Bungee jumping

Data pubblicazione: 30-mag-2011 17.03.10

Ora che conosciamo la seconda legge di Newton, vediamo di applicarla in un esempio. Supponiamo di voler fare un salto con l'elastico da un ponte alto 200 m, legati ad una corda lunga 50 m. Sarà sufficiente l'elastico a fermarci? Quanti secondi passano prima che l'elastico cominci a rallentarci? Cosa succede se siamo molto leggeri o molto pesanti?

Scheda di lavoro sul bungee-jumping

Per rispondere a questa scheda, immaginiamo per semplicità che il tempo scorra non in maniera continua, ma di secondo in secondo, come per i fotogrammi di un film.

Usiamo le risposte per costruire una animazione con GeoGebra. Apri il file allegato.

1. Se conosco la forza che agisce su di me in questo momento e in questo posto, posso ricavare la mia accelerazione? Come?
   1. Sì, a patto di conoscere anche la mia massa: la II legge di Newton dice che
      1. Accelerazione =Forza / massa.
      • Nella casella A2 scrivi la tua massa in Kg.
      • Nella casella G5 scrivi la forza che ti attita al suolo, che è uguale alla tua massa per 9,8 m/s². Quindi scrivi "=-$A$2 * 9,8" (il segno meno è dovuto al verso della forza, che ti attira verso il basso).
   • Nella casella I5 scrivi l'accelerazione che subisci, che è uguale alla forza che ti attira al suolo diviso per la tua massa (II legge di Newton). Quindi scrivi "=G5/$A$2". Se non hai fatto errori, dovresti leggere 9,8.
2. Se conosco l'accelerazione che ho in questo momento, posso ricavare la velocità che avrò tra un secondo? Come?
   1. Sì, l'accelerazione è la pendenza nel diagramma velocità-tempo. Se, come abbiamo assunto per semplicità, il tempo scorre di secondo in secondo e non in maniera continua, l'accelerazione è semplicemente la variazione di velocità che avviene in un secondo, diviso 1 secondo. Siccome la velocità che avrò tra un secondo è uguale alla velocità che ho adesso più la variazione di velocità, per ottenerla basta fare
      1. v_nuova = v_vecchia + a * 1
         • Nella casella E6 scrivi "=E5+I5*(A6-A5)" (Mettiamo il tempo A6-A5 invece di 1 s per avere la possibilità di cambiare l'intervallo tra due fotogrammi successivi del nostro film).
3. Se conosco la velocità che ho in questo momento, posso ricavare la posizione che avrò tra un secondo? Come?
   1. Sì, esattamente come abbiamo fatto con l'accelerazione! Infatti, come l'accelerazione è la pendenza nel diagramma velocità-tempo, la velocità è la pendenza nel diagramma posizione-tempo. Di nuovo, se il tempo scorre di secondo in secondo e non in maniera continua, la velocità è semplicemente lo spazio che percorro in un secondo, diviso 1 secondo. Siccome la posizione che avrò tra un secondo è uguale alla posizione che ho adesso più la variazione di posizione , per ottenerla basta fare
      1. h_nuova = h_vecchia + v * 1
         • Nella casella C6 scrivi "=C5+E5*(A6-A5)" (mettiamo il tempo A6-A5 invece di 1 s per avere la possibilità di cambiare l'intervallo tra due fotogrammi successivi del nostro film).
4. Quali sono le forze in gioco nel bungee-jumping (il salto da una piattaforma legati ad un elastico?
   1. Prima di tutto, la gravità che ti tira verso il basso. Questa forza è uguale alla tua massa moltiplicata per la quantità 9,8 m/s² , che prende il nome di "accelerazione di gravità" sai dire a cosa è dovuto questo nome?. Secondo te, l'accelerazione di gravità sulla Terra, è uguale a quella sulla Luna?
      1. La seconda forza, fondamentale se non ti vuoi schiantare al suolo, è la forza elastica della corda che hai legata ai piedi. Come sanno tutti quelli che hanno usato una fionda oppure un arco, più l'elastico è allungato e più forza esercita: La forza è proporzionale all'allungamento, cioè si ottiene moltiplicando l'allungamento per una quantità che dipende dal materiale di cui è fatta la corda.
      2. Altre forze importanti sono gli attriti, dovuti all'aria e al riscaldamento dell'elastico. Noi li trascuriamo, ma se vuoi, puoi approssimali con una forza proporzionale alla velocità (con verso opposto a questa, perché si oppone al moto) . Nota che se non ci fossero gli attriti, continueresti per sempre a fare su e giù!
      3. Altre forze sono tranquillamente trascurabili.
         • Nella casella G5 hai già scritto la forza che ti attita al suolo, ora devi mettere la forza dell'elastico. Per rappresentare la costante elastica, è già predisposto uno slider di nome k. Il cavo ha una lunghezza a riposo di 50 m, per cui, se la tua posizione scende sotto i 150 m di altezza, l'elastico comincia ad esercitare una forza pari a k per l'allungamento. Per questo, in G5 scrivi "=-$A$2 * 9,8 + k * max[0 , (150-C5)]" (la formula tiene conto del fatto che se l'altezza è superiore a 150 m, il cavo è ripiegato e non esercita alcuna forza; è per questo che abbiamo messo max[0, ... ])
• Ora che il foglio è predisposto, non ci rimane che completarlo trascinando le nostre formule verso il basso:
• Prima completa la seconda riga trascinando verso il basso G5 e I5.
• Seleziona tutte le caselle della seconda riga tranne le colonne A e B; trascina verso il basso la selezione fino a riga 69. Dovresti vedere i punti che corrispondono al diagramma orario.
• L'ultimo tocco è un tantino complesso, ed è facoltativo. Ci serve a fare il cartone animato: quello che facciamo è unire i puntini con una linea spezzata. Se vuoi, puoi passare direttamente al prossimo foglio di lavoro, dove questo passaggio è già fatto.
• Nella riga di comando in basso scrivi "M5(x) = C5 + (x - A5) / (A6 - A5) (C6 - C5)" ti potrebbe apparire una linea retta nel grafico. In quel caso clicca su "proprietà" e deseleziona "mostra oggetto". La linea ci serve per rappresentare il moto tra i primi due fotogrammi, e infatti passa per i primi due punti che rappresentano il tuo moto.
• La linea che era disegnata rappresenta il moto solo quando siamo tra i primi due punti, ma noi vogliamo unire tutti i puntini. Se siamo tra il secondo ed il terzo fotogramma, dobbiamo usare una nuova linea. Nella linea di comando scrivi "M6(x) = Se[x < A7, M5, C6 + (x - A6) / (A7 - A6) (C7 - C6)]". Questa formula dice che se il tempo x è minore del tempo del nuovo fotogramma, M6 è uguale ad M5, altrimenti deve usare una nuova formula. Anche questa volta, se ti appare una linea retta nel grafico, clicca su "proprietà" e deseleziona "mostra oggetto".

