4.3. Números primos y números compuestos. Descomponer un número en factores.

Números primos y números compuestos

Un número es primo cuando solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. Algo tan sencillo como eso; lo complicado es que no existe una fórmula matemática que asegure si lo es o no.

Pensemos en el 149 o en un número mucho más elevado como 191.587, ¡no tenemos una fórmula que determine si este número es primo!

Tendríamos que ir comprobando si tiene algún divisor y por lo tanto es compuesto. En ese caso, lo descartaríamos como número primo.

Para los primeros números primos (2, 3, 5, 7, 11), sería asequible comprobar si tienen divisores con ayuda los criterios de divisibilidad, pero para números más altos ya no sería tan fácil.

Teniendo todos los números en una tabla, se trata de ir buscando los que sean múltiplos de algún número y por tanto sean compuestos, para descartarlos como primos. Los números que nos queden sin descartar, serán declarados números primos.

El número 1 no es ni primo ni compuesto. Solo tiene un divisor que es el 1.

Un número compuesto es el que tiene más divisores que él mismo y la unidad. Es decir, tiene más de dos divisores. Si te presentan una serie de números para determinar los primos y compuestos, en principio ya descartamos como primos los terminados en 0, en 5 o en cifra par al ser divisibles por 2, por 5 o por ambos.

Criba de Eratóstenes.

Eratóstenes (284-192 a. C.), matemático griego, construyó una tabla en la que situó los números del 1 al 100. Fue eliminando aquellos que son múltiplos de otro y al final los números que quedan son los números primos. Este procedimiento recibe el nombre de Criba de Eratóstenes.

Empezamos colocando los números del 1 al 100 en una tabla como esta, donde resulta muy fácil observar los patrones que forman los múltiplos de cada número. Marcamos el 1, que no se considera un número primo. Después iremos descartando los múltiplos de 2, de 3, de 5 y de 7.

En el siguiente enlace encontrarás instrucciones para construir la tabla de los números primos hasta el 100 si tienes dudas.

https://www.smartick.es/blog/matematicas/numeros/numeros-primos-criba-eratostenes/

Descomponer un número en factores.

Recuerda que llamamos factores a los términos de una multiplicación, a los números que multiplicamos entre sí.

Cualquier número se puede descomponer en un producto de dos o más números (de dos o más factores). Si el número es primo resulta fácil saber cuál es el producto: él mismo y la unidad.

Si el número es compuesto podemos establecer los factores, que multiplicados entre sí, componen el número.

Por ejemplo: El número 28 es el resultado de multiplicar 4 x 7. Lo haremos de la siguiente forma:

Otros ejemplos:

Ahora buscaremos los factores primos. Seguiremos descomponiendo los divisores hasta convertirlos todos en divisores primos (dentro de círculos rojos). La descomposición resultante se muestra como en el ejemplo.

Cuando son números pequeños podemos realizar la descomposición factorial mentalmente, como en los ejemplos anteriores. Pero par números grandes podemos utilizar otros dos métodos:

Observa cómo lo hacemos mediante divisiones sucesivas:

Resumen de descomposición para hallar el mínimo común múltiplo o máximo común divisor: