שיווי משקל מומנטים

ומה קורה עם פועלים שני כוחות?

נניח שאחותך הקטנה מרכיבה את כלבכם על הגלגש. קודם כל נתאר מצב חדש זה בדג"ח חדש:

מה לא השתנה? בבירור הגיאומטריה נשארה אותו הדבר, אולם ברור שהתגובות R_A ו- R_B לא יהיו זהות לתגובות במקרים הקודמים (ואולי כן, אם משקל הכלב יחד עם משקל אחותך זהה למשקל שלך, מה לדעתך תהיה התשובה?).

ננסה לפתור תחילה בשיטת שלב אחר שלב (Step by step), ולא נוותר עד שנפתור! זהו כלל ענק בהנדסה – אם יש לך מספיק זמן ומספיק משאבים תוכל לפתור כל בעייה!!!.

אז כרגיל, דג"ח כבר עשינו, וכעת נרשום את סכום המומנטים סביב נקודה A ואת סכום הכוחות בכיוון ציר y (מה קרה לסכום הכוחות בכיוון ציר x – זוכר סמכים ניידים לא מעבירים כוחות תגובה בכיוון האופקי וממילא אין שום כוחות אופקיים חיצוניים, אם היו אז ייתכן שהגלגש היה נוסע לאחד מהכיוונים).

נסכם את הפתרון שקיבלנו:

כעת נציב מספרים כדי למצוא את ערכי כוחות התגובה:

נתונים: פיתרון:

G₁=500N L₁=0.5m

G₂=150N L₂=1.0m

L= L₁+ L₂=1.5m

דרך אגב, סימנו את כוחות התגובה באות R מהמילה Reaction (תגובה באנגלית).

שמת לב שיצאו ערכים מאוד מאוד דומים למקרה שניתחנו כאשר רק אתה עמדת על הגלגש. זה לא במקרה הנתונים בשתי הבעיות הותאמו, כדי שהתוצאות יהיו זהות. אבל איך יתכן ששני כוחות שונים, הפועלים בנקודות שונות, יוצרים אותן תגובות כמו כוח אחד?

מובן שיש לשאלה זו תשובה פשוטה! ננסה לנסח את השאלה קצת אחרת:

אמרנו שיש לנו שני כוחות חיצוניים (G₁ ו- G₂) הפועלים על הגלגש (כמו בדג"ח שהראנו). שני כוחות אלה גורמים ליצירת אותן תגובות כמו הכוח היחידG שפעל במקרה הראשון. כלומר, במצב אחד יש שני כוחות בעלי אותה השפעה כמו כוח אחד במצב האחר. אנחנו מכירים מצב כזה, הלא כן?

כיצד קראנו לכוח יחיד, בעל אותה השפעה כמו מספר כוחות?

אם כן אפשר לומר שהכוח היחיד G הוא השקול של הכוחות G₁ ו- G₂ האם יכולנו לדעת זאת מראש, בלי חישוב כוחות התגובה? מובן שכן! יכולנו לחפש כוח יחיד F_Eq המייצר אותה השפעה בדיוק כמו G₁ ו- G₂.

ואולם מה הכוונה במילים: "אותה השפעה בדיוק"?

היכן פועל הכוח השקול

כאמור הכוח החדש שווה לסכום הכוחות G₁ ו- G₂. ואולם בזה אין די, שכן יש עוד דרישה: על הכוח השקול ליצור אותו מומנט, שיוצרים הכוחות G₁ ו- G₂.

כמובן שהכוח השקול הוא: F_Eq = ΣF_y = G₁ + G₂

הבעייה היחידה היא – איפה פועל השקול הזה?

ועכשיו, אף-על-פי שעדיין איננו יודעים איפה פועל השקול, נאמר שהוא פועל במרחק L_F מנקודת המגע A (נשארה לנו רק בעייה אחת קטנה והיא למצוא את L_F).

כדי לחשב ולמצוא את L_F נסתמך על הגדרת השקול:

ובכן, שקול פירושו כוח שגורם בדיוק אותן השפעות שגורמים הכוחות הנפרדים. בין אותן השפעות יש גם את ה- מומנט!

