3.3. Operaciones con potencias

Operaciones con potencias.

Suma y resta de potencias.

• • Para resolver una suma o una resta de potencias, se calcula primero cada una de las potencias; luego sumamos o restamos los resultados, según el caso, y una vez obtenido el resultado, se puede expresar si es posible en forma de potencia de base diez. Observa los ejemplos.

2³ + 5² = (2 x 2 x 2) + (5 x 5) = 8 + 25 = 33

4⁴ – 3³ = (4 x 4 x 4 x 4) – (3 x 3 x 3) = 256 – 27 = 229.

7. Calcula:

a) 3² + 3³ b) 6² + 4² c) 10⁴ + 10² d) 10² + 10⁶

e) 10² + 10² f) 10¹⁰ - 10⁸ g) 5⁶ - 5⁴ h) 2⁵ - 3³

8. Calcula las siguientes operaciones y comprueba el resultado. Observa el ejemplo:

a) 2 × 10² + 3 × 10² = 200 + 300 = 500 = 5 × 10². Realmente lo que hacemos es sacar factor común a 10².

b) 5 × 10⁴ + 2 × 10⁴

c) 12 × 10³ + 10³

d) 8 × 10⁵ + 3 × 10⁴

Multiplicación de potencias.

Se pueden dar distintos casos:

Potencias de la misma base.

• Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base. A continuación, elevamos la base al nuevo exponente obtenido.

2² × 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵ = 2 x 2x 2 x 2 x 2 = 32

Vamos a comprobar el resultado en cada una de las igualdades:

2² × 2³ = (2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2⁵ = 32

2^{2 + 3} = 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵ = 32

Potencias con igual exponente.

• Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se conserva el exponente.

2² × 3² = (2 × 3)² = 6² = 36

Vamos a comprobar el resultado en cada una de las igualdades:

2² × 3² = (2 × 2) × (3 × 3) = 4 × 9 = 36

(2 × 3)² = 6² = 6 × 6 = 36

Potencias con bases y exponentes distintos.

• Para multiplicar potencias con bases y exponentes distintos, se calculan por separado y se multiplican sus resultados. Se trata como una operación combinada.

Por ejemplo:

2⁴ × 3² = (2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3) = 16 × 9 = 144

División de potencias.

Potencias de la misma base.

• Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.

2⁵ : 2³ = 2^5-3 = 2² = 4

Vamos a comprobar el resultado en cada una de las igualdades:

2⁵ : 2³ = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) : (2 × 2 × 2) = 32 : 8 = 4

Potencias de igual exponente.

• Para dividir potencias de igual exponente, se dividen las bases y se conserva el exponente.

12² : 3² = (12 : 3)² = 4² = 16

Vamos a comprobar el resultado en cada una de las igualdades:

12² : 3² = (12 × 12) : (3 × 3) = 144 : 9 = 16

Potencias con bases y exponentes distintos.

• Para dividir potencias con bases y exponentes distintos, se calculan por separado y se dividen los resultados obtenidos. Se trata como una operación combinada.

6³ : 3² = (6 × 6 × 6) : (3 × 3) = 216 : 9 = 24