3.3. Operaciones con potencias
Operaciones con potencias.
Suma y resta de potencias.
Para resolver una suma o una resta de potencias, se calcula primero cada una de las potencias; luego sumamos o restamos los resultados, según el caso, y una vez obtenido el resultado, se puede expresar si es posible en forma de potencia de base diez. Observa los ejemplos.
23 + 52 = (2 x 2 x 2) + (5 x 5) = 8 + 25 = 33
44 – 33 = (4 x 4 x 4 x 4) – (3 x 3 x 3) = 256 – 27 = 229.
7. Calcula:
a) 32 + 33 b) 62 + 42 c) 104 + 102 d) 102 + 106
e) 102 + 102 f) 1010 - 108 g) 56 - 54 h) 25 - 33
8. Calcula las siguientes operaciones y comprueba el resultado. Observa el ejemplo:
a) 2 × 102 + 3 × 102 = 200 + 300 = 500 = 5 × 102. Realmente lo que hacemos es sacar factor común a 102.
b) 5 × 104 + 2 × 104
c) 12 × 103 + 103
d) 8 × 105 + 3 × 104
Multiplicación de potencias.
Se pueden dar distintos casos:
Potencias de la misma base.
Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base. A continuación, elevamos la base al nuevo exponente obtenido.
22 × 23 = 22 + 3 = 25 = 2 x 2x 2 x 2 x 2 = 32
Vamos a comprobar el resultado en cada una de las igualdades:
22 × 23 = (2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 25 = 32
22 + 3 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 = 32
Potencias con igual exponente.
Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se conserva el exponente.
22 × 32 = (2 × 3)2 = 62 = 36
Vamos a comprobar el resultado en cada una de las igualdades:
22 × 32 = (2 × 2) × (3 × 3) = 4 × 9 = 36
(2 × 3)2 = 62 = 6 × 6 = 36
Potencias con bases y exponentes distintos.
Para multiplicar potencias con bases y exponentes distintos, se calculan por separado y se multiplican sus resultados. Se trata como una operación combinada.
Por ejemplo:
24 × 32 = (2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3) = 16 × 9 = 144
División de potencias.
Potencias de la misma base.
Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.
25 : 23 = 25-3 = 22 = 4
Vamos a comprobar el resultado en cada una de las igualdades:
25 : 23 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) : (2 × 2 × 2) = 32 : 8 = 4
Potencias de igual exponente.
Para dividir potencias de igual exponente, se dividen las bases y se conserva el exponente.
122 : 32 = (12 : 3)2 = 42 = 16
Vamos a comprobar el resultado en cada una de las igualdades:
122 : 32 = (12 × 12) : (3 × 3) = 144 : 9 = 16
Potencias con bases y exponentes distintos.
Para dividir potencias con bases y exponentes distintos, se calculan por separado y se dividen los resultados obtenidos. Se trata como una operación combinada.
63 : 32 = (6 × 6 × 6) : (3 × 3) = 216 : 9 = 24