כלומר לכוח השקול F_Eq צריך להיות מומנט, שנסמנו M_Eq השווה (בגודלו ובכיוונו) בדיוק למומנטים, שיוצרים הכוחות G₁ ו- G₂, שהם הרי M_G1 ו- M_G2. כלומר: M_Eq = M_G1 + M_G2.

אבל מהו M_Eq?

כבר ידוע לנו שמומנט מחושב על-ידי מכפלת הזרוע בכוח שפועל בקצה. המומנט של הכוח F_Eq הוא: M_Eq = L_F ^· F_Eq.

ומה בקשר לכוחות G₁ ו- G₂?

איזה יופי קיבלנו ביטוי (פשוט יחסית) למיקום פעולת הכוח השקול שיוצר את המומנט השקול. למעשה ביטוי זה הוא בעל חשיבות מאוד גדולה שיעזור לנו מאוד בנושא הלימוד הבא (מרכז כובד).

תרגיל דוגמא:

קורה רתומה כמתואר בציור. חשב את מומנט התגובה בקצה הרתום.

הערה: בקורה רתומה יכולים להיות מופעלים כוחות תגובה בשני הצירים וגם מומנט תגובה.

פתרון

מטעמי חיסכון (בנייר) נבנה (על הציור) דג"ח לקורה ונקבל:

הקורה נמצאת בשיווי משקל של כוחות ושל מומנטים. בתרגיל הזה מצאנו את מומנט התגובה שנוצר בריתום כתוצאה מכל המומנטים שיוצרים הכוחות.

אבל, מה עוצמת הכוח השקול: F_Eq=F₁+F₂+F₃=200+100+50=–350N

והיכן פועל הכוח השקול F_Eq?

במילים אחרות מהו המרחק L_F בין מקום הפעולה על הקורה של F_Eq לנקודת הריתום A.

זוכרים את הנוסחה שפיתחנו?

כיצד נשמש בה בבעיה בה ישנם שלושה כוחות?

וכמה שווה המומנט שיוצר הכוח השקול F_Eq ושגילינו שפועל במרחק L_F מהריתום A?

M_Eq = L_F F_Eq= 5.71^· (–350)=–2000m^·N

כעת אנחנו רגועים! המומנט השקול שיוצרים שלושת הכוחות מנסה לסובב את הקורה עם כיוון השעון ולכן כיוונו שלילי והוא זהה בעוצמתו למומנט שהריתום יוצר ומנסה להתנגד לסיבוב הקורה הפעם נגד כיוון השעון. ולכן סכום המומנטים הללו על הקורה באמת שווה אפס ואכן הקורה נמצאת בשיווי משקל של כוחות ושל מומנטים.

שקול מומנטים – שיווי משקל

נחזור לגלגשנו מה הקשר בין מפצח האגוזים לגלגש? (הרי איננו רוצים לפצח אגוזים בעזרת הגלגש.. לעומת זאת, בגלגש אפשר לעשות הרבה יותר דברים מאשר במפצח האגוזים...). ובכן, למערכת הגלגש שלנו יתרון כביר: לגלגש שתי אפשרויות לבצע פניות: פניה עדינה וסיבוב.

1. פנייה עדינה: אם נטה את משקל גופנו לצד אליו אנחנו רוצים שהגלגש יפנה, נראה שהגלגש לא ממשיך בכיוון הכוח ההתחלתי שאיפשר את תנועתו קדימה אלא מתחיל לסטות ולבצע למעשה סיבוב מתון בכיוון שאנחנו רוצים להגיע אליו. תופעה זו יכולה לעורר אצלנו הרבה שאלות "חקר".
   כיצד זה קורה? היכן פועל הכוח? מה המרחק בין מקום פעולת הכוח לציר הסיבוב (מהו זרוע המומנט שאנחנו מייצרים בהטיית גופנו לכיוון אליו אנחנו רוצים לפנות). האם אתה יכול לחשב את עוצמת המומנט שאתה מפעיל על בסיס הגלגש כדי שמערכת הגלגלים תבצע פנייה? מה בכלל מאפשר למערכת הגלגלים לבצע פנייה (הרי אין לגלגש הגה)?

