo, sappiamo che la pendenza si calcola altezza diviso base, ossia

pendenza = Et,

ma se l’energia cinetica si comporta in maniera diversa, bisogna fare un’approssimazione, e prendere un triangolino piccolissimo su cui calcolare altezza diviso base. Proprio per ricordarci che il triangolino è piccolissimo, usiamo la lettera delta minuscola e scriviamo

pendenza = Et.

I concetti di variazione di energia e pendenza dell’energia nel diagramma energia-tempo sono così importanti che conviene dargli dei nomi:

Definizione: La variazione di energia potenziale, cambiata di segno, viene chiamata lavoro (fatto da una forza sul sistema)

L:= -Epot

Definizione: La pendenza nel diagramma energia potenziale - tempo (cioè la velocità con cui cambia l’energia), cambiata di segno, viene chiamata potenza (della forza che agisce sul sistema)

P:= -Epott

La legge di conservazione dell’energia può essere riformulata come

“il lavoro fatto sul sistema è uguale alla variazione di energia cinetica del sistema”

Ecin=L,

oppure come

“la potenza della forza che agisce sul sistema è uguale alla pendenza dell’energia cinetica del sistema”

Ecint=P.

Sono solo formulazioni diverse per lo stesso concetto. L’ultima formulazione ci porterà al legame tra forza e accelerazione, ma dobbiamo capire bene come la pendenza dell’energia cinetica coinvolga l’accelerazione e come la potenza sia legata alla forza.

L’energia cinetica

Ora è il momento di fare un passo avanti e chiederci: come dipende l’energia cinetica dalla velocità? Cioè, se sappiamo la velocità e la massa di un corpo, come calcoliamo la sua energia cinetica?

Esperimento: pendolo balistico con autovelox

Troviamo che

vmax=2ghmax

o, equivalentemente,

hmax=12gv2max

cioè che la velocità massima (che viene raggiunta nel punto più basso del pendolo) è uguale alla radice quadrata di due volte l’altezza iniziale moltiplicata per una misteriosa costante g, dal valore di 9,81 m/s2, che chiamiamo accelerazione di gravità.

Non è difficile scoprire che l’energia cinetica è proporzionale alla velocità al quadrato. Fissate le unità di misura, la sua definizione è:

Ecin:= 12m v2,

dove naturalmente mè la massa della particella che stiamo considerando.

Ma come si arriva a questa conclusione? I più curiosi possono approfondire qui.

Guardiamo la nostra formula di conservazione dell’energia: all’inizio il pendolo parte da fermo, quindi l’energia cinetica iniziale è nulla; viceversa alla fine è l’energia potenziale ad essere nulla. Quindi, tornando alla notazione in cui il pedice indica se la misura si riferisce al tempo iniziale t0o a quello finale t2

Ecin(v2)+0=0+Epot(h0)

Qual’è l’analogo nel caso del nostro sacchetto-salvadanaio? Il sacchetto vuoto corrisponde a energia cinetica nulla, il sacchetto pieno corrisponde a energia potenziale nulla. Esperimenti mostrerebbero che

dmax=3c pmax

ossia che il massimo diametro del sacchetto (quando tutte le monete sono dentro) è proporzionale alla radice cubica del peso di tutte le monete (che misuro quando sono tutte nella mia mano-bilancia).

Abbiamo quasi finito, ma ancora non ci basta. L’energia cinetica potrebbe essere proporzionale alla velocità, e allora l’energia potenziale sarebbe proporzionale alla radice quadrata dell’altezza; ma potrebbe anche darsi (come è in realtà) che l’energia potenziale sia proporzionale all’altezza e che quindi l’energia cinetica sia proporzionale alla velocità al quadrato; potrebbe persino venir fuori qualcosa di ancor più complicato.

Nel caso del sacchetto, il numero delle monete potrebbe essere proporzionale al diametro del sacchetto, oppure al peso delle monete (come è in realtà) oppure a nessuno dei due.

Fortunatamente, i nostri ragionamenti con i chiodi ci hanno insegnato che l’energia non dipende dalla traiettoria e questo può solo significare che l’energia potenziale è proporzionale all’altezza. Vediamo come: pensiamo a cosa accade quando il pendolo è a metà altezza. Una parte dell’energia potenziale si è trasformata in energia cinetica; precisamente la stessa energia cinetica che avrebbe un pendolo che parte da altezza h1=h0 / 2, in termini di velocità, questo significa v1=2gh1=gh0=v2/ 2, convertendo anche l’energia potenziale restante in energia cinetica sappiamo che alla fine (cioè all’istante t2 DA FINIRE

L’energia potenziale

Avendo definito l’energia cinetica, abbiamo definito di conseguenza l’energia potenziale: nel caso del pendolo con il peso che è ad altezza h, l’energia potenziale è

Epot=mgh

cioè è uguale alla massa del peso moltiplicata per l’accelerezione di gravità (9,81 m/s2 sulla Terra) per l’altezza del peso.

I concetti di energia potenziale ed energia cinetica si possono applicare in contesti molto diversi dal pendolo. Abbiamo già visto che non cambia niente se facciamo muovere il peso su una circonferenza oppure su una guida tipo montagne russe.

Ma possiamo andare oltre, e considerare forze molto diverse da quella dovuta all’attrazione gravitazionale della Terra. Cominciamo dal caso più comune: quello di forze che dipendono solo dalla posizione dell’oggetto (ad esempio da quanto si è allungata una molla o quanto vicini siamo ad una calamita) e non dalla velocità.

Per tutte queste forze, continua a valere che l’energia cinetica è funzione della sola velocità e l’energia potenziale è funzione della sola posizione. Ma c’è di più: la sola parte che dipende dalla

La potenza e la pendenza dell’energia cinetica nel tempo

Ora dobbiamo usare un po’ di matematica per tradurre le formule Ecin 12m v2 e Epotmgh in termini di pendenza .

Cominciamo dall’energia cinetica: è chiaro che la velocità con cui cambia v2 dipende dalla velocità con cui cambia v, cioè dall’accelerazione. Naturalmente, più aumenta v e più aumenta v2.

Per fare questo passaggio, serve solo un po’ di matematica, ed è matematica alla vostra portata, sia che vogliamo seguire una strada algebrica che una strada geometrica... Ma non è questo il luogo. ～