חוק ארכימדס

נתרגם את הבעיה מהתיאור המילולי והציורי לדג"ח ולמשוואת שיווי משקל בציר האנכי:

כוח העילוי F_b שווה למכפלת השטח בהפרש הלחצים הפועלים בכיוון האנכי. כלומר:

ואכן, שיווי משקל יתקיים רק כאשר המשקל הסגולי של הגוף שווה למשקל הסגולי של הנוזל כאשר הגוף שקוע במים. כמו כן ראינו שמשקל נפח המים שנדחו בגלל הגוף שווה למשקל הגוף. בדיוק את החוק הזה שכרגע הדגמנו והוכחנו גילה הפיסיקאי והמהנדס ארכימדס.

המלך שסיפק זהב לייצור כתר חדש חשד שהמייצר של הכתר החליף חלק מהזהב בכסף. הוא פנה אל ארכימדס וביקש ממנו לקבוע מבלי לפגוע בכתר האם הכתר עשוי זהב טהור.

ארכימדס החליט להתקלח ומילא את האמבטיה. בעוד מחכה שהאמבטיה תתמלא שקע במחשבות על בעית הכתר שהטרידה אותו. המים מילאו את האמבטיה עד סופה. ורק אחרי שגלשו הבחין בכך ארכימדס. הוא סגר את המים. האמבטיה הייתה מלאה עד שפתה עליונה. כאשר הוא נכנס, נשפכה כמות מים מהאמבטיה. באותו חלקיק שנייה צץ במוחו של ארכימדס הרעיון שמשקל גופו גרם לכמות מים להישפך החוצה מהאמבטיה.

רעיון זה הוביל את ארכימדס להבין שהוא יכול לחשב את הנפח של הכתר. לארכימדס היה ידוע שהמשקל הסגולי של זהב גבוה מהמשקל הסגולי של כסף. ולכן אם יכניס את הכתר לאמבטיה המלאה תידחה כמות מים קטנה יותר מאשר אם יכניס גוש זהב זהה לכמות הזהב שהמלך סיפק לייצור הכתר.

מרוב התרגשות על התגלית הזאת הוא קפץ החוצה עירום לרחוב וצעק: "מצאתי" – Eureka.

ניקח אקווריום ונמלא אותו מים. שם בעדינות שלושה חפצים על המים:

חפץ ראשון: גוף כלשהו ממתכת, יתד של אוהל או, מסמר, או בורג.

חפץ שני: לוח עשוי קלקר

חפץ שלישי: תפוח עץ

לפני שתמשיכו ביצוע נסו לנחש מה יקרה לכל אחד מהחפצים כאשר תנסה להניח אותם בעדינות על פני המים.

בואו ננתח מה קרה?

הגוף העשוי ממתכת? שקע לגמרי עד שהגיע לתחתית האקווריום.

הקלקר? צף בקלילות על-פני המים.

והתפוח? לא, לא, נגלה לכם נסו בעצמכם ונקווה שתופתעו...

על הגוף שציירנו אותו כאילו מרחף בתוך המים, פועלים כוחות שונים. ניתן לראות שלגבי החיצים האופקיים הכל ברור. לכל חץ אופקי יש חץ בצד השני השווה לו בגודלו והפוך בכיוונו. ולכן הגוף אינו נע לשום צד בכיוון האופקי.

מה יקרה בכיוון האנכי? מדוע שהגוף לא ישקע למטה (הרי כוח המשיכה של כדור הארץ מושך אותו מטה). קחו חפץ כלשהו והניחו אותו באויר. ברור שהחפץ יפול מטה (אלא אם הוא בלון מלא הליום).

כלומר, ברור שכאשר גוף, כמו הקלקר והתפוח נמצא בתוך נוזל כלשהו, משהו מונע ממנו לשקוע מיד כלפי מטה. לגבי הגוף שעשוי מפלדה ראינו שהם כן שקעו למטה. אותו משהו המתנגד לשקיעת הגוף הוא כמובן כוח. "גוף משנה את מהירותו (כלומר נע או מפסיק לנוע) רק אם כוח גרם לתנועתו". לכוח הזה המתנגד לכוח המשיכה של כדור הארץ שמנסה להשקיע את הגופים במים קוראים "כוח עילוי". אם הגוף אינו עולה למעלה ואינו יורד למטה הרי שמתקיים שיווי-משקל כוחות בכיוון האנכי.

דוגמת הכתר של ארכימדס:

זוכרים את המשוואה שהוכחנו: