3.2. Potencias de base 10 y descomposición polinómica de un número

Potencias de base 10.

• • Para calcular el valor de una potencia de base 10, basta con escribir un uno seguido de tantos ceros como indica el exponente. Mira estos ejemplos:

10¹ = 10

10² = 10 • 10 = 100

10³ = 10 • 10 • 10 = 1 000

10⁴ = 10 • 10 • 10 • 10 = 10 000

Las potencias de base 10 nos sirven para expresar, de forma abreviada, números muy grandes o muy pequeños.

Por ejemplo, si queremos expresar la velocidad de la luz de forma abreviada diremos que:

300 000 = 3 • 100 000 = 3 • 10⁵ km/seg

A esta forma de representar números muy grandes o muy pequeños se llama notación científica.

Notación científica

Notación científica

Cuando trabajan con números muy grandes o muy pequeños, los científicos, matemáticos e ingenieros usan notación científica para expresar esas cantidades. La notación científica es una abreviación matemática, basada en la idea de que es más fácil leer un exponente que contar muchos ceros en un número.

Formato de la Notación Científica.

La forma general de un número en notación científica es a x 10ⁿ donde a es mayor o igual a 1 y menor que 10 (1 < ó = a < 10) y n es un entero.

Ejemplo de notación científica. Entre paréntesis la notación científica correspondiente a los datos que preceden.

La línea temporal de la historia

Años antes del presente

• • 13.500 millones (1,35 x 10¹⁰ años). Aparecen la materia y la energía. Inicio del Universo. Inicio de la Física.

  • 13 134 997 000 años (1,34997x10¹⁰ años). Aparecen los átomos y las moléculas. Inicio de la Química.

  • 4 700 millones (4,7 x 10⁹ años). Se forma nuestro Sol.

  • 4.500 millones (4,5 x 10⁹ años). Formación del planeta Tierra.

  • 3.800 millones (3,8 x 10⁹ años). Aparición de los organismos. Inicio de la Biología.

  • 65 millones (6,5 x 10⁷ años). Extinción de los dinosaurios.

  • 6 millones (6 x 10⁶ años). Última abuela común de humanos y chimpancés.

  • 3,9 millones (3,9 x 10⁶ años). Australopithecus afarensis: Lucy.

  • 2,5 millones (2,5 x 10⁶ años). Evolución del género Homo en África. Primeros utensilios líticos. Homo Hábilis.

  • 2 millones (2 x 10⁶ años). Los humanos se extienden desde África a Eurasia. Evolución de las diferentes especies humanas. Homo Erectus.

  • 500.000 (5 x 10⁵ años). Los neandertales aparecen por evolución en Europa y Oriente Próximo.

  • 300.000 (3 x 10⁵ años). Uso cotidiano del fuego.

  • 200.000 (2 x 10⁵ años). Aparición de Homo Sapiens por evolución en África oriental.

  • 70.000 (7 x 10⁴ años). La revolución cognitiva. Aparición de lenguaje ficticio. Inicio de la historia. Los sapiens se extienden fuera de África: por Europa y Asia.

  • 45.000 (4,5 x 10⁴ años)Los sapiens colonizan Australia. Extinción de la megafauna australiana.

  • 30.000 (3 x 10⁴ años). Extinción de los neandertales.

  • 16.000 (1,6 x 10⁴ años). Los sapiens colonizan América. Extinción de la megafauna americana.

  • 13.000 (1,3 x 10⁴ años). Extinción de Homo Floresiensis. Homo sapiens es la única especie humana superviviente.

  • 12.000 (1,2 x 10⁴ años). La revolución agrícola. Domesticación de plantas y animales. Asentamientos permanentes. Primeras civilizaciones.

Fuente: “De animales a dioses. Breve historia de la humanidad” de Yuval Noah Harari. Ed. Debate con alguna aportación propia.

Notación científica para números muy pequeños.

Hasta ahora hemos trabajado con números muy grandes, pero también para los números muy pequeños se utiliza la notación científica. No vamos a trabajar con estos números en este curso, pero para que os sirva de ejemplo.

La mayoría de los virus estudiados tienen un diámetro de entre 10 y 300 nanómetros.

El nanómetro es la unidad de longitud del Sistema Internacional de Unidades (SI) que equivale a una mil millonésima parte de un metro (1 nm = 10⁻⁹ m) o a la millonésima parte de un milímetro (10^-6 mm).

10^-9 y 10^-6 representan a 0,000 000 001 y a 0,000 001 respectivamente.

6. La Tierra, en su viaje alrededor del Sol, se desplaza a 108 000 km/h. Utilizando la calculadora, averiguad cuántos kilómetros recorre en un día, en una semana y en quince días. Expresad los resultados en notación científica.

7. Se calcula que el total de agua que hay en la Tierra es de:

1 280 000 000 000 000 000 000 de litros. En notación científica es: 128 · 10¹⁹ = 1,28 · 10²¹

8. El ser humano tiene 5 × 10¹³ células. ¿Cuántas células tiene?

9. En la Tierra hay aproximadamente 1 300 000 especies de animales y plantas. Expresa ese número en notación científica.

Solución: 13 · 10⁵ = 1,3 · 10⁶

10. Se cree que en nuestra galaxia hay 1,35 × 10¹¹ estrellas. ¿Cuántas estrellas hay?

Descomposición polinómica de un número.

Un número se puede descomponer según el valor posicional de sus cifras y, a su vez, esta descomposición expresarla mediante potencias de base 10.

Observa este ejemplo:

53 679 = 5 • 10 000 + 3 • 1 000 + 6 • 100 + 7 • 10 + 9 = 5 •10⁴ + 3 • 10³ + 7 • 10² + 6 • 10 + 9

La descomposición de un número en el que cada orden de unidades está representado por una potencia de base 10 recibe el nombre de descomposición polinómica.

11. Ejercicios 3 y 4 de la página 34 del libro.