2. על-ידי הפעלת כוח בקצהו האחורי של הגלגש, אנחנו יכולים להרים את קצהו העליון, ובהטיית משקל גופנו לכיוון הרצוי (הפעלת מומנט נוסף) אנחנו יכולים לסובב את הגלגש סביב צירו לכל כיוון שרוצים, אפילו בסיבוב שלם של 360^o.

הגלגש מרים את "אפו" (קצהו הקדמי), וכך הגלגלים הקדמיים מתנתקים מהקרקע ומאפשרים לנו לסובב את הגלגש, בעזרת הטיית גופנו, סביב ציר העובר דרך הגלגלים האחוריים לכיוון הרצוי.

כפי שאמרנו, הגלגש יכול להסתובב סביב כל אחת מנקודות המגע של הגלגלים עם הקרקע. נתבונן בגלגש במבט פנים ובמבט צד וננסה לנתח את שתי האפשרויות בהן אנחנו יכולים להפעיל כוח ליצירת מומנט סיבוב של הגלגש ונזהה את צירי הסיבוב, זרוע המומנט ואפילו נוכל לחשב את עוצמת המומנט בהנחה של נתוני משקל ומרחק הפעלת הכוח מציר הסיבוב (מימדי הזרוע).

מבט פנים: התבוננות מכיוון החלק האחורי של הגלגש: הפעלת הכוח היא על-ידי הטיית משקל גופנו לחלקו הימני של הבסיס.

מבט צד: התבוננות מהצד של הגלגש: הפעלת הכוח היא על-ידי הטיית משקל גופנו לחלקו האחורי של הבסיס.

M_x=z ^· G = 0.2 ^· 700=140mN

M_z=x ^· G = 0.3 ^· 700=210mN

מדוע סימנו באות z את המרחק ולמומנט קראנו M_x?

כי בהפעלת הכוח על צידו הימני של הגלגש אנחנו גורמים לו להיות מוטה כלפי ימין. בעצם אנחנו גורמים לו להסתובב מעט סביב ציר x שנכנס בניצב להיטל הפנים (בניצב למסך או לדף בו אתה קורא)

מדוע סימנו באות x את המרחק ולמומנט קראנו M_z?

כי בהפעלת הכוח על צידו האחורי של הגלגש אנחנו גורמים לו להיות מוטה כלפי החלק האחורי. בעצם אנחנו גורמים לו להסתובב מעט סביב ציר z שנכנס בניצב להיטל הצד (ניצב למסך או לדף בו אתה קורא).

הגלגש יכול להסתובב סביב כל אחת מנקודות המגע של הגלגלים עם הקרקע כלומר סביב הנקודות A ו- B. כל אחת מהנקודות הללו (או נקודה אחרת שנרצה שהגלגש יסתובב סביבה) למעשה מהווה "ציר סיבוב". כשאנחנו עומדים על הגלגש (בין גלגליו), הגלגש אינו מסתובב סביב נקודה A וגם לא סביב נקודה B. לכן סכום המומנטים סביב כל אחת מנקודות אלו שווה לאפס (זוכר כאשר אין סיבוב, סימן שלא פועל מומנט).

כלומר:

הערה: את ראשיתה של מערכת הצירים אפשר למקם בכל נקודה שתבחר. בחרנו בנקודה A מטעמי נוחות מדידה בלבד.

נרשום כעת את משוואת שיווי המשקל של מומנטים סביב נקודה A.

מדוע הוספנו את הסימן (-) ליד המכפלה -L₁^·G?

ניזכר: מומנט בכיוון השעון, נסמנו בצורה שרירותית בסימן (-). הכוח G שואף לסובב את הגלגל סביב נקודה B בכיוון השעון, ולכן סימן המומנט שהוא יוצר יהיה שלילי. וסימן המומנט שיוצר כוח התגובה R_B יהיה חיובי כי הוא יוצר סיבוב נגד כיוון השעון.

כך נוכל לבצע העברת אגפים, לחלק את שני האגפים של המשוואה ב- L₁, ולבודד את R_B:

ואיך נמצא את הכוח R_A? יש שתי דרכים לעשות זאת:

הדרך האחת (והמסובכת יותר) היא לעשות סכום מומנטים סביב הנקודה השנייה, B, בדיוק לפי איך שביצענו לנקודה הראשונה, A.

הדרך הפשוטה היא להבין שמאחר שהגלגש אינו עף לירח וגם אינו חודר דרך הכביש למרכז כדור הארץ הרי שחייב להתקיים שיווי משקל כוחות בכיוון ציר y, לכן:

נבדוק במה תלוי גודלם של כוחות התגובה R_A ו- R_B שהקרקע מפעילה על הגלגש. ונעשה זאת באמצעות דוגמא מספרית:

בדוק מה יהיה הערך של כוחות התגובה אם נשנה את הערך של הזרוע של R_A ל- L₁=0.8m.

אנחנו מציעים לך ממש לחזור על החישוב ולראות שבעצם תתקבל החלפה בין הערכים של כוחות התגובה. כלומר, שככל שמקום הפעולה של G יהיה קרוב יותר לנקודת משען אחת, כך יהיה כוח התגובה הפועל בנקודה זו גדול יותר ולהפך. לנקודת משען קראנו בשם: "סֵמֶךְ". יש שני סוגים עיקריים של סְמָכִים: סֵמֶךְ נייד וסֵמֶךְ נייח.

סמך נייד יוצר כוח תגובה רק בכיוון ציר y (כלומר כוח תגובה המאונך לפני המישור המוגדר על-ידך במערכת הצירים). סמח נייח מייצר כוחות תגובה בשני הכיוונים גם בכיוון ציר x (תגובה אופקית המנסה למנוע תנועה אופקית) וגם בכיוון ציר y (תגובה אנכית המנסה למנוע תנועה אנכית). בהמשך נשתמש הרבה פעמים בסמכים בשרטוטים ובאיורים.

עומסים ותגובות

נסכם את מה שראינו עד כה:

1. במצב שבחנו אנו מביטים מהצד בגלגש הנשען על שני גלגליו (סמכים ניידים) ונושא משא (אותנו או את אבא...), בנקודה כלשהי, לא זז (וגם לא נשבר...) כתוצאה מכך.

2. מאחר שהגלגש לא זז אנחנו בטוחים שהוא נמצא במצב של שיווי משקל גם כאשר פועלים עליו כוחות (כוח המשיכה של כדור-הארץ וכוח התגובה של הקרקע).

3. למדנו גם כי קיימות שתי מערכת של כוחות על הגלגש:

• מערכת כוחות אחת, המופעלת על הגלגש על-ידי מערכת חיצונית (כוחות אלו נקראים לפעמים "כוחות חיצוניים" או "עומסים").

• מערכת הכוחות השנייה המופעלת על-ידי גלגלי הגלגש כדי לשאת את בסיס הגלגש ולהחזיק את העומס המופעל עליו (כוחות אלו נקראים לפעמים "כוחות פנימיים" או "כוחות תגובה" – כי הם נוצרים כתגובה לכוחות העומס).

4. מצב של שיווי המשקל משתמע, כי סך כל הכוחות החיצוניים (כוחות העומס) שווה בגודלו והפוך בכיוונו לסך כל הכוחות הפנימיים (כוחות התגובה, הנושאים את הגלגש) ובביטוי מתמטי נרשום: 0=תגובותS - עומסיםS ואם נבחר להעביר את כל התגובות לאגף השני של הביטוי, נקבל: תגובותS = עומסיםS.

5. אבל אם קיים שיווי-משקל (כלומר הגוף שעליו פועל העומס נשאר במנוחה, במקרה שלנו), הרי גם סכום המומנטים שואף לאפס: SM_A = 0.

מכאן נובע שלא רק שהעומס השקול שווה לתגובה השקולה, אלא ששניהם פועלים על אותו קו פעולה (כי אילו היה מרחק בין שני קווי הפעולה, היה נוצר מומנט שאינו שווה לאפס, והיה מתרחש מעבר ממנוחה לתנועה סיבובית כלומר לא היה שיווי-משקל!!!).