12.1 Polígonos.

Lectura

Arquímedes y la medida del círculo

Dos mil años antes que Leibniz y Newton, Arquímedes utilizó un rudimento de cálculo infinitesimal para hallar el área del círculo

CARLO FRABETTI | 26 MAR 2019

https://elpais.com/elpais/2019/03/04/ciencia/1551686906_351630.html

La conocida fórmula de la longitud de la circunferencia, 2·π·r, en realidad es una tautología[1], puesto que π es, por definición, la razón entre la circunferencia y su diámetro (o lo que es lo mismo, 2·r, dos veces el radio). Pero la no menos conocida fórmula del área del círculo, π·r², no es ni mucho menos evidente, y para dar con ella fue necesario todo el ingenio de uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. En su libro “Sobre la medida del círculo”, uno de los textos científicos más importantes de la antigüedad, cuya influencia se prolongó a lo largo de siglos (a pesar de su brevedad y de no conservarse completo), Arquímedes, anticipándose en 2000 años a los “indivisibles” de Cavalieri y al cálculo infinitesimal de Leibniz y Newton, deduce la fórmula del área del círculo a la vez que halla un valor de π increíblemente preciso. Pero empecemos por el principio…

La única figura geométrica cuya fórmula del área es evidente, es el rectángulo, pues no hay más que multiplicar la longitud de la base por la de la altura para hallar el número de unidades cuadradas. Por ejemplo, si tenemos un rectángulo de 5 centímetros de base y 3 de altura, es evidente que contendrá 5 x 3 = 15 cuadraditos de 1 centímetro de lado, o sea 15 centímetros cuadrados. Generalizando, la superficie (S) de un rectángulo de base b y altura a será S = b·a

Es fácil ver que cualquier paralelogramo se puede convertir en un rectángulo “cortando” un triángulo rectángulo de un extremo y “pegándolo” en el otro, por lo que también en este caso el área se obtendrá multiplicando la base por la altura: S = b·a

Y puesto que cualquier triángulo puede considerarse la mitad de un paralelogramo de igual base y altura (que podemos obtener trazando por dos de los vértices sendas paralelas a los lados opuestos, como muestra la figura), el área de un triángulo será S=b·h/2 (la altura suele designarse indistintamente con las letras a o h).

En el caso de un polígono regular, como el hexágono de la figura, que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales, podemos dividirlo, trazando sus radios, en tantos triángulos isósceles iguales (que en el caso del hexágono serán equiláteros) como lados tiene. Por lo tanto, su área será n·l·a/2, siendo n el número de lados, l el lado del polígono y a la altura de cada triángulo, que es la apotema del polígono; pero n·l es el perímetro (p) del polígono, luego su área será S=p·a/2.

Para hallar el valor de π, Arquímedes imaginó un círculo encerrado entre un polígono inscrito[2] y uno circunscrito[3] de un número de lados cada vez mayor. Obviamente, la longitud de la circunferencia tenía que ser siempre mayor que el perímetro del polígono inscrito y menor que el perímetro del polígono circunscrito, y a partir de sendos polígonos de 96 lados respectivamente inscrito y circunscrito, halló un valor de π comprendido entre las fracciones 223/71 y 22/7; la media de estos dos valores es aproximadamente 3,1418, lo que significa que en el valor hallado por Arquímedes el error es de apenas dos diezmilésimas.

Y aunque el razonamiento mediante el cual el gran matemático griego llega a la fórmula del área del círculo es algo más largo y elaborado, en última instancia equivale a considerar que el círculo es un polígono regular de infinitos lados infinitamente pequeños, por lo que su apotema es el radio del círculo y su perímetro la longitud de la circunferencia, con lo que la fórmula p·a/2 se convierte en S=2·π·r·r/2 = π·r². Ver figura de polígono regular de 24 lados cómo la apotema se va igualando al radio.

Es curiosa la forma en que Arquímedes presenta el área del círculo, diciendo que es igual a la de un triángulo rectángulo cuyos catetos son, respectivamente, el radio del círculo y la longitud de su circunferencia. Un guiño al viejo problema de la cuadratura del círculo, aunque seguramente Arquímedes ya sabía que era irresoluble. Pero esa es otra cuestión…

Fórmulas Magistrales es una sección de Carlo Frabetti dedicada a explicar las principales fórmulas de las matemáticas y la física, su origen, evolución y significado preciso.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal

1. Dibuja y escribe y el nombre de todas las figuras geométricas que aparecen en el texto, con sus fórmulas para calcular su perímetro o su superficie.

[1] tautología

1. f. Ret. Acumulación reiterativa de un significado ya aportado desde el primer término de una enunciación, como en persona humana.

2. f. despect. Repetición inútil y viciosa.

[2] Inscrito. De inscribir 5.tr. Geom. Trazar una figura dentro de otra, de manera que tengan puntos comunes sin cortarse.

[3] Circunscrito. De circunscribir 2. tr. Geom. Trazar una figura en el exterior de otra, de modo que ambas sean tangentes en el mayor número posible de puntos.

Polígonos

Recuerda que una línea poligonal o quebrada está formada por varios segmentos consecutivos. Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas.

Las figuras planas están formadas por líneas poligonales cerradas y su interior. Generalmente se les llaman polígonos, que procede del griego y significa “muchos ángulos”, aunque hoy en día se conocen por el número de sus lados.

Un polígono es una figura plana formada por una línea poligonal cerrada y su interior. Todos sus lados son rectos.

Elementos de un polígono

En un polígono se distinguen los siguientes elementos geométricos:

Lados del polígono: son cada uno de los segmentos que conforman el polígono. Si están trazados uno a continuación de otro, son lados consecutivos.

Vértices de un polígono: son los puntos donde se unen los lados de un polígono.

Diagonales del polígono: son segmentos que unen dos vértices no consecutivos del polígono.

Un cuadrilátero convexo tiene dos diagonales. Un pentágono convexo, tiene 5 diagonales. Si queremos saber cuántas diagonales tiene un polígono convexo utilizamos la fórmula:

Ángulo interior del polígono: es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados consecutivos.

Perímetro: es la suma de las longitudes de sus lados. O lo que es lo mismo, la medida de la línea poligonal cerrada que lo comprende.

En el siguiente ejemplo, A es un vértice, S un lado, d una diagonal y

un ángulo interior. Podemos ver también un ángulo exterior, representado por . El ángulo exterior está formado, externamente al polígono, por uno de sus lados y la prolongación del lado consecutivo.

En los polígonos regulares pentágonos, hexágonos (como el de la figura), heptágonos… además de vértices V, lados L, diagonales d, distinguimos los siguientes elementos:

Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado. Se utilizará para el cálculo de la superficie del polígono regular.

Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.

Radio (r): Es el radio de la circunferencia en la que se inscribe el polígono. En el caso del hexágono, el radio es igual al lado (L) del polígono.

12.2 Clases de polígonos. Polígonos regulares e irregulares.

Los polígonos se clasifican por su número de lados en:

Los polígonos que tienen todos sus lados y ángulos iguales se llaman polígonos regulares. En caso contrario los polígonos son irregulares. En nuestra imagen son regulares el pentágono y el heptágono por tener los lados y los ángulos iguales.

12.2.1 Polígonos regulares

Un polígono es regular si tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales.

Ya vimos que en los polígonos regulares distinguimos ciertos elementos, recordemos:

• El centro, que es el punto interior que se halla a igual distancia de todos sus vértices.

• La apotema, que es el segmento perpendicular desde el centro a uno cualquiera de sus lados.

• El ángulo central es aquel que tiene el vértice en el centro del polígono y cuyos lados pasan por dos vértices consecutivos.

Para calcular el ángulo central, Ac, de un polígono regular se divide la amplitud del ángulo completo, 360º, entre el número de lados del polígono.

Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc.)

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