Il terzo criterio di congruenza

Data pubblicazione: 25-apr-2016 10.50.11

Utilizziamo il teorema del triangolo isoscele e il primo criterio di congruenza per dimostrare il

Teorema: terzo criterio di congruenza dei triangoli

Se due triangoli hanno tre lati rispettivamente congruenti allora sono congruenti.

Dimostrazione

• Riportiamo l'angolo orientato BAC sulla semiretta che parte da A' e contiene B' (trasporto degli angoli).
• Riportiamo il segmento AC sulla seconda semiretta che delimita questo angolo, individuando un punto C'' (trasporto dei segmenti).
• Per il primo principio, i triangoli ABC e A'B'C'' sono congruenti:
1. AB ≡ A'B' per ipotesi
2. BAC ≡ C''A'B' per costruzione
3. AC ≡ A'C' per costruzione
• Quindi BC ≡ B'C''
• Per la proprietà transitiva della congruenza,
  • A'C' ≡ A'C'' e B'C' ≡ B'C''.
• Quindi i triangoli A'C'C'' e B'C'C'' sono isosceli.
• Per il teorema del triangolo isoscele, hanno angoli alla base congruenti. Quindi
  • A'C'B' ≡ A'C'C'' + C''C'B' ≡ A'C''C' + C'C''B' ≡ A'C''B'.
• Ma siccome i triangoli ABC e A'B'C'' sono congruenti, l'angolo A'C''B' è congruente ad ACB.
• E allora, per il primo principio di congruenza, ABC è congruente ad A'B'C':
1. AC ≡ AC' per ipotesi
2. ACB ≡ A'C'B' perché sono ambedue congruenti ad A'C''B' (proprietà transitiva)
3. BC ≡ B'C' per ipotesi.

QED