4.4 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor.
Mínimo común múltiplo.
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor de los múltiplos comunes distinto de 0. Se expresa como m.c.m. de forma abreviada.
El m.c.m. lo usaremos para resolver ciertos problemas y para sumar y restar fracciones con distinto denominador: el denominador común sería el m.c.m. de sus denominadores.
Calculemos el m.c.m. de 4 y 18. Existen distintos métodos para su cálculo. Probemos uno.
Para ello, primero calculamos los múltiplos de ‘4’ y ‘18’ como ya sabemos:
- Múltiplos de ‘4’: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72…
- Múltiplos de ‘18’: 0, 18, 36, 54, 72, 90 …
Vemos qué múltiplos tienen en común (iguales): 36, 72,... De todos ellos cogemos el menor porque estamos buscando el múltiplo común más pequeño: ‘36’. 36 es el m.c.m. de 4 y 18. Lo expresamos:
m.c.m. (4, 18) = 36.
También podemos calcular el m.c.m. mediante la descomposición en factores primos de los números tratados. Veamos.
Por último, si los números no tienen factores comunes, el m.c.m. es el producto de ellos. Por ejemplo: 8 y 15.
8 = 23 y 15 = 3 x 5; al no tener factores comunes, el m.c.m. (8, 15) = 23 x 3 x 5 = 8 x 15 = 120.
Otro ejemplo. Calcularemos el m.c.m. (2, 4, 5).
Escribimos los múltiplos de los números dados hasta encontrar un múltiplo común a los tres. En nuestro ejemplo el m.c.m. ( 2, 4 ,5)= 20.
Para hallar el mínimo común múltiplo de varios números se escriben los primeros múltiplos de esos números y se busca el menor que sea común. En el ejemplo de m.c.m (2, 4, 5) es fácil de obtener el 20. Pero si son números mayores se calcula mediante el método de la descomposición factorial.
Para buscar el m.c.m. de 70, 20 y 42, usamos la descomposición factorial aplicando lo que sabemos sobre criterios de divisibilidad.
Presta atención y aprende:
Máximo común divisor.
Máximo común divisor.
El máximo común divisor (m.c.d.) es el mayor divisor común de dos o más números.
Vamos a practicar con ello. Sin contar el 0, y dentro de los dieciséis primeros números, responde:
a) ¿Por qué números es divisible 16? ¿Y 14? ¿Y 10? ¿Y 8 y 6?
b) ¿Qué divisores comunes tienen 16 y 14? ¿Y 8 y 16?
c) ¿Qué divisores comunes tienen 16, 14, 10, 8 y 6?
Para buscar el m.c.d., usamos la descomposición factorial y los criterios de divisibilidad. ¿Cuál sería el m.c.d. de 70, 20 y 42?
Máximo común divisor
m.c.d. (70, 20 y 42) = 2. Para que sea divisor de los tres, debe contener en su descomposición los factores que sean comunes (con el exponente menor). Por tanto, tomaremos los factores que se repiten en todos los números con el exponente menor.