• Ora trascina la casella M6 fino a riga 68. Seleziona M68, accedi a proprietà e seleziona mostra oggetto. Se hai fatto tutto bene, ti dovrebbe apparire una linea spezzata che unisce i puntini.
• Nella riga di comando scrivi "B=intersezione[M68,a]". (qui "a" è il nome di una retta già disegnata). Ti appare un nuovo punto tra la selva di punti che erano già disegnati. Ti consiglio di colorarlo di rosso per vederlo meglio.
• Ora dobbiamo solo disegnare la retta orizzontale che passa per B. Puoi usare il menù ad icone o più semplicemente scrivere nella riga di comando "b=Perpendicolare[B, a]".
• Per finire, nella riga di comando scrivi il tuo nome con l'iniziale maiuscola e poi "= Intersezione[asseY, b]".

Seconda fase:

Analizziamo il moto usando Geogebra:

1. Scaricate e aprite l'allegato
2. Cancellate tutto quello che è dalla riga 17 in giù
3. Nella casella A2 mettete la vostra massa in Kg.
4. Nella casella A6 mettete 0.3 (diminuisce la precisione ma osserviamo un tempo più lungo)
5. Trascinate le caselle delle prime due colonne fino alla riga 70
6. Ora cambiamo la forza aggiungendo l'elastico: alla forza peso (che è uguale alla massa moltiplicata per l'accelerazione di gravità g=9.81 m/s²) la forza dell'elastico.
7. Nel menù ad icone, selezionate lo slider (terz'ultima o penultima icona, a seconda della versione di geogebra che state usando). Dategli nome k e range da 0 a 100. Questo numero rappresenta la durezza dell'elastico, e si chiama costante elastica. Un valore ragionevole è k=15 N/m.
8. Diciamo che la corda è lunga 50 m. In questo caso, la forza dell'elastico è F_e= - k (150 - h), cioè è tanto più forte quanto più ci allontaniamo dai 150 metri d'altezza. Nella casella G16 (la prima in cui l'altezza scende sotto a 150 m), scriviamo " = $A$2 * 9.8 - k (150 - C16)", dove il primo termine è la forza di gravità e il secondo la forza elastica.
9. Ora che abbiamo la nuova forza, la casella I16 calcola la nuova accelerazione dividendo la forza per la massa.
10. Dall'accelerazione, nella casella C16 ricaviamo la velocità.
11. Stesso discorso con la posizione: nota la velocità, il cambiamento di posizione è la velocità per l'intervallo di tempo. Il risultato è in A16.
12. Ora non resta che trascinare le celle per continuare. Selezionate le celle in riga 16 e trascinate fino a riga 70.
13. Nella riga di comando scrivete "intersezione[a,M69]" per creare il punto B, che potete colorare di rosso.
14. Nel menù ad icone selezionate retta perpendicolare e disegnate una retta passante per B e perpendicolare all'asse verticale.
15. Ora dal menù ad icone selezionate intersezione e fate l'intersezione tra questa retta e l'asse verticale.
16. Dal menù proprietà, cambiate il nome di questo punto e dategli il vostro.